KAŽDÁ POKROČILÁ TECHNOLOGIE JE K NEROZEZNÁNÍ OD MAGIE Arthur Charles Clarke

DEFORMACE A NAPJATOST Tx je vektorová funkce skalárního t a vektorového 0x argumentu Joseph-Louis Lagrange (Giuseppe Lodovico Lagrangia) 25. ledna 1736 Turín – 10. dubna 1813 Paříž

𝑡 𝐱 = 𝑡 𝐱 𝑡, 0 𝑥, 0 𝑦, 0 𝑧 = 𝑡 𝐱 𝑡, 0 𝐱 = 𝑡 𝐱 𝑡, 0 𝑥 𝑖 ČVUT ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STROJNÍ Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky Odbor pružnosti a pevnosti – předmět Pružnost a pevnost I (2111051) POLE POSUVŮ Těleso Ω se pohybuje. Sledujeme změnu mezi tělesem v referenční konfiguraci v čase 𝑇=0 (dáno oblastí 0 Ω ) a tělesem v konfiguraci čase 𝑇=𝑡 (dáno oblastí 𝑡 Ω ). 0 Ω Abychom popsali pohyb poddajného tělesa, musíme popsat polohu každého jeho bodu v libovolném okamžiku 𝑇. 𝑡 Ω Obecný bod, který má v referenční konfiguraci polohu danou vektorem 0 𝐱 (průvodičem) má v čase 𝑇=𝑡 polohu 𝑡 𝐱 . Pohyb celého poddajného tělesa pak můžeme popsat způsobem 0 𝐱 𝑥 1 ≡𝑥 𝑥 2 ≡𝑦 Tx je vektorová funkce skalárního t a vektorového 0x argumentu 𝑡 𝐱 𝑡 𝐱 = 𝑡 𝐱 𝑡, 0 𝑥, 0 𝑦, 0 𝑧 = 𝑡 𝐱 𝑡, 0 𝐱 = 𝑡 𝐱 𝑡, 0 𝑥 𝑖 Tento popis se běžně označuje, jako Lagrangeův popis.

POLE POSUVŮ 𝐱=𝐱 0 𝑥, 0 𝑦, 0 𝑧 =𝐱 0 𝐱 =𝐱 0 𝑥 𝑖 𝐮 ČVUT ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STROJNÍ Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky Odbor pružnosti a pevnosti – předmět Pružnost a pevnost I (2111051) POLE POSUVŮ V pružnosti a pevnosti se zabýváme především statikou poddajných elastických těles. Průběhu a trvání pohybu není předmětem zájmu. Zajímá pouze referenční konfigurace 0 Ω a konfigurace konečná, kterou označme Ω. Lagrangeův popis se zjednoduší a přejde na 𝑡 𝐱 0 𝐱 𝑥 1 ≡𝑥 𝑥 2 ≡𝑦 𝑡 Ω 0 Ω 𝐱=𝐱 0 𝑥, 0 𝑦, 0 𝑧 =𝐱 0 𝐱 =𝐱 0 𝑥 𝑖 Změnu polohy, tvaru a velikosti tělesa mezi referenční a konečnou konfigurací můžeme místo závislosti aktuální souřadnice 𝐱 na referenční souřadnici 0 𝐱 popsat posuvem 𝐮 bodu 0 𝐱 : 𝐮 𝐮=𝐮 0 𝑥, 0 𝑦, 0 𝑧 =𝐱 0 𝑥, 0 𝑦, 0 𝑧 − 0 𝐱 𝐮=𝐮 0 𝐱 =𝐱 0 𝐱 − 0 𝐱

