Rovnice a graf přímé úměrnosti.

Přímá úměrnost (úměra). Příklad: Automobil jede průměrnou rychlostí 60 km/h. Urči kolik kilometrů ujede od chvíle, kdy začneme měřit čas za 1, 2, 3, 4, 5, 6 hodin. Určete, zda se jedná o přímou úměru a své tvrzení zdůvodněte. Ano. Jde o přímou úměru dráhy a času. Průměrná rychlost 60 km/h znamená, že automobil ujede 60 kilometrů za jednu hodinu, jinými slovy 60 kilometrů každou hodinu. Za jednu hodinu tedy 60 kilometrů, za dvě hodiny dvakrát více, za tři hodiny třikrát více, atd. Z toho tedy vyplývá, že kolikrát se zvětší jedna veličina, tolikrát se zvětší i veličina druhá. Sestavte tabulku této přímé úměry. Čas (hod.): 1 2 3 4 5 6 Dráha (km): 60 120 180 240 300 360

Přímá úměrnost (úměra) - opakování. Příklad: Automobil jede průměrnou rychlostí 60 km/h. Urči kolik kilometrů ujede od chvíle, kdy začneme měřit čas za 1, 2, 3, 4, 5, 6 hodin. Čas (hod.): 1 2 3 4 5 6 Dráha (km): 60 120 180 240 300 360 Zopakujme si, co již o přímé úměrnosti víme: Kolikrát se zvětší (zmenší) jedna veličina, tolikrát se zvětší (zmenší) druhá veličina. V jakém poměru se zvětší (zmenší) jedna veličina, v takovém poměru se zvětší (zmenší) druhá veličina. Takový vztah mezi dvěma veličinami se nazývá přímá úměrnost. Říkáme, že veličiny jsou přímo úměrné.

Graf přímé úměrnosti (úměry). Příklad: Automobil jede průměrnou rychlostí 60 km/h. Urči kolik kilometrů ujede od chvíle, kdy začneme měřit čas za 1, 2, 3, 4, 5, 6 hodin. Čas (hod.): 1 2 3 4 5 6 Dráha (km): 60 120 180 240 300 360 Ze zadaných a vypočtených hodnot v tabulce sestav graf závislosti dráhy na čase. … a 1 dílek na ose dráhy odpovídá 60 kilometrům Nejdříve si sestrojíme vhodně volenou kartézskou soustavu souřadnic. … 1 dílek na ose času odpovídá 1 hodině … Jen v kladných hodnotách …

Graf přímé úměrnosti (úměry). Příklad: Automobil jede průměrnou rychlostí 60 km/h. Urči kolik kilometrů ujede od chvíle, kdy začneme měřit čas za 1, 2, 3, 4, 5, 6 hodin. Čas (hod.): 1 2 3 4 5 6 Dráha (km): 60 120 180 240 300 360 Ze zadaných a vypočtených hodnot v tabulce sestav graf závislosti dráhy na čase. Poté již do grafu postupně sestrojíme příslušné body.

Graf přímé úměrnosti (úměry). Příklad: Automobil jede průměrnou rychlostí 60 km/h. Urči kolik kilometrů ujede od chvíle, kdy začneme měřit čas za 1, 2, 3, 4, 5, 6 hodin. Čas (hod.): 1 2 3 4 5 6 Dráha (km): 60 120 180 240 300 360 Ze zadaných a vypočtených hodnot v tabulce sestav graf závislosti dráhy na čase.

Graf přímé úměrnosti (úměry). Příklad: Automobil jede průměrnou rychlostí 60 km/h. Urči kolik kilometrů ujede od chvíle, kdy začneme měřit čas za 1, 2, 3, 4, 5, 6 hodin. Čas (hod.): 1 2 3 4 5 6 Dráha (km): 60 120 180 240 300 360 Ze zadaných a vypočtených hodnot v tabulce sestav graf závislosti dráhy na čase.

Graf přímé úměrnosti (úměry). Příklad: Automobil jede průměrnou rychlostí 60 km/h. Urči kolik kilometrů ujede od chvíle, kdy začneme měřit čas za 1, 2, 3, 4, 5, 6 hodin. Čas (hod.): 1 2 3 4 5 6 Dráha (km): 60 120 180 240 300 360 Ze zadaných a vypočtených hodnot v tabulce sestav graf závislosti dráhy na čase.

Graf přímé úměrnosti (úměry). Příklad: Automobil jede průměrnou rychlostí 60 km/h. Urči kolik kilometrů ujede od chvíle, kdy začneme měřit čas za 1, 2, 3, 4, 5, 6 hodin. Čas (hod.): 1 2 3 4 5 6 Dráha (km): 60 120 180 240 300 360 Ze zadaných a vypočtených hodnot v tabulce sestav graf závislosti dráhy na čase.

