Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. VARIACE S OPAKOVÁNÍM Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Prozatím jsme se zabývali pouze uspořádanými k-ticemi sestavenými z n prvků množiny M tak, že v každé z nich se žádný prvek neopakuje a které existují právě tehdy, je-li k  n . Připomeňme si ukázkový příklad. 

Máme množinu tří různobarevných kruhů M = { , , }. Zakreslete všechny různobarevné dvojice kruhů. Dvojice lišící se pořadím kruhů jsou různé. Každá zakreslená dvojice je uspořádanou dvojicí prvků množiny M, v níž se žádný prvek neopakuje, neboli variací bez opakování druhé třídy ze tří prvků. 

Máme množinu tří různobarevných kruhů M = { , , }. Zakreslete všechny různobarevné dvojice kruhů. Dvojice lišící se pořadím kruhů jsou různé. Máme množinu tří různobarevných kruhů M = { , , }. Zakreslete všechny různobarevné dvojice kruhů. Dvojice lišící se pořadím kruhů jsou různé. Nyní si zadání úlohy upravíme tak, abychom mohli ještě přikreslit ty uspořádané dvojice, v nichž se mohou prvky množiny M opakovat. 

Máme množinu tří různobarevných kruhů M = { , , }. Zakreslete všechny dvojice kruhů. Dvojice lišící se pořadím kruhů jsou různé. Zrušili jsme požadavek, aby se v každé uspořádané dvojici prvek vyskytoval právě jednou. Zakreslete zbývající uspořádané dvojice. 

Máme množinu tří různobarevných kruhů M = { , , }. Zakreslete všechny dvojice kruhů. Dvojice lišící se pořadím kruhů jsou různé. Každá uspořádaná dvojice prvků množiny M, ve které se mohou prvky množiny M opakovat, představuje variaci s opakováním druhé třídy ze tří prvků. 

Máme množinu čtyř různobarevných čtverců M = { , , , }. Zakreslete všechny variace s opakováním třetí třídy ze čtyř prvků množiny M. Zakreslujte samostatně. Sledujte počet opakování prvků množiny M v jednotlivých uspořádaných trojicích. 

Nyní si přesuneme variace s opakováním tak, abychom mohli lépe sledovat počet opakování prvků množiny M v jednotlivých uspořádaných trojicích. 

Jaký je nejvyšší možný počet opakování prvku množiny M v jednotlivých uspořádaných trojicích? 

V každé uspořádané trojici se může prvek množiny M opakovat nejvýše třikrát. V každé uspořádané trojici se může prvek množiny M opakovat nejvýše třikrát. 

Máme množinu dvou různobarevných trojúhelníků M = { , }. a) Zakreslete variace bez opakování čtvrté třídy ze dvou prvků. b) Zakreslete variace s opakováním čtvrté třídy ze dvou prvků. Zakreslujte samostatně. Sledujte existenci jednotlivých variací - vztah mezi třídou a počtem prvků množiny M. 

Máme množinu dvou různobarevných trojúhelníků M = { , }. a) Zakreslete variace bez opakování čtvrté třídy ze dvou prvků. b) Zakreslete variace s opakováním čtvrté třídy ze dvou prvků. například: Z daných trojúhelníků nelze sestavit žádnou uspořádanou čtveřici tak, aby se v ní žádný prvek množiny M neopakoval. Jestliže je třída větší než počet prvků množiny M, pak příslušné variace bez opakování neexistují. 

Máme množinu dvou různobarevných trojúhelníků M = { , }. a) Zakreslete variace bez opakování čtvrté třídy ze dvou prvků. b) Zakreslete variace s opakováním čtvrté třídy ze dvou prvků. Díky opakování prvků množiny M v uspořádaných čtveřicích, příslušné variace s opakováním existují i když je třída větší než počet prvků množiny M. 

že variace s opakováním k-té třídy z n prvků se liší Nyní již víme, že variace s opakováním k-té třídy z n prvků se liší od variací bez opakování k-té třídy z n prvků tím, že v uspořádaných k-ticích sestavených z n prvků množiny M se mohou prvky opakovat, a to nejvýše k-krát, a že existují, i když je k > n. Zapišme si definici. 

DEFINICE Nechť k, n jsou přirozená čísla a nechť je dána konečná množina M, která má n prvků. Každou uspořádanou k-tici sestavenou z prvků množiny M budeme nazývat variace s opakováním k-té třídy z n-prvků. 

Spíše než vypisování všech variací s opakováním k-té třídy z daných n prvků množiny M nás bude zajímat počet všech těchto variací s opakováním, který označíme V´k(n). 

Kolik různých výsledků můžeme dostat, házíme-li současně třemi hracími kostkami – červenou, zelenou a modrou? Prvky množiny M jsou čísla 1, 2, 3, 4, 5 a 6. Každý hod můžeme zapsat jako uspořádanou trojici číslo na červené, číslo na zelené a číslo na modré kostce. Jelikož se v jednom hodu mohou čísla opakovat, jsou tyto uspořádané trojice variacemi s opakováním třetí třídy z šesti prvků množiny M. Jak zjistíme počet možných výsledků? 

Kolik různých výsledků můžeme dostat, házíme-li současně třemi hracími kostkami – červenou, zelenou a modrou? První člen uspořádané trojice můžeme vybrat ze 6 možností. Druhý člen uspořádané trojice vybereme také ze 6 možností. Třetí člen uspořádané trojice vybíráme opět ze 6 možností. Pro výběr každého členu uspořádané trojice sestavené z daných 6 prvků množiny M máme tedy právě 6 možností, a to nezávisle na tom, které prvky byly vybrány pro členy předcházející. 

Můžeme dostat celkem 216 různých výsledků. Kolik různých výsledků můžeme dostat, házíme-li současně třemi hracími kostkami – červenou, zelenou a modrou? Počet V´3(6) všech variací s opakováním třetí třídy z šesti prvků vypočteme takto: { V´3(6) = 6 . 6 . 6 = 63 = 216 3-krát Můžeme dostat celkem 216 různých výsledků. 

VĚTA V´k(n) = nk ; kde n, k  N Pro počet V´k(n) všech variací s opakováním k-té třídy z n prvků platí: V´k(n) = nk ; kde n, k  N 

Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel sestavených z lichých cifer. Budeme počítat počet variací s opakováním? Pokud ano, které třídy a z kolika prvků? Zdůvodněte. 

Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel sestavených z lichých cifer. Určujeme počet V´4(5) všech variací s opakováním čtvrté třídy z pěti prvků, jelikož na každém místě v uspořádané čtveřici může být jakákoliv cifra ze zadaných cifer 1, 3, 5, 7 a 9. 

Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel sestavených z lichých cifer. k = 4 n = 5 Dosaďte do vzorce a příklad dopočtěte. 

Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel sestavených z lichých cifer. k = 4 n = 5 Hledaný počet všech čísel je 625. 

Kolik existuje variací s opakováním páté třídy ze čtyř prvků? Příklad řešte samostatně. 

Kolik existuje variací s opakováním páté třídy ze čtyř prvků? 

Kolik existuje variací s opakováním páté třídy ze čtyř prvků? Existuje celkem 1 024 zadaných variací s opakováním.