Matematika pro fyziky I. Karel Rauner, Západočeská univerzita v Plzni

Obsah předmětu Vektory – definice, vlastnosti, využití ve fyzice, matematické operace, význam skalárního a vektorového součinu, příklady (2+2 hod.) Matice – definice, úpravy, význam ve fyzice, příklady (1+2 hod.) Determinant – definice, úpravy, výpočet, Cramerovo pravidlo, význam ve fyzice, příklady (1+2 hod.) Limity posloupností a funkcí – funkce, význam limit ve fyzice, metody výpočtů, příklady (2+2 hod.) Derivace – definice, diferenciál, vztah ke grafu funkce (extrémy, inflexní bod, konkávnost), význam ve fyzice, L´Hospitalovo pravidlo, základní vzorce a pravidla derivování, příklady (2+5 hod.) Neurčitý integrál – definice, základní způsoby výpočtu, vzorce a pravidla, význam ve fyzice, příklady (2+7 hod.) Určitý integrál – definice, vztah ke grafu funkce, význam ve fyzice, příklady (1+1 hod.) Vektorová analýza – základní operace, fyzikální význam, příklady (2+2 hod.) V průběhu semestru 3 testy (0+3 hod.)

1. Vektory 1. 1. Definice, znázornění Vektor si lze představit jako orientovanou úsečku. Má určitý počátek, směr a velikost. K úplnému zadání vektoru v trojrozměrném prostoru je třeba 6 čísel – souřadnice počátku a souřadnice konce vektoru. Často klademe počátek souřadného prostrou do počátku vektoru. Pak k zadání vektoru stačí 3 čísla. x y z Polohový vektor určuje souřadnice bodu. V pravoúhlé soustavě:

Umožňuje to vyjádření polohového vektoru: Často se k určení směru vektoru používají jednotkové vektory ve směru os. Umožňuje to vyjádření polohového vektoru: x y z Nebo pomocí složek vektoru: Velikost vektoru:

1. 2. Využití vektorů ve fyzice Skalární (hmotnost, čas, objem, hustota, práce, energie, teplo, teplota, tlak, elektrické napětí, …) Veličiny ve fyzice Vektorové (síla, moment síly, intenzita elektrického pole, magnetická indukce, dráha, …) Tenzorové (moment setrvačnosti, úhlová rychlost, …)

1. 3. Matematické operace s vektory 1. 3. 1. Násobení vektoru číslem

1. 3. 2. Součet vektorů graficky Ve fyzice lze sčítat jen vektory stejných fyzikálních veličin (síly, intenzity elektrického pole, )

1. 3. 3. Rozklad sil do složek Je to rozložení vektoru do několika jiných vektorů, jejichž součtem je původní vektor, nejčastěji se ve fyzice užívá u síly. příklad: matematické kyvadlo síla napínající vlákno síla urychlující kyvadlo Proč se kára po nerovném povrchu snáze táhne než tlačí?

1. 3. 4. Skalární součin vektorů, úhel mezi vektory svírají úhel Toho lze využít k výpočtu úhlu, který svírají dva vektory: Skalární součin kolmých vektorů se rovná nule. Úhly vektoru se souřadnými osami: Význam ve fyzice – některé skalární veličiny jsou skalárním součinem 2 vektorových veličin: Základní případ: Mechanická práce síly při přímočarém posunutí tělesa:

1. 3. 5. Vektorový součin vektorů svírají úhel Pomocí determinantu: Velikost vektorového součinu je dána plochou rovnoběžníku tvořeného vektory. Vlastnosti vektorového součinu:

Orientace vektorů ve vektorovém součinu: smíšené součiny

Vektorový součin ve fyzice: osa otáčení Moment síly: je největší, když je síla kolmá na rameno Moment hybnosti: platí pro něj zákon zachování příklad: 2. Keplrův zákon

2. Matice 2. 1. Definice a vlastnosti matice m, n přirozená čísla, množina mn čísel uspořádaná do m řádků a n sloupců se nazývá matice: matice vznikly s potřebou řešit více rovnic o více neznámých, prvky matice byly koeficienty u neznámých matice transponovaná – záměna řádek a sloupců matice čtvercová – m =n sloupce matice jsou lineárně závislé, jestliže platí:

Ve fyzice se často vyskytují 2 typy matic: symetrická a antisymetrická Pro symetrickou matici platí: Pro antisymetrickou matici platí: Logicky má antisymetrická matice na diagonále nuly Je zajímavé, že antisymetrická matice 3x3 má stejně nezávislých prvků jako vektor.

