Matematické modely v hydrologii a hydraulice, rozdělení podle principu Stochastické modely Deterministické modely Stochastické modely v hydrologii představují skupiny modelů, které se dají charakterizovat absencí vazebnosti mezi příčinou a následkem hydrologického jevu v rámci charakterizovaného systému. Matematický model, v kterém se zanedbává prostorová závislost veličin a uvažuje se pouze časová závislost, je možné vyjádřit diferenční rovnicí: f[xt, yt, xt-1, yt-1, xt-2, yt-2, ... s1, s2, ...]+ et = 0 kde: xt ... vstupní závisle proměnná veličina yt ... výstupní závisle proměnná veličina s1, s2 ... parametry modelu et residuální odchylka Pokud by byla některá z proměnných xt, yt, et z rovnice náhodná jedná se o model stochastický, který používá rozdělení pravděpodobnosti, korelační funkce, statistické testování a jiné nástroje matematické statistiky. O deterministickém modelu můžeme hovořit v případě, že proměnné xt, yt, et z výše uvedené rovnice nejsou náhodné. Mezi stochastickými a deterministickými modely dochází k jistému překrývání a dostáváme tím modely smíšené. Tyto modely pak obsahují submodely stochastické i deterministické povahy a sestavují se pro zdokonalení výstupů deterministického modelu. Pravděpodobnostní modely Modely pro generování časových řad Hydrologické modely Hydrodynamické modely Kybernetické modely Konceptuální modely Lineární modely Nelineární modely Smíšené modely Celistvé nebo dělené modely Diskrétní nebo kontinuální m. Fyzikální systém Fyzikální a topol. s. Matematické modely v hydrologii a hydraulice, rozdělení podle principu

Stochastické modely Modely pro generování časových řad Pravděpodobnostní modely Pravděpodobnostní modely (Stochastic - Probabilistic models) lze charakterizovat tím, že jsou reprezentovány hydrologickými funkcemi s daným pravděpodobnostním rozdělením tak jako např. průtoky Q (kulminační průtoky, minimální průtoky), vodní stavy h a retenční objemy V. Tyto funkce jsou obvykle charakterizovány základními statistickými charakteristikami jako je aritmetický průměr, směrodatná odchylka, součinitel variace a šikmosti aj. Metoda momentů Modely pro generování časových řad (Stochastic Time series generation) - se používají pro extrapolaci časových řad hydrologických parametrů při zachování základních statistických charakteristik. Extrapolací (predikcí, předpovědí) se rozumí odhad členů posloupnosti mimo interval pozorovaných hodnot. Nejdůležitější je spolehlivost odhadu, která vyjadřuje míru shody mezi budoucí skutečnou hodnotou a její prognózou. Extrapolace se metodicky opírají především o teorii časových řad a jejich matematické modely. Extrapolace lze zařadit z hlediska jejich cílů do prognostiky jako vědní disciplíny, která se zabývá obecnými metodickými postupy prognóz vývoje objektů libovolné povahy.

Deterministické modely Deterministické modely mají za úkol popisovat pomocí matematických vztahů fyzikální systém. Přesnost popisu fyzikálního systému modelem se může zvyšovat s ohledem na kvalitu vstupních dat, protože se stoupající přesností popisu stoupají i nároky na vstupní data. Podle kvantity a kvality pozorovaných proměnných a odvozených parametrů se ustálilo základní rozdělení deterministických modelů do dvou skupin: hydrologické modely (také označovány jako parametrické nebo srážko-odtokové) hydrodynamické modely Hydrologické modely Hydrodynamické modely

Hydrologické modely Kybernetické modely Konceptuální modely Kybernetické modely (input/output, Deterministic Black Box - DB modely) využívají metody systémové analýzy z oboru kybernetiky. Nezajímají se o strukturu modelovaného systému a zabývají se pouze transformačním účinkem. Základem kybernetických modelů je tedy transformační funkce systému, jejíž parametry se stanovují na základě pozorovaných dat (input/output data). Model DesQ. Transformační funkce systému Vstup (Input) Výstup (Output) Konceptuální modely (Deterministic Conceptual - DC modely, Gray Box) odráží základní zákonitosti ve zjednodušené formě s určitou mírou empirických vztahů, které nahrazují složité vazby komplexního popisu chování hydrologického systému. Konceptuální modely popisují matematicky hlavní hydrologické procesy: povrchové procesy – intercepce, evapotranspirace, akumulace v povrchových depresích, vznik povrchového odtoku, tání sněhu, atd. podpovrchové procesy – infiltrace, podpovrchový odtok, sycení a vyčerpávání nenasycené i nasycené zóny a jejich vzájemná interakce, tvorba základního odtoku korytové procesy – vytváření soustředěného odtoku a jeho transformace…. Konceptuální modely lze dělit podle účelu modelování a délky časového kroku na: modely epizodní (s delším časovým krokem) a modely bilanční, simulující hydrologický proces s kratším časovým krokem.

