Úvod Aritmetické a geometrické posloupnosti a jedna zajímavá funkcionální rovnice.

Slides:



Advertisements
Podobné prezentace
Komplexní čísla. Komplexní číslo je uspořádaná dvojice [x, y], kde číslo x představuje reálnou část a číslo y imaginární část. Pokud je reálná část nulová,
Advertisements

Elektromagnetické vlny (optika)
Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky
F U N K C E Ing. Milan HANUŠ TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR Výuka anglického, německého jazyka a matematiky.
Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky
7. Přednáška limita a spojitost funkce
Soustava lineárních rovnic o více neznámých I.
Rovnice roviny Normálový tvar rovnice roviny
57. ročník MO Soustředění řešitelů Kategorie A Exponenciela Litoměřice 2007.
Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky
Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky
Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky
Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky Přednáška 04 Limity funkcí Matematika II. KIG / 1MAT2.
Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky Přednáška 05 Spojitost a derivace funkce Matematika II. KIG / 1MAT2.
Přednáška 12 Diferenciální rovnice
58. ročník MO Soustředění řešitelů Kategorie A Nadreálná čísla Jiřetín 2008.
Tato prezentace byla vytvořena
Funkce.
Základní číselné množiny
ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ POHYB.
Derivace Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík
BRVKA Georg F.B. Riemann ( ). BRVKA Známe různé inverzní procesy (i matematické), integrování je inverzní proces k derivování. Definice: I je.
Komplexní čísla goniometrický tvar Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík
Matematika II. KIG / 1MAT2 Přednáška 08
Přednáška 01 Zlatý poměr Začínáme u starých Řeků
MATEMATIKA I.
Exponenciální funkce. y = f ( x ) = e x D ( f ) = R R ( f ) = (0, +∞)
Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky
Přednáška 02 Počítání harmonie Učíme se opět od starých Řeků
1. Derivace Derivace je míra rychlosti změny funkce.
Funkce více proměnných.
Tato prezentace byla vytvořena
Derivace funkce. Velikost populace v čase t 0 je N (t 0 ). Velikost populace v čase t  t 0 je N ( t ). Přírůstek populace za jednotku času je [N(t) –
Derivace funkce. Velikost populace v čase t 0 je N (t 0 ). Velikost populace v čase t  t 0 je N ( t ). Přírůstek populace za jednotku času je [N(t) –
Komplexní čísla - 1 VY_32_INOVACE_ Motivační úvod.
Diferenciální geometrie křivek
Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Gymnázium, Havířov-Město, Komenského 2, p.o. Tato prezentace.
Geometrická posloupnost (1.část)
Definice rovnoměrného pohybu tělesa:
Geometrická posloupnost (2.část)
Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Repetitorium z matematiky Podzim 2012 Ivana Medková
Repetitorium z matematiky Podzim 2012 Ivana Medková
ŠKOLA:Gymnázium, Tanvald, Školní 305, příspěvková organizace ČÍSLO PROJEKTU:CZ.1.07/1.5.00/ NÁZEV PROJEKTU:Šablony – Gymnázium Tanvald ČÍSLO ŠABLONY:III/2.
Gottfried Wilhelm von Leibniz
Exponenciální funkce. y = f ( x ) = e x D ( f ) = R R ( f ) = (0, +∞)
Náhodná veličina. Nechť (, , P) je pravděpodobnostní prostor:
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík Elipsa.
MME41 Ekonomicko-matematické metody 4 Prof. RNDr. Jaroslav Ramík, CSc.
Funkce. Funkce - definice Funkce je zobrazení, které každému číslu z podmnožiny množiny reálných čísel R přiřazuje právě jedno reálné číslo. Funkci značíme.
Funkce Lineární funkce a její vlastnosti 2. Funkce − definice Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny.
Lineární funkce Rozdělení lineárních funkcí Popis jednotlivých funkcí.
Elektronické učební materiály - II. stupeň Matematika Autor: Mgr. Radek Martinák FUNKCE – lineární Co znamená lineární? Jak souvisí lineární funkce s přímou.
Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Matematický milionář Foto: autor Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným.
Repetitorium z matematiky Podzim 2012 Ivana Medková
Definiční obor a obor hodnot
Graf a vlastnosti funkce
Goniometrické funkce Autor © Mgr. Radomír Macháň
Kružnice Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík
Základy zpracování geologických dat Rozdělení pravděpodobnosti
1 Lineární (vektorová) algebra
Funkce více proměnných.
Lineární funkce a její vlastnosti
Autor.Mgr.Magdaléna Štefaničková
Prírodovedecká fakulta Univerzity Pavla Jozefa Šafárika v Košiciach
Grafy kvadratických funkcí
Definiční obory. Množiny řešení. Intervaly.
Grafy kvadratických funkcí
Transkript prezentace:

Úvod Aritmetické a geometrické posloupnosti a jedna zajímavá funkcionální rovnice

Aritmetické a geometrické posloupnosti Jak se vytvářejí tyto posloupnosti? Postačí znát první člen a „výtvarný zákon“: u aritmetické se neustále přičítá jisté číslo, u geometrické se neustále násobí jistým číslem.