Graf přímé úměrnosti (úměry). Příklad: Automobil jede průměrnou rychlostí 60 km/h. Urči kolik kilometrů ujede od chvíle, kdy začneme měřit čas za 1, 2, 3, 4, 5, 6 hodin. Čas (hod.): 1 2 3 4 5 6 Dráha (km): 60 120 180 240 300 360 Ze zadaných a vypočtených hodnot v tabulce sestav graf závislosti dráhy na čase. Co je grafem naší přímé úměry? Kdy to nebudou jen tyto body? Jsou to jen sestrojené body?

Graf přímé úměrnosti (úměry). Příklad: Automobil jede průměrnou rychlostí 60 km/h. Urči kolik kilometrů ujede od chvíle, kdy začneme měřit čas za 1, 2, 3, 4, 5, 6 hodin. Čas (hod.): 1 2 3 4 5 6 Dráha (km): 60 120 180 240 300 360 Ze zadaných a vypočtených hodnot v tabulce sestav graf závislosti dráhy na čase. Grafem přímé úměry, která popisuje závislost ujeté dráhy na čase při průměrné rychlosti 60 km/h je polopřímka, procházející „našimi body“?

Graf přímé úměrnosti (úměry). Příklad: Automobil jede průměrnou rychlostí 60 km/h. Urči kolik kilometrů ujede od chvíle, kdy začneme měřit čas za 1, 2, 3, 4, 5, 6 hodin. Čas (hod.): 1 2 3 4 5 6 Dráha (km): 60 120 180 240 300 360 Ze zadaných a vypočtených hodnot v tabulce sestav graf závislosti dráhy na čase. Grafem přímé úměrnosti je obecně přímka procházející počátkem soustavy souřadnic (pokud je definičním oborem množina reálných čísel). Avšak vzhledem k definičnímu oboru pracujeme většinou pouze s podmnožinami přímky, tj. buď s polopřímkou nebo s úsečkou. Pokud je však definičním oborem množina přirozených čísel, pak grafem závislosti je množina izolovaných bodů ležících na přímce (event. na polopřímce).

Graf přímé úměrnosti (úměry). Příklad: Automobil jede průměrnou rychlostí 60 km/h. Urči kolik kilometrů ujede od chvíle, kdy začneme měřit čas za 1, 2, 3, 4, 5, 6 hodin. Čas (hod.): 1 2 3 4 5 6 Dráha (km): 60 120 180 240 300 360 Ze zadaných a vypočtených hodnot v tabulce sestav graf závislosti dráhy na čase. Existuje nějaký vztah, vzorec, rovnice, která nám pomůže všechny body odpovídající naší přímé úměře, všechny uspořádané dvojice času a k němu odpovídající dráhy „najít“, vypočítat? Ano existuje. A my si tuto rovnici společně odvodíme. Jak jsme si tedy vyvodili, grafem přímé úměry je polopřímka, která znázorňuje graficky množinu všech bodů, které odpovídají dané přímé úměře.

Graf přímé úměrnosti (úměry). Příklad: Automobil jede průměrnou rychlostí 60 km/h. Urči kolik kilometrů ujede od chvíle, kdy začneme měřit čas za 1, 2, 3, 4, 5, 6 hodin. Čas (hod.): 1 2 3 4 5 6 Dráha (km): 60 120 180 240 300 360 Podívejte se na tabulku a pokuste se najít vztah mezi odpovídajícími si hodnotami času a dráhy. 60 : 1 = 60 120 : 2 = 60 180 : 3 = 60 240 : 4 = 60 Konstanta. V našem případě číslo 60, tedy průměrná rychlost automobilu 60 km/h. 300 : 5 = 60 360 : 6 = 60

Rovnice přímé úměrnosti (úměry). Příklad: Automobil jede průměrnou rychlostí 60 km/h. Urči kolik kilometrů ujede od chvíle, kdy začneme měřit čas za 1, 2, 3, 4, 5, 6 hodin. Čas (hod.): 1 2 3 4 5 6 Dráha (km): 60 120 180 240 300 360 Podívejte se na tabulku a pokuste se najít vztah mezi odpovídajícími si hodnotami času a dráhy. 60 : 1 = 60 120 : 2 = 60 180 : 3 = 60 240 : 4 = 60 Konstanta. V našem případě číslo 60, tedy průměrná rychlost automobilu 60 km/h. 300 : 5 = 60 360 : 6 = 60 s : t = v Dráha. s = v . t Čas.

