Predikátová logika

Přesněji predikátová logika prvého řádu. Formalizuje výroky o vlastnostech předmětů (entit) a vztazích mezi předměty, které patří do dané předmětné oblasti – univerza.

Příklad: Následovník každého lichého přirozeného čísla je sudé číslo. Číslo 7 je liché. ⇒ Číslo 8 je sudé. Predikátové logiky vyšších řádů formalizují vztahy mezi vlastnostmi a vztahy, vztahy mezi vztahy vlastnostmi vztahů a vlastností … . Výrokovou logiku lze považovat za predikátovou logiku nultého řádu. Formalizuje pouze výroky o entitách.

S výrokovou logikou vědecké disciplíny nevystačí. S predikátovou logikou prvého řádu se zpravidla vystačí v matematice i informatice.

1. Konečnou nebo nekonečnou spočetnou množinu proměnných Jazyk predikátové logiky obsahuje tuto abecedu: Logické symboly: 1. Konečnou nebo nekonečnou spočetnou množinu proměnných (značíme x, y, z, u, v, x11, x2, ... ). 2. Logické spojky ¬, ∧, ∨, ⇒, (⇔). 3. Univerzální kvantifikátor ∀ (čti „pro všechna“). 4. Existenční kvantifikátor ∃ (čti existuje).

Speciální symboly: 1. Neprázdnou množinu predikátových symbolů P. – Různé arity. Vyjadřují vlastnosti a vztahy. 2. Množinu funkčních symbolů F. - Různé arity. Konečnou nebo spočetnou. 3. Množinu konstantních symbolů K. Konečnou nebo spočetnou. Ty lze považovat za funkce arity 0 (nemají žádné proměnné a tedy mají vždy stejnou hodnotu). Značíme a, b, c, a1, a2, ... . Pomocné symboly: závorky „(“, „)“, čárku „,“.

Poznámka: Univerzální kvantifikátor ∀ lze chápat jako zobecnění konjunkce ∧ , Existenční kvantifikátor ∃ jako zobecnění disjunkce, na množiny, které mohou být i nekonečné.

Gramatika predikátové logiky udává jak vytvářet formule Term (rekurzivní definice) 1. Každý symbol proměnné je term. 2. Každá konstanta je term. 3. Jsou-li t1, …, tm termy a f je funkční symbol arity m, potom je i f(t1, …, tm) term. 4. Nic jiného než to, co vznikne aplikací pravidel 1., 2. a 3. již term není.

Atomická formule Je predikátový symbol aplikovaný na m termů, kde m je arita predikátového symbolu. p(t1, …, tm).

Formule (rekurzivní definice) 1. Každá atomická formule je formule. 2. Jsou-li ϕ a ψ formule, pak také (¬ϕ), (ϕ ∧ ψ), (ϕ ∨ ψ), (ϕ ⇒ ψ), (ϕ ⇔ ψ) jsou formule. 3. Je-li ϕ formule, potom i (∀ϕ) a (∃ϕ) jsou formule. 4. Nic jiného než to, co vznikne aplikací pravidel 1., 2. a 3. již formule není. Závorky lze vynechat, pokud jsou zbytečné vzhledem k obvyklým preferenčním pravidlům pro logické spojky. Vnější závorky se též vynechávají.

Výskyt proměnné x ve formuli A je vázaný, jestliže je součástí nějaké podformule ∀x B(x) nebo ∃x B(x) formule A. Proměnná x je vázaná ve formuli A, má-li v A vázaný výskyt. Výskyt proměnné x ve formuli A, který není vázaný, nazýváme volný. Proměnná x je volná ve formuli A, má-li v A volný výskyt. Formule, v níž každá proměnná má buď všechny výskyty volné nebo všechny výskyty vázané, se nazývá formulí s čistými proměnnými. Formule se nazývá uzavřenou, neobsahuje-li žádnou volnou proměnnou. Formule, která obsahuje aspoň jednu volnou proměnnou se nazývá otevřenou. Uzavřená formule se nazývá větou [sentence].

Interpretace Pro to, abychom rozhodli zda je daná formule pravdivá či ne (má hodnotu TRUE či FALSE), je třeba mít vymezeno univerzum a vědět co znamenají všechny v ní užité predikáty, funkční symboly a konstanty. Takovému přiřazení říkáme interpretace. Formálně je interpretace dvojice (U, I),

kde U je neprázdná množina zvaná univerzum, I je zobrazení které: • Každé konstantě přiřazuje prvek univerza. • Každému n-árnímu funkčnímu symbolu přiřazuje funkci n proměnných na univerzu s hodnotami z univerza. • Každému n-árnímu predikátu přiřazuje n-ární relaci na univerzu, tvořenou všemi n-ticemi prvků univerza, pro které je daný predikát pravdivý.

interpretace a daného ohodnocení (valuace) všech volných proměnných. Přitom: Pro stanovení pravdivostních hodnot složených formulí platí stejná pravidla jako u výrokové logiky. Výrok ∀x ϕ(x) je pravdivý právě když I(ϕ) je celé univerzum U (výrok platí pro všechny prvky univerza) . Výrok ∃x ϕ(x) je pravdivý právě když I(ϕ) je neprázdná podmnožina univerza (výrok platí aspoň pro jeden prvek univerza).

Formule A je splnitelná v interpretaci I, jestliže existuje aspoň jedno ohodnocení e volných proměnných takové, že vznikne pravdivý výrok. Formule A je pravdivá v interpretaci I, , jestliže pro všechna možná ohodnocení e volných proměnných vznikne pravdivý výrok. Formule A je splnitelná, jestliže existuje interpretace I, ve které je splnitelná, tj. jestliže existuje interpretace I a ohodnocení volných proměnných e takové, že vznikne pravdivý výrok. Taková dvojice (I, e) interpretace I a valuace e se nazývá model formule. Formule A je tautologií je-li pravdivá v každé interpretaci. Formule A je kontradikcí, jestliže nemá model, tedy neexistuje interpretace I, v která by formule A byla splnitelná. Pozn.: Zjevně platí, že A je kontradikce, právě když negace A je tautologie. Model množiny formulí {A1,…, An} je taková interpretace I v kterém jsou všechny formule splnitelné, tedy interpretace I a ohodnocení e volných v kterém jsou všechny formule volných proměnných), která splňuje všechny formule A1,…, An pravdivé.