Konstrukce zajímavé funkce Vytvořme funkci, kde hodnoty nezávisle proměnné tvoří aritmetickou posloupnost a jim odpovídající hodnoty závisle proměnné tvoří geometrickou posloupnost. Například: 1 2 3 4 5 6 … 8 16 32 64 Jaké vlastnosti tato funkce má? aritm a geom posl.xls

Stěžejní vlastnost této funkce Soustřeďme se na to, jak získat hodnotu f(x+y), známe-li funkční hodnoty f(x) a f(y): Například: x=1, y=3: f(1+3) = f(4) = 16 a f(1) = 2 , f(3) = 8 x=2, y=2: f(2+2) = f(4) = 16 a f(2) = 4 , f(2) = 4 x=1, y=4: f(1+4) = f(5) = 32 a f(1) = 2 , f(3) = 16 x=3, y=4: f(3+4) = f(7) = 128 a f(3) = 8 , f(4) = 16 f(x+y) = f(x) . f(y) Jak to zobecnit?

Problém Dokážeme nalézt některé funkce, které jsou řešením rovnice f(x+y) = f(x) . f(y) ?

Jednoduchá řešení Tuto rovnici jistě splňuje například funkce f(x) = 2x , definovaná na množině všech přirozených čísel. Proč? Jistě platí, že: f(x+y) = 2x+y = 2x. 2y = f(x) . f(y) . Dokážete nalézt další analogická řešení? Základ mocniny jistě není podstatný, řešeními jsou tedy všechny funkce typu: f(x) = ax

Jak vypadají grafy exponenciálních funkcí ? Expfunkce.dfw

Exponenciela a její vlastnosti

Jak vybrat z exponenciálních funkcí funkci e x ? Speciální podmínka je: tečna ke grafu funkce y = e x v bodě 01 svírá s osou x úhel o velikosti 450 . To lze matematicky zformulovat takto: A odtud: exponenciela je rovna své derivaci.

Něco málo o číslu „e“

Číslo e je vyjádřitelné touto řadou: Jeho racionální aproximace lze tedy postupně počítat takto: pak plyne: Z tvaru formule

Jak vypadají aproximace čísla e ? Postupně získáme: A tak dále. Číslo e.xls

Exponencielu můžeme vyjádřit v tomto tvaru: Tuto funkci postupně aproximují následující funkce: Exponenciela.dfw

Proč je exponenciální funkce tak důležitá ? Zprostředkovává vztah mezi aritmetickými a geometrickými posloupnostmi (např. úroky). Vyjadřuje takový růst veličin, při němž jsou přírůstky úměrné okamžité hodnotě veličiny (např. růst populací). Může popisovat kruhový (a tedy i kmitavý) pohyb – viz další poznámky (např. u střídavých proudů). Atd. atd.

Problém Jak se odvodí formule, o níž většina matematiků tvrdí, že je „nejkrásnější matematickou formulí “ ?

Musíme něco vědět o goniometrických funkcích: Podobnými řadami jako jsme viděli u exponenciální funkce se definují funkce sinus a kosinus: Sinus.dfw Kosinus.dfw

Dále musíme něco vědět o komplexním čísle i : Definiční vlastností imaginární jednotky i je toto: i 2 = - 1 . Z toho pak plyne, že: i 3 = - i , i 4 = 1 , i 5 = i , i 6 = - 1 . atd.

Teď již můžeme odvodit jeden důležitý vztah:

Co tento vztah znamená a co z něj vyplývá? Výraz e ix je tedy tzv. komplexní jednotkou. Odtud pak plyne, že: To je ta nejkrásnější formule.

Závěr Seznámili jsme s exponenciálními funkcemi a pro ně typickou formulí f(x+y) = f(x) . f(y) . Odvodili jsme některé jejich vlastnosti. Pomocí význačné hodnoty derivace jsme z nich vybrali exponencielu. Ukázali jsme některé pozoruhodné vlastnosti iracionálního čísla e. Zjistili jsme, že funkce se dají vyjadřovat řadami a odhalili jsme „nejkrásnější formuli na světě“.

Děkuji vám za pozornost.