KVAZISTACIONÁRNÍ STAVY a RELACE E.t   II. KVAZISTACIONÁRNÍ STAVY a RELACE E.t   19. 10. 2005

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 Krátkočasový rozvoj pro Greenovu funkci ... školská "přesná" definice neurčitosti energie se hodí jen při krátkých časech a s dobou života stavu nemá nic společného 5.10.2005: 19.10.2005 Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6

GF a spektrální hustota 5.10.2005: GF a spektrální hustota Moje definice Greenovy funkce pravdě-podobnosti amplituda přežití Fourierova transformace tam a zpět Výraz pro spektrální hustotu explicitní (definice) invariantní Dvě základní vlastnosti … a NIC víc 1 nezáporná 2 sumační pravidlo 19.10.2005 Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6

GF a spektrální hustota 5.10.2005: GF a spektrální hustota Výpočet momentů (vlastně kumulantů) Krátkočasový rozvoj 19.10.2005 Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 Zavedení spektrální hustoty a Krylovova representace ... převedení GF na spektrální hustotu --- dá se lépe porozumět ... nízké momenty se Fourierovou transformací přenášejí do krátkých časů. Neurčitost energie je 2. moment spektr. hustoty. 5.10.2005: 19.10.2005 Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6

Dlouhé časy 5.10.2005: nemá limitu při má nulovou limitu při závisí jen na , ne na specifických podrobnostech Hamiltoniánu/vln. funkcí … … ale na celém průběhu, každé podrobnosti funkčního tvaru, singularitách Rozdělíme na příspěvek spojitého a diskrétního spektra: (další matem. šílenství pominu) DVA ZÁKLADNÍ REŽIMY ekvidistantní energie periodická funkce perioda … vzdálenost hladin nemá limitu při nesouměřitelné energie vícenásobně periodická funkce ( A. Sommerfeld) téměř periodická funkce (Harald Bohr bratr ) má nulovou limitu při tzv. lemma Riemann -- Lebesque neříká nic o rychlosti konvergence k nule 19.10.2005 Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6

Dlouhé časy … rozpad stavu je možný jen ve spojitém spektru 5.10.2005: 19.10.2005 Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 5.10.2005: Rozpadový zákon Zatím jsme uvažovali amplitudu (pravděpodobnosti) přežití stavu Příslušná pozorovatelná je však sama pravděpodobnost přežití ROZPADOVÝ ZÁKON Hustota pravděpodobnosti rozpadu za jednotku času Kdyby platilo , pak rozpadový zákon by byl To je známý radioaktivní rozpad, monomolekulární luminiscence, … Proto je to centrální případ a náš úkol bude zejména najít podmínky a meze platnosti tohoto Wigner-Weisskopfova rozpadu autokorelační funkce Rozpadový zákon pomocí spektrální hustoty 19.10.2005 Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 Rozpadový zákon ... můžeme pokračovat s GF a hledat rozpadové zákony pro modelové spektr. hustoty 5.10.2005: 19.10.2005 Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6

Modelové příklady 5.10.2005: A(E) A(E) A(E) TUNELOVÁNÍ (-ROZPAD) ... bariera v reálném prostoru odděluje konečnou a nekonečnou oblast A(E) A(E) resonance bod větvení FERMIHO ZLATÉ PRAVIDLO … diskrétní hladina je slabě vázána na překrývající kontinuum stavů A(E) resonance bod větvení 19.10.2005 Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6

Modelové příklady A(E) A(E) A(E) TUNELOVÁNÍ (-ROZPAD) ... bariera v reálném prostoru odděluje konečnou a nekonečnou oblast A(E) A(E) resonance bod větvení FERMIHO ZLATÉ PRAVIDLO … diskrétní hladina je slabě vázána na překrývající kontinuum stavů "ROZMAZANÁ delta-FUNKCE" A(E) resonance bod větvení 19.10.2005 Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6

Modelové příklady: úvodní poznámky STACIONÁRNÍ STAV (VLASTNÍ FUNKCE) v sumě zůstane jen jeden člen: "VZOROVÁ" SPEKTRÁLNÍ HUSTOTA (model) … mám na mysli elektron hluboko v pásu, dosti silné interakce, např. el – ph celkový pohled výřez pěkný fit na Lorentzovku: kvazičástice asymetrie: komplexní renorm. konst. 2 2w hrana pásu: bod větvení 19.10.2005 Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6

