Úvod Aritmetické a geometrické posloupnosti a jedna zajímavá funkcionální rovnice
Aritmetické a geometrické posloupnosti Jak se vytvářejí tyto posloupnosti? Postačí znát první člen a „výtvarný zákon“: u aritmetické se neustále přičítá jisté číslo, u geometrické se neustále násobí jistým číslem.
Konstrukce zajímavé funkce Vytvořme funkci, kde hodnoty nezávisle proměnné tvoří aritmetickou posloupnost a jim odpovídající hodnoty závisle proměnné tvoří geometrickou posloupnost. Například: 1 2 3 4 5 6 … 8 16 32 64 Jaké vlastnosti tato funkce má? aritm a geom posl.xls
Stěžejní vlastnost této funkce Soustřeďme se na to, jak získat hodnotu f(x+y), známe-li funkční hodnoty f(x) a f(y): Například: x=1, y=3: f(1+3) = f(4) = 16 a f(1) = 2 , f(3) = 8 x=2, y=2: f(2+2) = f(4) = 16 a f(2) = 4 , f(2) = 4 x=1, y=4: f(1+4) = f(5) = 32 a f(1) = 2 , f(3) = 16 x=3, y=4: f(3+4) = f(7) = 128 a f(3) = 8 , f(4) = 16 f(x+y) = f(x) . f(y) Jak to zobecnit?
Problém Dokážeme nalézt některé funkce, které jsou řešením rovnice f(x+y) = f(x) . f(y) ?
Jednoduchá řešení Tuto rovnici jistě splňuje například funkce f(x) = 2x , definovaná na množině všech přirozených čísel. Proč? Jistě platí, že: f(x+y) = 2x+y = 2x. 2y = f(x) . f(y) . Dokážete nalézt další analogická řešení? Základ mocniny jistě není podstatný, řešeními jsou tedy všechny funkce typu: f(x) = ax
Jak vypadají grafy exponenciálních funkcí ? Expfunkce.dfw
Exponenciela a její vlastnosti
Jak vybrat z exponenciálních funkcí funkci e x ? Speciální podmínka je: tečna ke grafu funkce y = e x v bodě 01 svírá s osou x úhel o velikosti 450 . To lze matematicky zformulovat takto: A odtud: exponenciela je rovna své derivaci.
Něco málo o číslu „e“
Číslo e je vyjádřitelné touto řadou: Jeho racionální aproximace lze tedy postupně počítat takto: pak plyne: Z tvaru formule
Jak vypadají aproximace čísla e ? Postupně získáme: A tak dále. Číslo e.xls
Exponencielu můžeme vyjádřit v tomto tvaru: Tuto funkci postupně aproximují následující funkce: Exponenciela.dfw
Proč je exponenciální funkce tak důležitá ? Zprostředkovává vztah mezi aritmetickými a geometrickými posloupnostmi (např. úroky). Vyjadřuje takový růst veličin, při němž jsou přírůstky úměrné okamžité hodnotě veličiny (např. růst populací). Může popisovat kruhový (a tedy i kmitavý) pohyb – viz další poznámky (např. u střídavých proudů). Atd. atd.
Problém Jak se odvodí formule, o níž většina matematiků tvrdí, že je „nejkrásnější matematickou formulí “ ?
Musíme něco vědět o goniometrických funkcích: Podobnými řadami jako jsme viděli u exponenciální funkce se definují funkce sinus a kosinus: Sinus.dfw Kosinus.dfw
Dále musíme něco vědět o komplexním čísle i : Definiční vlastností imaginární jednotky i je toto: i 2 = - 1 . Z toho pak plyne, že: i 3 = - i , i 4 = 1 , i 5 = i , i 6 = - 1 . atd.
Teď již můžeme odvodit jeden důležitý vztah:
Co tento vztah znamená a co z něj vyplývá? Výraz e ix je tedy tzv. komplexní jednotkou. Odtud pak plyne, že: To je ta nejkrásnější formule.
Závěr Seznámili jsme s exponenciálními funkcemi a pro ně typickou formulí f(x+y) = f(x) . f(y) . Odvodili jsme některé jejich vlastnosti. Pomocí význačné hodnoty derivace jsme z nich vybrali exponencielu. Ukázali jsme některé pozoruhodné vlastnosti iracionálního čísla e. Zjistili jsme, že funkce se dají vyjadřovat řadami a odhalili jsme „nejkrásnější formuli na světě“.
Děkuji vám za pozornost.