2. 2. Hodnost matice, způsob výpočtu Hodnost matice je maximální počet lineárně nezávislých řádek nebo sloupců. Při výpočtu hodnosti matice je možné využívat následujících operací: Prohodit libovolné dva řádky. Vynásobit řádek libovolným nenulovým výrazem. Přičíst jeden řádek ke druhému. Všechny předchozí úpravy lze použít i na sloupce. Nejrychlejší postup je upravení matice do schodového tvaru

Je jasná souvislost hodnosti matice a existence řešení soustavy rovnic: Jestliže matice soustavy m rovnic pro m neznámých má hodnost menší než m, soustava má nekonečně mnoho řešení. Jestliže je hodnost této matice m, soustava má právě jedno řešení. Jestliže matice soustavy m homogenních rovnic má matici s hodností menší než m, soustava má netriviální řešení, v opačném případě existuje pouze řešení triviální.

2. 3. Násobení matic Matici s rozměry mn lze násobit jinou maticí pouze tehdy, když ta má rozměry nk. Je to vlastně skalární součin vektorů i-tého řádku a j-tého sloupce.

2. 4. Matice ve fyzice Ve fyzice nastává někdy případ, že jeden vektor o n složkách je závislý na jiném vektoru se stejným počtem složek. Protože jedna složka prvního vektoru je obecně závislá na všech složkách druhého vektoru, znamená to, že předpis zobrazení má n2 složek a dá se zapsat jako matice. Tomuto zobrazení se říká tenzor. Tenzory se poprvé objevily, když se začaly objevovat zákony pružného prostředí. Vyjádření deformace i její příčiny - napětí - vyžaduje tenzory: tenzor deformace a tenzor napětí. Odtud také pochází název: tenzor od tensio (napětí). Stejně jako matice rozeznáváme tenzory symetrické a antisymetrické. Protože antisymetrický tenzor 3x3 má pouze 3 nezávislé složky, nahrazujeme ho někdy vektorem. Například úhlová rychlost se běžně bere jako vektor, ve skutečnosti je to antisymetrický tenzor. Důkaz: 3 rozměry – vektor 3 složky, antisymetrický tenzor 3 složky 2 rozměry – vektor 2 složky, antisymetrický tenzor jedna složka 1 rozměr – vektor jedna složka, antisymetrický tenzor 0 složek

3. Determinanty 3. 1. Definice, úpravy Determinant je zobrazení, které přiřazuje každé čtvercové matici skalár. Tento skalár je definován V součinu se postupně vystřídají všechny kombinace, při který se v jednom součiniteli nevyskytuje dvakrát žádný řádek ani sloupec

Sarrusovo pravidlo

Pomocí subdeterminantů: Znaménko se určuje podle součtu indexů: liché číslo = -, sudé číslo = + Úpravy determinantů: Determinant matice A se nezmění, přičteme-li k nějakému řádku matice (sloupci matice) A libovolný násobek jiného řádku (sloupce). : Vznikne-li matice B z matice A vynásobením nějakého řádku (sloupce) matice A číslem k, je detB = k*detA Vznikne-li matice B z matice A zaměněním dvou řádků (sloupců) matice A, je detB = - detA Důsledek: Upravíme-li determinant do schodového tvaru, je pak roven součinu členů na diagonále.

3. 2. Cramerovo pravidlo Řešení soustavy algebraických rovnic: pro neznámou : kde:

Příklad:

4. Limity posloupností a funkcí se čím dále tím více blíží k nule značíme to: pro zajímavost: proto:

dá se dokázat, že neurčité výrazy: příklady:

4. 2. Limity funkcí funkce: předpis, který se jednoznačně přiřazuje číslu z jedné číselné množiny (definičního oboru) jiné číslo z druhé číselné množiny (obor funkčních hodnot) Limita funkce v bodě: k libovolnému lze nalézt takové, že platí pro všechna Je samozřejmé, že pokud existuje funkční hodnota a funkce je spojitá,

f(x) a x limita nemusí existovat:: neurčité výrazy jsou stejné jako u posloupností příklady:

m, n přirozená čísla stěžení limita pro goniometrické funkce:

Důležité vzorce pro goniometrické funkce:

stěžení limity pro exponenciální funkce:

stěžení limita pro logaritmické funkce:

5. Derivace 5. 1. Definice Několik fyzikálních veličin je definováno jako derivace: rychlost Z Dobřan do Prahy je 100 km. Automobil projede tuto vzdálenost za 1 hodinu. Jakou rychlostí se pohyboval? průměrná rychlost okamžitá rychlost? jak malé volit ? jak malé volit u kulky z pistole? z nulové rychlosti na 400 m/s za 0,001 s při radioaktivním rozpadu alfa z nulové rychlosti na 20 000 km/s za 10-22 s

s(t) t průměrná rychlost t0 s(t) t okamžitá rychlost t0

matematická definice derivace: vzorce pro výpočet derivace:

5. 2. Pravidla pro derivování funkcí:

5. 3. První a druhá derivace a průběh funkce f(x) x a f(x) x a f(x) x Ve všech těchto případech platí: funkce je konkávní, a je lokální maximum funkce je konvexní, a je lokální minimum a je inflexní bod

a f(x) x První derivace a průběh funkce: funkce je rostoucí funkce je klesající a je inflexní bod rovnice tečny v bodě a

5. 4. L´Hospitalovo pravidlo Pokud při výpočtu limity z podílu dvou funkcí narazíme na neurčitý tvar nebo , můžeme použít l´Hospitalova pravidla, podle kterého: pokud limita derivací existuje nebo

5. 5. Diferenciál, parciální derivace Je to nekonečně malý přírůstek. Vztah derivace funkce a diferenciálu proměnné: Umožňuje vypočítat průběh funkce v malém okolí daného bodu. Jestliže funkce závisí na několika proměnných, pak definujeme parciální derivaci podle jedné z proměnných jako derivaci podle této proměnné, zatímco ostatní proměnné bereme jako konstanty. Diferenciál této funkce:

Význam: umožňuje přibližně vypočítat, jak se změní hodnota funkce v určitím bodě při malé změně všech proměnných. Příklad: Jak se změní tato hodnota, jestliže Největší vliv má změna z, poloviční vliv má x, zanedbatelný vliv má y. Ve fyzice je to důležité při posuzování vlivu jednotlivých chyb na výsledek.

5. 6. Derivace vyšších řádů Ve fyzice například

6. Neurčitý integrál 6. 1. Definice Je to zobrazení jedné funkce na jinou (té se říká primitivní funkce), které je inverzní k derivaci. Z toho plyne, že integrál ze součtu je součet integrálů. Je zřejmé, že výsledek neurčitého integrálu není jednoznačný. Funkcí je nekonečně mnoho, liší se však jen konstantou.

6. 2. Metoda substituce zkouška

6. 3. Metoda per partes zkouška

6. 4. Matematické úpravy racionální funkce rozklad jmenovatele musí platit

6. 5. integrály z goniometrických funkcí velmi častou úpravou je převedení kvadrátu goniometrické funkce na cosinus dvojnásobného úhlu:

6. 5. Využití ve fyzice známe-li zrychlení, lze vypočítat rychlost a dráhu příklad: zrychlení je konstantní - tíhové má význam rychlosti v čase , má význam počáteční souřadnice protože numerická integrace v počítačích je daleko přesnější než numerická derivace, používají se 3D akcelerometry, jejich údaj se integruje na rychlost a ta pak na polohu přesnost je tak velká, že to umožňuje bezpilotní přistání letadel při nulové viditelnosti

7. Určitý integrál 7.1. Definice, vztah ke grafu funkce Určitý integrál má na rozdíl od neurčitého horní a dolní mez. Jeho výsledkem je rozdíl funkčních hodnot (nebo limit) primitivní funkce v horní a dolní mezi. Zvláštní případ je, když jedna nebo obě meze jsou nekonečno. Pak mluvíme o nevlastním integrálu a je nutné vždy počítat limitu primitivní funkce. případně protože platí kde

f(x) f(xi) xi xi+1 x a b f(x) x a b význam výrazu plocha vyznačeného obdélníku f(x) f(xi) xi xi+1 x a b po součtu a limitaci: f(x) x a b

Určitý integrál má grafický význam: je to obsah plochy ohraničené grafem funkce mezi body a a b, pořadnicemi a osou x. Měřítko na scvislé ose musí samozřejmě začínat nulou. V časové závislosti rychlosti má proto význam dráhy mezi dvěma časovými okamžiky.