Obecná rovnice přímé úměrnosti (úměry). Příklad: Automobil jede průměrnou rychlostí 60 km/h. Urči kolik kilometrů ujede od chvíle, kdy začneme měřit čas za 1, 2, 3, 4, 5, 6 hodin. Čas (hod.): 1 2 3 4 5 6 Dráha (km): 60 120 180 240 300 360 x y Podívejte se na tabulku a pokuste se najít vztah mezi odpovídajícími si hodnotami času a dráhy. y Urči pomocí rovnice a následně i grafu další odpovídající hodnoty. Např. jakou dráhu ujede automobil za 1,5 hodiny, za jak dlouho ujede 330 km, atd. 60 : 1 = 60 120 : 2 = 60 180 : 3 = 60 240 : 4 = 60 Rovnici naší přímé úměrnosti si nyní zobecníme. 300 : 5 = 60 360 : 6 = 60 s : t = v y : x = k s = v . t y = k . x x

Přímá úměrnost (úměra) – příklady - 1. Příklad: Jeden rohlík stojí 2,- Kč. Kolik korun budou stát 2, 3, …, 8 rohlíků? Sestav tabulku přímé úměry. x … počet rohlíků (kusů): 1 2 3 4 5 6 7 8 y … cena rohlíků (Kč): 10 12 14 16 Urči rovnici přímé úměry. Sestroj graf přímé úměry. 2 : 1 = 2 4 : 2 = 2 6 : 3 = 2 8 : 4 = 2 … k = 2 y = k . x y = 2 . x

Příklady k procvičení - 2 Urči rovnici přímé úměry, doplň tabulku a sestroj graf dané úměry (v R). x 2 8 10 12 16 y 18 36 42

Příklady k procvičení - 2 Urči rovnici přímé úměry, doplň tabulku a sestroj graf dané úměry (v R). x 2 8 10 12 16 y 18 36 42 Konstanta k: 36 : 12 = 3 k = 3 Rovnice přímé úměry: y = k . x y = 3x

Příklady k procvičení - 2 Urči rovnici přímé úměry, doplň tabulku a sestroj graf dané úměry (v R). x 2 4 6 8 10 12 14 16 y 18 24 30 36 42 48 Graf: Konstanta k: 36 : 12 = 3 k = 3 Rovnice přímé úměry: y = k . x y = 3.x

Příklady k procvičení - 3 Urči rovnici přímé úměry, doplň tabulku a sestroj graf dané úměry (v R+). x 15 20 25 35 y 2,5 5 10

Příklady k procvičení - 3 Urči rovnici přímé úměry, doplň tabulku a sestroj graf dané úměry (v R+). x 15 20 25 35 y 2,5 5 10 Konstanta k: 10 : 20 = 0,5 k = 0,5 Rovnice přímé úměry: y = k . x y = 0,5 . x

Příklady k procvičení - 3 Urči rovnici přímé úměry, doplň tabulku a sestroj graf dané úměry (v R+). x 5 10 15 20 25 30 35 40 y 2,5 7,5 12,5 17,5 Graf: Konstanta k: 10 : 20 = 0,5 k = 0,5 Rovnice přímé úměry: y = k . x y = 0,5 . x

Přímá úměrnost (úměra) - závěr. Příklad: Automobil jede průměrnou rychlostí 60 km/h. Urči kolik kilometrů ujede od chvíle, kdy začneme měřit čas za 1, 2, 3, 4, 5, 6 hodin. Čas (hod.): 1 2 3 4 5 6 Dráha (km): 60 120 180 240 300 360 Shrňme si, co již o přímé úměrnosti víme: Kolikrát se zvětší (zmenší) jedna veličina, tolikrát se zvětší (zmenší) druhá veličina. V jakém poměru se zvětší (zmenší) jedna veličina, v takovém poměru se zvětší (zmenší) druhá veličina. Takový vztah mezi dvěma veličinami se nazývá přímá úměrnost. Říkáme, že veličiny jsou přímo úměrné. Rovnice přímé úměry … y = k . x Grafem přímé úměrnosti je obecně přímka procházející počátkem soustavy souřadnic (pokud je definičním oborem množina reálných čísel). Avšak vzhledem k definičnímu oboru pracujeme většinou pouze s podmnožinami přímky, tj. buď s polopřímkou nebo s úsečkou. Pokud je však definičním oborem množina přirozených čísel, pak grafem závislosti je množina izolovaných bodů ležících na přímce (event. na polopřímce).