Soustava lineárních nerovnic Řešení nerovnic Soustava lineárních nerovnic Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Šárka Macháňová. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozuje Národní ústav pro vzdělávání, školské poradenské zařízení a zařízení pro další vzdělávání pedagogických pracovníků (NÚV). 1
Opakování ‒ Řešení nerovnic: Řešit lineární nerovnici s jednou neznámou znamená určit všechny hodnoty x R, pro které platí ten uvedený vztah, který byl zadán. Zkouška není nutnou součástí řešení, pokud použijeme pouze ekvivalentních úprav. Zkoušku dosazením všech kořenů do dané nerovnice nelze provést, neboť jich je zpravidla nekonečně mnoho. Dosazením náhodně vybraného čísla nemusíme zjistit případnou chybu při řešení. 2
Princip řešení nerovnic ‒ hledání kořenů nerovnice: Hledání kořenů nerovnice je, stejně jako u rovnic, opět proces, při kterém místo dané nerovnice píšeme novou nerovnici, většinou takovou, která má stejné řešení jako původní nerovnice. O takové nové nerovnici řekneme, že je s tou naší původní nerovnicí ekvivalentní. Úpravy, které provádíme s příslušnou nerovnicí se nazývají ekvivalentní úpravy. Jsou to takové úpravy nerovnice, při nichž žádný kořen neztratíme, a také obráceně, žádný kořen nedostaneme navíc. Množiny kořenů původní nerovnice a nové nerovnice jsou si rovny. 3
Ekvivalentní úpravy využívané při řešení nerovnic: 1. Vzájemná výměna obou stran nerovnice se současnou záměnou znaku nerovnosti. 2. Přičtení čísla nebo výrazu k oběma stranám nerovnice. 3. Vynásobení obou stran nerovnic stejným kladným číslem nebo výrazem. 4. Vynásobení obou stran nerovnice záporným číslem se záměnou znaku nerovnosti. 5. Umocnění obou stran nerovnice přirozeným mocnitelem, jen když jsou obě strany rovnice kladné. 6. Odmocnění obou stran nerovnice přirozeným odmocnitelem, jen když jsou obě strany kladné. 4
POZOR! Podstatnou a zásadní změnou při řešení nerovnic je násobení nebo dělení nerovnice záporným číslem nebo výrazem, který nabývá záporných hodnot. MUSÍME POTÉ ZMĚNIT ZNAMÉNKO V OPAČNÉ! 5
POZOR! Podstatnou a zásadní změnou při řešení nerovnic je násobení nebo dělení nerovnice záporným číslem nebo výrazem, který nabývá záporných hodnot. MUSÍME POTÉ ZMĚNIT ZNAMÉNKO V OPAČNÉ! 6
Opakování ‒ Lineární nerovnice Lineární nerovnice s neznámou x je nerovnice, kterou lze vyjádřit ve tvaru: Jejím řešením je podmnožina množiny R, kterou lze zapsat například pomocí intervalu. 7
Opakování ‒ Řešení lineárních nerovnic Řešme v R nerovnici: 8
Opakování ‒ Řešení lineárních nerovnic Řešme v R nerovnici: 9
Soustava lineárních nerovnic Jak se řeší lineární nerovnice, už tedy víme. Někdy však potřebujeme najít i čísla, která vyhovují zároveň několika nerovnicím s jednou neznámou – soustavě nerovnic. Postup řešení soustavy nerovnic pro nás nyní už bude v podstatě velmi jednoduchý. Spočívá totiž jen ve dvou základních krocích, které by nám již dnes neměly činit žádné potíže: 1. Vyřešíme postupně jednotlivé nerovnice. 2. Určíme průnik množin všech řešení jednotlivých nerovnic soustavy. Pojďme si tedy celý postup ukázat opět na nějakých konkrétních soustavách nerovnic. 10
Soustava lineárních nerovnic Řešme v R soustavu nerovnic: V souladu s na předchozím snímku uvedeným postupem řešení soustavy nerovnic, vyřešíme nejprve obě nerovnice samostatně. 11
Soustava lineárních nerovnic Řešme v R soustavu nerovnic: No a nyní v souladu s druhým krokem výše uvedeného postupu při řešení soustavy nerovnic určíme průnik množin všech řešení jednotlivých nerovnic soustavy, v našem případě tedy dvou. 12
Soustava lineárních nerovnic Řešme v R soustavu nerovnic: Samozřejmě doporučuji grafické znázornění, které oceníte především při větším počtu nerovnic. 13
Opět nejprve všechny nerovnice vyřešíme samostatně. Soustava lineárních nerovnic Řešme v R soustavu nerovnic: Opět nejprve všechny nerovnice vyřešíme samostatně. 14
Soustava lineárních nerovnic Řešme v R soustavu nerovnic: No a nyní určíme průnik množin všech řešení jednotlivých nerovnic soustavy. Tentokrát tří. Zde již skutečně jistě oceníte přínos grafického znázornění. 15
Soustava lineárních nerovnic Řešme v R soustavu nerovnic: 16
a … dál už vám jistě radit nemusím. Soustava lineárních nerovnic Řešme v R soustavu nerovnic: Překvapilo vás zadání? Jedná se o jiný zápis soustavy dvou nerovnic. Jednotlivé vztahy si tedy nejprve rozepíšeme na samostatné nerovnice a … dál už vám jistě radit nemusím. 17
Soustava lineárních nerovnic Řešme v R soustavu nerovnic: 18
Soustava lineárních nerovnic Řešme v R soustavu nerovnic: 19
Soustava lineárních nerovnic I v případě soustavy nerovnic se můžeme setkat také s jinými typy řešení, než nám prozatím ve všech řešených příkladech vycházely. Podívejme se na ně. Řešme v R soustavu nerovnic: Průnik množin řešení jednotlivých nerovnic soustavy je prázdný, a to znamená, že soustava nerovnic nemá řešení! 20
Soustava lineárních nerovnic I v případě soustavy nerovnic se můžeme setkat také s jinými typy řešení, než nám prozatím ve všech řešených příkladech vycházely. Podívejme se na ně. Řešme v R soustavu nerovnic: Průnik množin řešení jednotlivých nerovnic soustavy je prázdný, a to znamená, že soustava nerovnic nemá řešení! 21
Soustava lineárních nerovnic Řešme v R soustavu nerovnic: Průnik všech tří množin řešení jednotlivých nerovnic soustavy je prázdný, a to znamená, že soustava nerovnic ani v tomto případě nemá řešení! 22
Soustava lineárních nerovnic Řešme v R soustavu nerovnic: Průnik všech tří množin řešení jednotlivých nerovnic soustavy je prázdný, a to znamená, že soustava nerovnic ani v tomto případě nemá řešení! 23
Příklady k procvičení Řešme v R soustavu nerovnic: 24
Příklady k procvičení Řešme v R soustavu nerovnic: 25
Příklady k procvičení Řešme v R soustavu nerovnic: 26
Příklady k procvičení Řešme v R soustavu nerovnic: 27
Příklady k procvičení Řešme v R soustavu nerovnic: 28
Příklady k procvičení Řešme v R soustavu nerovnic: 29
Použité obrázky: Všechny uveřejněné odkazy [cit. 2010-06-10]. Dostupné pod licencí Public domain na WWW: <http://www.clker.com/clipart-white-board.html> 30