8. Vyšetřování průběhu funkcí 8.1. Zásady postupu definiční obor funkce sudost, lichost, periodičnost funkce - má-li totiž funkce jednu z uvedených vlastností, zjednoduší to vyšetřování jejího průběhu průsečíky s osami kartézského systému souřadnic limity v krajních bodech definičního oboru první derivaci funkce, stacionární body a body, v nichž není první derivace definována intervaly monotónnosti a lokální extrémy druhou derivaci funkce, nulové body druhé derivace a body, v nichž není druhá derivace funkce definována intervaly konvexnosti a konkávnosti a inflexní body asymptoty funkce obor hodnot graf funkce

definiční obor funkce sudost, lichost, periodičnost funkce – není ani sudá, ani lichá průsečíky s osami kartézského systému souřadnic s osou y s osou x – pomocí Excelu – 0,196, ostatní kořeny komplexní limity v krajních bodech defininího oboru první derivaci funkce, stacionární body a body, v nichž není první derivace definována jsou stacionární body (podezřelé z extrému) intervaly monotónnosti a lokální extrémy druhou derivaci funkce, nulové body druhé derivace a body, v nichž není druhá derivace funkce definována, intervaly konvexnosti a konkávnosti a inflexní body x1 je maximum, x2 je minimum, x3 je inflexní bod do x1 je funkce rostoucí, od tohoto bodu do bodu x2 klesající do x3 je funkce konkávní, od tohoto bodu konvexní

asymptoty funkce obor hodnot graf funkce y x

9. Vektorová analýza 9.1. Gradient skalární pole příklady: nadmořská výška (pro 2 proměnné), hustota, tlak, elektrický náboj,… Skalární pole se dá graficky znázornit pomocí hladin skalárního pole. Jsou to plochy, na kterých je všude stejná hodnota skaláru. (ekvipotenciální plochy) vektorové pole příklady: síla, magnetická indukce, rychlost, … Vektorové pole se dá graficky znázornit pomocí vektorových čar (siločar). Jsou to křivky, v jejichž každém bodě má tečna směr vektoru.

definice gradientu: Gradient převádí skalární pole na vektorové. Pomocí gradientu si můžeme vypočítat změnu skalárního pole při malém posunutí: Gradient je vektor, který je vždy kolmý k hladinám skalárního pole (k ekvipotenciálním hladinám) . Siločáry gradientního pole jsou kolmé k hladinám skalárního pole. Gradient je vektor, který má směr maximálního růstu skalárního pole. V praxi se často používá stručnějšího zápisu pomocí operátoru nabla:

Na obrázcích je znázorněno skalární pole tmavostí (čím tmavší, tím větší hodnota; šipkami je znázorněno vektorové pole vytvořené gradientem Je-li skalárním polem nadmořská výška, pak gradientem je vektorové pole, které má vždy opačný směr než tekoucí voda. Podobu můžeme hledat u map. Vrstevnice představují skalární pole, šrafování vektorové pole.

9. 2. Divergence Divergence převádí vektorové pole na skalární. Přiblížení: Jestliže je vektorové pole pole rychlostí kapaliny, je divergence rovna množství kapaliny, které vyteče z jednotkového objemu za jednotku času. Je-li v tomto případě divergence rovna nule, pak jde o pole nezřídlové, množství, které za sekundu přiteče se rovná množství, které za sekundu odteče. Pokud je divergence různá od nuly, je přítomen zdroj kapaliny, pole se nazývá zřídlové. Divergence se dá také napsat pomocí operátoru nabla:.

9. 3. Rotace Rotace je zobrazení jednoho vektorového pole do jiného vektorového pole. Pokud je vektor rychlostí kapaliny, je rotace vektor, který má směr rotační osy a jeho velikost popisuje dvojnásobek úhlové rychlosti otáčení. Je-li rotace ve všech bodech rovna nule, říkáme, že vektorové pole je nevírové. Pokud je rotace v některém bodě různá od nuly, je pole vírové.

9. 4. Laplaceův operátor delta Laplaceův operátor převádí skalární pole na skalární, vektorové pole na vektorové. ve válcových souřadnicích ve sférických souřadnicích

dokažte, že dokažte, že