Hydrodynamické modely Komplexní modely Komponentní modely Hydrodynamické modely (Deterministic, hydrodynamic Laws - DL modely, White Box) fyzikálně popisují realitu nejvěrněji. Respektují principy zachování hmoty, hybnosti a energie. Jsou to modely s geometricky rozdělenými parametry, které popisují řešené procesy pomocí diferenciálních rovnic. Struktura systému je u hydrodynamických modelů vloženo přímo do základních rovnic. Modely mohou popisovat vybrané dílčí hydrologické procesy (komponentní modely) nebo všechny hydrologické procesy v povodí (komplexní modely). komplexní modely: SHE (Beven, Waren, Zaout, 1980) USDA (De Coursey, 1982) ISDM (Morris, 1980) komponentní modely: MIKE-11 AQUALOG (Zezulák, 1992) HYDROCHECK MIKE-21, FLUVIUS MODFLOW, AQUIFEM, SWIFT, SWMS – vícerozměrné neustálené HEC-RAS 3.0

Hydrologický model HEC-HMS v. 2.2.2 Hydrologický model pro simulaci srážko-odtokového procesu. Obsahuje 3 základní části: - model povodí - srážkový model - kontrolní specifikace - zde se definuje počátek, konec a časový krok simulace V případě, že jsou k dispozici měřená data lze využít optimalizace parametrů výpočtu. Model povodí: Editor modelu povodí umožňuje z jednotlivých segmentů (podpovodí, soutok, přímý úsek, rozdělení, nádrž atd.) sestavit strukturu konkrétního zájmového povodí. Vstupní a výstupní parametry jsou zdávány resp. vypočteny pro každý segment povodí. Základním vstupním parametrem modelu povodí je plocha povodí. Srážkový model: Srážkový model obsahuje informace potřebné k definování návrhových dešťů (historických, blokových, syntetických) bohužel ne pro podmínky ČR. Při používání v podmínkách ČR je nutné zadat návrhový déšť formou hyetogramu. Metody odvození objemu přímého odtoku: - Green-Ampt - Počáteční/konstantní ztráta - Čísla odtokových křivek CN - Čísla odtokových křivek CN - rastrová - Deficit/konstantní ztráta Metody odvození hydrogramu přímého odtoku: - Snyderův jednotkový hydrogram - SCS jednotkový hydrogram - Clarkův jednotkový hydrogram - Uživatelem def. poř. jednotkového hydrogramu - Kinematická vlna

HEC-HMS

k Q = e Q = ZÁKLADNÍ ODTOK t at t - e k = Model exponenciálního poklesu - vyjádření odtoku ze zásob v povodí v období bez dešťů. Základní odtok je definován pomocí vztahu: Metoda vychází z Bousinesquovy rovnice pro výtokovou čáru. t k Q = at t e Q - = v rovnicích jsou Qt průtok v libovolném čase t Q0 průtok v čase 0 k  konstanta exponenciálního poklesu a součinitel vyčerpávání e základ přirozeného logaritmu Vstupní parametry: Průtok v čase 0 - Q0 Konstanta exponenciálního poklesu - k Prahová hodnota průtoku „threshold“ - QT a e k - =

25400 - 254 CN S 2 , I = S = CN ODVOZENÍ OBJEMU PŘÍMÉHO ODTOKU Metoda čísel odtokových křivek CN Metoda je závislá na správném odhadu čísla odtokové křivky CN. K tomuto odhadu je důležitá znalost způsobu využívání pozemku, půdního druhu a předchozích vláhových poměrů. Ia počáteční ztráta Impervious procentní zastoupení nepropustných ploch S potenciální retence povodí CN číslo odtokové křivky Stanovení počáteční ztráty Ia: Stanovení potenciální retence S: 25400 - 254 CN S 2 , I a = S = CN

ODVOZENÍ HYDROGRAMU PŘÍMÉHO ODTOKU Metoda kinematické vlny Metoda je reprezentována povodím ve zjednodušené podobě velmi širokého otevřeného koryta s bočními přítoky rovnými srážce. Povodí je tedy nahrazeno dvěma svahy obdélníkového tvaru. Charakteristika svahů délky svahů, sklony svahů, drsnostní charakteristiky svahů, procentní zastoupení ploch svahů Charakteristika hlavního toku délka hlavního toku, popis tvaru koryta hlavního toku, sklon hlavního toku, reprezentativní drsnostní součinitel dle Manninga Charakteristika sběrného koryta odvodňovaná plocha sběrným korytem, reprezentativní délka sběrného koryta, popis tvaru sběrného koryta, reprezentativní drsnostní součinitel dle Manninga