Modelové příklady: přehled Postup: zvolíme modelovou spektrální hustotu A(E). K ní dopočteme Fourierovou transformací G(t) a W(t). Volba spektrální hustoty: základní vlastnosti 1, 2 I. Spojité modely Čistá Lorentzova sp. hustota Model kvazičástice – kompensovaná Lorentzova hustota Gaussova sp. hustota Obdélníková hustota Parabolická hustota – koncové body (body větvení) II. Diskrétní modely Obdélníkový hřeben Termodynamická limita 1 nezáporná 2 sumační pravidlo 19.10.2005 Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6

Modelové příklady: přehled Postup: zvolíme modelovou spektrální hustotu A(E). K ní dopočteme Fourierovou transformací G(t) a W(t). Volba spektrální hustoty: základní vlastnosti 1, 2, k tomu zjednodušení 3 I. Spojité modely Čistá Lorentzova sp. hustota – pól 1. řádu Model kvazičástice – kompensovaná Lorentzova hustota Gaussova sp. hustota – analytická funkce Obdélníková hustota Parabolická hustota – koncové body (body větvení) II. Diskrétní modely Obdélníkový hřeben Termodynamická limita 1 nezáporná 2 sumační pravidlo 3 sudá 3´ je reálná (bez fázových faktorů) Pro jednoduchost  = 1 19.10.2005 Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6

Archetyp: Lorentzova spektrální hustota 19.10.2005

Archetyp: Lorentzova spektrální hustota komplexní póly: energie QP resonance v nule doba života QP 19.10.2005

Archetyp: Lorentzova spektrální hustota komplexní póly: energie QP resonance v nule doba života QP "RELACE NEURČITOSTI" 19.10.2005

Archetyp: Lorentzova spektrální hustota komplexní póly: energie QP resonance v nule doba života QP "RELACE NEURČITOSTI" Jediný parametr imag. energie/útlum ekviv. s dobou života/rozpad.časem 19.10.2005

Archetyp: Lorentzova spektrální hustota komplexní póly: energie QP resonance v nule doba života QP "RELACE NEURČITOSTI" Jediný parametr imag. energie/útlum ekviv. s dobou života/rozpad.časem Jeho empirický význam: FWHM v energiích, nenulový sklon v čase 19.10.2005

Archetyp: Lorentzova spektrální hustota komplexní póly: energie QP resonance v nule doba života QP "RELACE NEURČITOSTI" Jediný parametr imag. energie/útlum ekviv. s dobou života/rozpad.časem Jeho empirický význam: FWHM v energiích, nenulový sklon v čase FULL WIDTH AT HALF MAXIMUM 19.10.2005

Archetyp: Lorentzova spektrální hustota komplexní póly: energie QP resonance v nule doba života QP "RELACE NEURČITOSTI" Jediný parametr imag. energie/útlum ekviv. s dobou života/rozpad.časem Jeho empirický význam: FWHM v energiích, nenulový sklon v čase 19.10.2005

Model pro kvazičástici: modifikovaný Lorentz DEFINICE KVAZIČÁSTICE pólová + regulární část pěkný fit na Lorentzovku: kvazičástice 2 2w celkový pohled komplexní rovina energií bod větvení oblast singularit F(z) 19.10.2005 Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6

Model pro kvazičástici: modifikovaný Lorentz DEFINICE KVAZIČÁSTICE komplexní renormalisační konstanta FANO RESONANCE výřez hrana pásu: bod větvení asymetrie: komplexní renorm. konst. 19.10.2005 Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6

Model pro kvazičástici: modifikovaný Lorentz RESONANCI POSUNEME DO NULOVÉ ENERGIE 19.10.2005 Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6

Model pro kvazičástici: modifikovaný Lorentz renormalisační konstantu volíme REÁLNOU: symetrická resonance 19.10.2005 Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6

Model pro kvazičástici: modifikovaný Lorentz PŘEDBĚŽNÝ ROZBOR VLASTNOSTÍ MODELU pól je dominantní FWHM odpovídá zhruba definuje spojité pozadí kvazičásticový útlum určuje dlouhočasové chování může se uplatnit po zániku kvazičásticového stavu jako slabé nekoherentní oscilace pokles úměrný je pomalý ... nefysikální chování kompensuje a vytváří celkovou strukturu spektrální funkce včetně bodů větvení vede na nenulový sklon při časech konvergujících k nule dominuje krátkočasové chování v přechodném režimu formo-vání kvazičásticového stavu 19.10.2005 Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 Model pro kvazičástici: modifikovaný Lorentz ... "dobrá" spektrální hustota má pól blízko reálné osy, ale vyhovuje ostatním podmínkám 19.10.2005 Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6

Model pro kvazičástici: kompensovaný Lorentz KONKRÉTNÍ MODEL: DVĚ LORENTZOVY HUSTOTY dva parametry dvě podmínky součtové pravidlo asymptotika VÝSLEDEK Dvojí tvar spektrální hustoty 19.10.2005 Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6