OPTIMALIZACE PARAMETRŮ Objektivní funkce: - střední vážená kvadratická odchylka průtoků suma kvadratických odchylek suma absolutních odchylek - procentní odchylka maximálního průtoku začátek shromáždění srážko-odtokových dat počáteční odhad parametrů výpočet hydrogramu odtoku porovnání vypočteného a měřeného hydrogramu odtoku vypočtený hydrogram odpovídá měřenému hydrogramu konec změna odhadu parametrů pro nový výpočet ANO NE n Q 2 ) t ( )) Z A 1 S - = å å = n 1 t A ) ( Q Z - objektivní funkce, Q0(t) - měřený průtok v čase t QS(t) - vypočtený průtok v čase t, QA - průměrná hodnota měřených průtoků å = - n 1 t 2 S )) ( Q ) Z Z - objektivní funkce Q0(t) - měřený průtok v čase t, QS(t) - vypočtený průtok v čase t å = - n 1 t S ) ( Q Z Z - objektivní funkce, Q0(t) – měř. průtok v čase t QS(t) - vypočtený průtok v čase t (max) Q 100 Z S - = Z - objektivní funkce Q0(max) - max. měřený průtok v čase t, QS(max) - max. vypočtený průtok Metody vyhledávání optimálních parametrů (minimalizace hodnot objektivních funkcí) - Nelder - Mead vyhledávací algoritmus - Univariete-gradient vyhledávací algoritmus

POVODÍ OSTRAVICE Schema rozdělení povodí na dílčí povodí 2000m

OPTIMALIZACE 45.000 40.000 35.000 30.000 ) .s 25.000 Srážky (mm.hod Varianta a celé povodí Varianta b rozdělené povodí Varianta c rozdělené povodí Číslo vlny, počátek vlny Ia (mm) k - QT (m3.s-1) Ia (mm) k - QT (m3.s-1) Ia (mm) k - QT (m3.s-1) 3 (15.7.1995) 14 0,800 1,780 14 0,800 1,780 30 0,800 1,780 0.000 5.000 10.000 15.000 20.000 25.000 30.000 35.000 40.000 45.000 24 48 72 96 120 144 168 192 216 Čas (hod.) Průtok (m 3 .s -1 ) 0.0 8.0 16.0 24.0 32.0 40.0 48.0 56.0 64.0 72.0 Srážky (mm.hod srážky efektivní déšť (a,b) měřený průtok vypočtený průtok (a) základní odtok (a) vypočtený průtok (b) základní odtok (b) vypočtený průtok (c) základní odtok (c)

OPTIMALIZACE 30.000 25.000 20.000 ) ) .s Srážky (mm.hod Průtok (m Varianta a celé povodí Varianta b rozdělené povodí Varianta c rozdělené povodí Číslo vlny, počátek vlny Ia (mm) k - QT (m3.s-1) Ia (mm) k - QT (m3.s-1) Ia (mm) k - QT (m3.s-1) 4 (20.6.1996) 14 0,800 1,410 14 0,800 1,410 30 0,800 1,410 30.000 0.0 25.000 4.0 20.000 8.0 ) ) -1 -1 .s 3 15.000 Srážky (mm.hod 12.0 Průtok (m 10.000 16.0 5.000 20.0 0.000 24.0 24 48 72 96 120 144 168 192 216 240 264 Čas (hod.) srážky efektivní déšť (a,b) měřený průtok vypočtený průtok (a) základní odtok (a) vypočtený průtok (b) základní odtok (b) vypočtený průtok (c) základní odtok (c)

OPTIMALIZACE Varianta a celé povodí Varianta b rozdělené povodí Varianta c rozdělené povodí Číslo vlny, počátek vlny Ia (mm) k - QT (m3.s-1) Ia (mm) k - QT (m3.s-1) Ia (mm) k - QT (m3.s-1) 5 (4.9.1996) 62 0,800 4,400 62 0,800 4,400 95 0,800 4,400 180.000 0.0 160.000 4.0 140.000 8.0 120.000 12.0 ) ) -1 -1 .s 3 100.000 16.0 Srážky (mm.hod Průtok (m 80.000 20.0 60.000 24.0 40.000 28.0 20.000 32.0 0.000 36.0 24 48 72 96 120 144 168 192 216 240 Čas (hod.) srážky efektivní déšť (a,b) měřený průtok vypočtený průtok (a) základní odtok (a) vypočtený průtok (b) základní odtok (b) vypočtený průtok (c) základní odtok (c)