Modelová spektrální hustota Malá změna při pohledu na jádro resonance V širokém oboru energií je patrna kompensace mezi oběma Lorentzovými tvary dva parametry 19.10.2005 Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6

Modelová spektrální hustota DVĚ CHARAKTERISTIKY dva parametry 19.10.2005 Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6

Spektrální hustota a Greenova funkce 19.10.2005 Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6

Greenova funkce: Dlouhé a krátké časy GREENOVA FUNKCE PŘESNĚ KRÁTKOČASOVÝ ROZVOJ 19.10.2005 Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6

Greenova funkce: Charakteristické doby DLOUHOČASOVÉ CHOVÁNÍ KRÁTKOČASOVÉ CHOVÁNÍ formovací čas (collision duration time) zpoždění (Wigner delay time) počáteční evoluce 19.10.2005 Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 Model pro kvazičástici: kompensovaný Lorentz ... empiricky se skutečná spektrální hustota sotva dá odlišit od ideální WW kvazičástice 19.10.2005 Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6

Modelové příklady: pokračování Postup: zvolíme modelovou spektrální hustotu A(E). K ní dopočteme Fourierovou transformací G(t) a W(t). Volba spektrální hustoty: základní vlastnosti 1, 2, k tomu zjednodušení 3 I. Spojité modely Čistá Lorentzova sp. hustota – pól 1. řádu Model kvazičástice – kompensovaná Lorentzova hustota Gaussova sp. hustota – analytická funkce Obdélníková hustota Parabolická hustota – koncové body (body větvení) II. Diskrétní modely Obdélníkový hřeben Termodynamická limita 1 nezáporná 2 sumační pravidlo 3 sudá 3´ je reálná (bez fázových faktorů)   Pro jednoduchost  = 1 19.10.2005 Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6

Modelové příklady: pokračování Postup: zvolíme modelovou spektrální hustotu A(E). K ní dopočteme Fourierovou transformací G(t) a W(t). Volba spektrální hustoty: základní vlastnosti 1, 2, k tomu zjednodušení 3 I. Spojité modely Čistá Lorentzova sp. hustota – pól 1. řádu Model kvazičástice – kompensovaná Lorentzova hustota Gaussova sp. hustota – analytická funkce Obdélníková hustota Parabolická hustota – koncové body (body větvení) II. Diskrétní modely Obdélníkový hřeben Termodynamická limita 1 nezáporná 2 sumační pravidlo 3 sudá 3´ je reálná (bez fázových faktorů) spojité modely, které nevedou na kvazičástice   Pro jednoduchost  = 1 19.10.2005 Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6

Gaussova spektrální hustota analytická v celé komplexní rovině nemá póly má podstatnou singularitu v  jednoparametrická funkce 19.10.2005

Gaussova spektrální hustota analytická v celé komplexní rovině nemá póly má podstatnou singularitu v  jednoparametrická funkce měřítkový parametr pro srovnatelnost převedeme na FWHM 19.10.2005

Gaussova spektrální hustota 19.10.2005

Gaussova spektrální hustota 19.10.2005

Gaussova spektrální hustota 19.10.2005

Obdélníková spektrální hustota nenulová jen na konečném nosiči <-a, a> nemá póly má hrany-skoky, tj. body větvení jednoparametrická funkce 19.10.2005

Obdélníková spektrální hustota nenulová jen na konečném nosiči <-a, a> nemá póly má hrany- zlomy, tj. body větvení jednoparametrická funkce měřítkový parametr pro srovnatelnost převedeme na FWHM 19.10.2005

Obdélníková spektrální hustota 19.10.2005

Obdélníková spektrální hustota 19.10.2005

Obdélníková spektrální hustota 19.10.2005

Parabolická spektrální hustota nenulová jen na konečném nosiči <-a, a> nemá póly má hrany- zlomy, tj. body větvení jednoparametrická funkce 19.10.2005

Parabolická spektrální hustota nenulová jen na konečném nosiči <-a, a> nemá póly má hrany- zlomy, tj. body větvení jednoparametrická funkce měřítkový parametr pro srovnatelnost převedeme na FWHM 19.10.2005

Parabolická spektrální hustota 19.10.2005

Parabolická spektrální hustota 19.10.2005

Parabolická spektrální hustota 19.10.2005

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 Různé spojité modely ... vznik WW kvazičástice závisí kriticky na podrobnostech spektrální hustoty. Hezoučký "pík" nestačí. 19.10.2005 Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6