OPTIMALIZACE 180.000 160.000 140.000 120.000 ) Srážky (mm.hod-1) .s Varianta a celé povodí Varianta b rozdělené povodí Varianta c rozdělené povodí Číslo vlny, počátek vlny Ia (mm) k - QT (m3.s-1) Ia (mm) k - QT (m3.s-1) Ia (mm) k - QT (m3.s-1) 6 (4.7.1997) 62 0,800 3,520 62 0,800 3,520 72 0,800 3,520 180.000 0.0 160.000 2.0 140.000 4.0 120.000 6.0 ) -1 .s 3 100.000 8.0 Srážky (mm.hod-1) Průtok (m 80.000 10.0 60.000 12.0 40.000 14.0 20.000 16.0 0.000 18.0 24 48 72 96 120 144 168 192 216 240 264 288 312 Čas (hod.) srážky efektivní déšť (a,b) měřený průtok vypočtený průtok (a) základní odtok (a) vypočtený průtok (b) základní odtok (b) vypočtený průtok (c) základní odtok (c)

VERIFIKACE 40.00 35.00 30.00 ) 25.00 ) .s Srážky (mm.hod Průtok (m Varianta a celé povodí Varianta b celé povodí Varianta c rozdělené povodí Varianta d rozdělené povodí Číslo vlny, počátek vlny Ia (mm) k - QT (m3.s-1) Ia (mm) k - QT (m3.s-1) Ia (mm) k - QT (m3.s-1) Ia (mm) k - QT (m3.s-1) 1 (23.5.1990) 18 0,800 1,970 38 0,800 2,778 38 0,800 2,778 56 0,800 2,778 40.00 0.0 35.00 4.0 30.00 8.0 ) ) 25.00 12.0 -1 -1 .s 3 20.00 Srážky (mm.hod 16.0 Průtok (m 15.00 20.0 10.00 24.0 5.00 28.0 0.00 32.0 24 48 72 96 120 144 168 192 216 240 Čas (hod.) srážky efektivní déšť (b,c) měřený průtok vypočtený průtok (a) základní odtok (a) vypočtený průtok (b) základní odtok (b) vypočtený průtok (c) základní odtok (c) vypočtený průtok (d) základní odtok (d)

VERIFIKACE 120.00 100.00 80.00 ) ) .s Srážky (mm.hod Průtok (m 60.00 Varianta a celé povodí Varianta b celé povodí Varianta c rozdělené povodí Varianta d rozdělené povodí Číslo vlny, počátek vlny Ia (mm) k - QT (m3.s-1) Ia (mm) k - QT (m3.s-1) Ia (mm) k - QT (m3.s-1) Ia (mm) k - QT (m3.s-1) 2 (1.8.1991) 62 0,800 3,730 38 0,800 2,778 38 0,800 2,778 56 0,800 2,778 120.00 0.0 100.00 5.0 80.00 10.0 ) ) -1 -1 .s 3 60.00 Srážky (mm.hod 15.0 Průtok (m 40.00 20.0 20.00 25.0 0.00 30.0 24 48 72 96 120 144 168 192 216 240 264 288 312 336 360 384 408 Čas (hod.) srážky efektivní déšť (b,c) měřený průtok vypočtený průtok (a) základní odtok (a) vypočtený průtok (b) základní odtok (b) vypočtený průtok (c) základní odtok (c) vypočtený průtok (d) základní odtok (d)

VERIFIKACE 25.000 20.000 ) ) 15.000 .s Srážky (mm.hod Průtok (m 10.000 Varianta a celé povodí Varianta b celé povodí Varianta c rozdělené povodí Varianta d rozdělené povodí Číslo vlny, počátek vlny Ia (mm) k - QT (m3.s-1) Ia (mm) k - QT (m3.s-1) Ia (mm) k - QT (m3.s-1) Ia (mm) k - QT (m3.s-1) 7 (12.9.1998) 25 0,800 1,810 38 0,800 2,778 38 0,800 2,778 56 0,800 2,778 25.000 0.0 20.000 4.0 ) ) -1 -1 15.000 8.0 .s 3 Srážky (mm.hod Průtok (m 10.000 12.0 5.000 16.0 0.000 20.0 24 48 72 96 120 144 168 192 216 240 264 288 312 Čas (hod.) srážky efektivní déšť (b,c) měřený průtok vypočtený průtok (a) základní odtok (a) vypočtený průtok (b) základní odtok (b) vypočtený průtok (c) základní odtok (c) vypočtený průtok (d) základní odtok (d)