Modelové příklady: pokračování II. Postup: zvolíme modelovou spektrální hustotu A(E). K ní dopočteme Fourierovou transformací G(t) a W(t). Volba spektrální hustoty: základní vlastnosti 1, 2, k tomu zjednodušení 3 I. Spojité modely Čistá Lorentzova sp. hustota – pól 1. řádu Model kvazičástice – kompensovaná Lorentzova hustota Gaussova sp. hustota – analytická funkce Obdélníková hustota Parabolická hustota – koncové body (body větvení) II. Diskrétní modely Obdélníkový hřeben Termodynamická limita 1 nezáporná 2 sumační pravidlo 3 sudá 3´ je reálná (bez fázových faktorů)     Pro jednoduchost  = 1 19.10.2005 Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6

Modelové příklady: pokračování II. Postup: zvolíme modelovou spektrální hustotu A(E). K ní dopočteme Fourierovou transformací G(t) a W(t). Volba spektrální hustoty: základní vlastnosti 1, 2, k tomu zjednodušení 3 I. Spojité modely Čistá Lorentzova sp. hustota – pól 1. řádu Model kvazičástice – kompensovaná Lorentzova hustota Gaussova sp. hustota – analytická funkce Obdélníková hustota Parabolická hustota – koncové body (body větvení) II. Diskrétní modely Obdélníkový hřeben Termodynamická limita 1 nezáporná 2 sumační pravidlo 3 sudá 3´ je reálná (bez fázových faktorů)     Pro jednoduchost  = 1 19.10.2005 Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6

Diskrétní modely Jednoduché: máme Fourierovu řadu místo Fourierova integrálu Připomínka: ekvidistantní energie periodická funkce perioda … vzdálenost hladin nemá limitu při nesouměřitelné energie vícenásobně periodická funkce ( A. Sommerfeld) téměř periodická funkce (Harald Bohr bratr ) Ve fysice ale běžně provádíme termodynamickou limitu: Hodně hustě shloučené hladiny jakoby splynou na spojitý pás. Otázky: dá se to formalisovat pro ? jak dopadne při ? 19.10.2005 Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6

Diskrétní modely Jednoduché: máme Fourierovu řadu místo Fourierova integrálu Připomínka: ekvidistantní energie periodická funkce perioda … vzdálenost hladin nemá limitu při nesouměřitelné energie vícenásobně periodická funkce ( A. Sommerfeld) téměř periodická funkce (Harald Bohr bratr ) Ve fysice ale běžně provádíme termodynamickou limitu: Hodně hustě shloučené hladiny jakoby splynou na spojitý pás. Otázky: dá se to formalisovat pro ? jak dopadne při ? ve fysice se s tím setkáme v pásové teorii v numerické matematice je to problém Diskrétní Fourierovy transf. 19.10.2005 Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6

Obdélníkový hřeben DVA PARAMETRY rozdělení nerealistické, ale snadno zpracovatelné, limita je obdélník 19.10.2005

Obdélníkový hřeben DVA PARAMETRY rozdělení nerealistické, ale snadno zpracovatelné, limita je obdélník 19.10.2005

Obdélníkový hřeben o tom více DVA PARAMETRY rozdělení nerealistické, ale snadno zpracovatelné, limita je obdélník o tom více 19.10.2005

Obdélníkový hřeben DVA PARAMETRY rozdělení nerealistické, ale snadno zpracovatelné, limita je obdélník 19.10.2005

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 Obdélníkový hřeben N = 1 N = 2 19.10.2005 Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 Obdélníkový hřeben N = 10 19.10.2005 Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 Obdélníkový hřeben N = 50 19.10.2005 Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 Termodynamická limita ... hladiny musejí být tak husté, že Poincarého cyklus je nejdelší doba v celé úloze. Hlavně delší, než pozorovací doba. 19.10.2005 Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6

The end

Modelové příklady: úvodní poznámky JEDNOTKY … vlastně na nich nezáleží, ale pro názornost volím jednotky vhodné pro GF v CM energie 1 eV 1,60210 -19 J čas 1 fs 1,00010 -15 s  0,6582~ eV.fs 1,05510 -34 J.s 19.10.2005 Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6

Modelové příklady: úvodní poznámky JEDNOTKY … vlastně na nich nezáleží, ale pro názornost volím jednotky vhodné pro GF v CM energie 1 eV 1,60210 -19 J čas 1 fs 1,00010 -15 s  0,6582~ eV.fs 1,05510 -34 J.s délka 1 nm 1,00010 -9 m c 299,8 nm/fs 2,998 10 8 m/s  1/137,0 me 5,685 9,109 10 -31 kg e'2 1,440 2,306 10 -34 J.m 19.10.2005 Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6