VERIFIKACE 40.000 35.000 30.000 ) 25.000 .s Srážky (mm.hod Průtok (m Varianta a celé povodí Varianta b celé povodí Varianta c rozdělené povodí Varianta d rozdělené povodí Číslo vlny, počátek vlny Ia (mm) k - QT (m3.s-1) Ia (mm) k - QT (m3.s-1) Ia (mm) k - QT (m3.s-1) Ia (mm) k - QT (m3.s-1) 8 (15.7.2000) 58,5 0,800 1,810 38 0,800 2,778 38 0,800 2,778 56 0,800 2,778 0.000 5.000 10.000 15.000 20.000 25.000 30.000 35.000 40.000 24 48 72 96 120 144 168 192 216 240 264 Čas (hod.) Průtok (m 3 .s -1 ) 0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0 16.0 Srážky (mm.hod srážky efektivní déšť (b,c) měřený průtok vypočtený průtok (a) základní odtok (a) vypočtený průtok (b) základní odtok (b) vypočtený průtok (c) základní odtok (c) vypočtený průtok (d) základní odtok (d)

Hydrologický model DesQ-MAX Q v. 5.2 Model DesQ-MAX Q v. 5.2 je kombinovaný model konceptuální a hydrodynamický systému děleného na homogenní dílčí složky - svahy a údolnici. Aplikace je možná buď na svah schematizovaný na rovinnou desku, nebo na modelové povodí schematizované do tvaru "otevřené knihy" s rovinnými svahy. Vstupní geometrické charakteristiky modelu jsou plocha povodí, plochy svahů, délka údolnice. Z nich se vypočte střední délka svahu Ls a dráha svahového odtoku Lso. Sklonové poměry povodí jsou charakterizovány průměrným sklonem jednotlivých svahů Is (Herbstův sklon) a průměrným sklonem údolnice - Iu. Půdní charakteristiky a způsob využívání pozemků v povodí jsou odvozovány metodou CN-křivek. Podkladem je výběr příslušné hydrologické skupiny půd, přičemž se využívá podkladů VÚMOP Praha - kategorie BPEJ. Stav předchozí nasycenosti povodí je charakterizován 3 skupinami předchozích vláhových poměrů (PVP). Využívání půdy, způsob obdělávání a hydrologické podmínky (infiltrační schopnost vrchní vrstvy půdního profilu) Zohledňuje se rovněž příslušným číslem CN - křivky. Drsnostní charakteristika povrchu je zohledněna volbou součinitele drsnosti zohledňujícím způsob využívání půdy.

DesQ

HEC-RAS Model HEC-RAS (Hydrologic Engineering Center's River Analysis System) je prostředkem výpočtu proudění v otevřených korytech. Program HEC-RAS využívá integrovaného prostředí MS Windows s vynikajícím grafickým uživatelským rozhraním (GUI) podrobně řešenou hydraulikou ustáleného a neustáleného proudění v otevřených korytech a objektech na umělých i přirozených tocích. Výpočet vyžaduje zadání tří hlavních kategorií dat: geometrie koryta a objektů, hydraulické ztrátové součinitele a okrajové podmínky. S výhodou lze využít vazby na systémy CAD a GIS v zobrazení 3D. Pro hydraulické posouzení kapacit systému otevřených koryt a objektů z hlediska maximálních odtoků lze použít v zásadě dvou principů: 1. řešit průchod návrhové povodňové vlny hydraulickým modelem, založeným na numerickém řešení neustáleného proudění. Tento způsob vyžaduje znalost tvaru vstupní návrhové vlny v horním uzávěrovém profilu sledovaného úseku toku a podobně jako následující, podrobný popis geometrických a hydraulických parametrů koryta. Tento přístup je výpočtově náročný a obvykle se nevyužívá pro toky místního významu, 2. využít metod hydrauliky ustáleného proudění pro stanovení podélných profilů hladin, odpovídajících jednotlivým návrhovým N-letým vodám. Tato metoda sice neumožňuje řešit neustálený režim, její předností však je možnost podrobnějšího vyjádření proudění v objektech na toku. Zjednodušený model, vycházející z metod ustáleného proudění v říční síti, vyžaduje (při říčním režimu proudění) pouhé zadání kulminačních průtoků v horním uzávěrovém profilu toku a jeho výsledkem je limitní stav hladin po dosažení rovnovážného stavu. Program řeší odděleně hydraulické režimy říčního a bystřinného proudění.

HEC-RAS