ROVNOVÁHA ČVUT Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STROJNÍ Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky Odbor pružnosti a pevnosti – předmět Pružnost a pevnost I (2111051) ROVNOVÁHA - poddajné těleso je v rovnováze tehdy a jen tehdy, je-li v rovnováze jeho libovolná část. Předpokládejme dokonale tuhé těleso 0 Ω v referenční konfiguraci zatížené silou 0 𝐅 . Reakce 0 𝐑 𝑨 , 0 𝐑 𝑩 uvedou těleso do rovnováhy. 0 𝐅 0 𝐑 𝑨 0 𝐑 𝑩 Ω 𝐅 𝐅 0 𝐅 Nyní si představme, že těleso je poddajné a deformuje se, čímž se mohou změnit polohy působišť vnějších sil i jejich orientace. Rovnováha poddajného tělesa nastává v deformovaném stavu: 0 Ω 𝐑 𝑩 𝐑 𝑨 𝐅 𝐅 𝐈 0 𝐅 𝐈 0 𝐅 0 𝐑 𝑩 0 𝐅 𝐈 𝐑 𝑩 𝐅 𝐅 𝐈 Analogicky při aplikaci metody řezu Tx je vektorová funkce skalárního t a vektorového 0x argumentu 0 𝐑 𝑩 0 𝐑 𝑨 𝐑 𝑨 0 𝐑 𝑩 V pružnosti prvního řádu předpokládáme, že se referenční konfigurace liší od konečné jen velmi málo. Díky tomuto předpokladu vyjadřujeme rovnováhu v referenční konfiguraci. 𝑥 1 ≡𝑥 𝑥 2 ≡𝑦 𝐑 𝑩

TENZOR DEFORMACE ČVUT Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STROJNÍ Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky Odbor pružnosti a pevnosti – předmět Pružnost a pevnost I (2111051) TENZOR DEFORMACE Proveďme následující myšlený pokus na deformující se tyči, pro kterou platí předpoklady tahu a tlaku (průřezy se posouvají, zachovávají orientaci i velikost Vyberme si v tyči nekonečné malý pravoúhlý element. Protáhněme tyč o definovanou hodnotu a sledujme deformaci Vyberme si v tyči stejný pravoúhlý element, ve stejném místě, o stejné velikosti, ale s jinou orientací. Protáhněme tyč o definovanou hodnotu a sledujme deformaci Jde o stejné místo, materiál se musí být deformovat stejně, ale podle orientace myšleného pravoúhlého elementu se liší vyjádření deformace. Deformaci vyjadřujeme ve dvou módech

TENZOR DEFORMACE ČVUT Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STROJNÍ Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky Odbor pružnosti a pevnosti – předmět Pružnost a pevnost I (2111051) TENZOR DEFORMACE Vyjádříme v obou případech deformace elementu (v 1. případě prodloužení a ve 2. případě zkosení) Poměrné prodloužení 𝜀 𝑥𝑥 je deformace, o kterou se změní rozměr dx 𝜀 𝑦𝑦 je deformace, o kterou se změní rozměr dy 𝑥 𝑦 𝑑𝑥 𝑑y 𝑑𝑦+∆𝑑𝑦 𝑑𝑥+∆𝑑𝑥 𝜀 𝑥𝑥 = ∆𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝜀 𝑦𝑦 = ∆𝑑𝑦 𝑑𝑦 2. Zkosení 𝑥 d𝑥 dy 𝜀 𝑥𝑦 𝜀 𝑦𝑥 𝜀 𝑥𝑦 je úhel, o který se natočí rovina 𝑥𝑧 kolem osy 𝑧 𝜀 𝑦𝑥 je úhel, o který se natočí rovina 𝑦𝑧 kolem osy 𝑧 Náš element se při deformaci nenatočil, proto zřejmě: 𝜀 𝑥𝑦 = 𝜀 𝑦𝑥 𝑦

V pružnosti prvního řádu považujeme tuto rotaci za zanedbatelnou. ČVUT ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STROJNÍ Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky Odbor pružnosti a pevnosti – předmět Pružnost a pevnost I (2111051) TENZOR DEFORMACE - Deformaci v prostoru popíšeme devíti složkami tenzoru deformace: a) poměrnými prodlouženími: 𝜀 𝑥𝑥 = ∆𝑑𝑥 𝑑𝑥 , 𝜀 𝑦𝑦 = ∆𝑑𝑦 𝑑𝑦 a 𝜀 𝑧𝑧 = ∆𝑑𝑧 𝑑𝑧 b) zkoseními: 𝜀 𝑥𝑦 , 𝜀 𝑦𝑥 , 𝜀 𝑦𝑧 , 𝜀 𝑧𝑦 a 𝜀 𝑧𝑥 , 𝜀 𝑥𝑧 𝑥 𝑦 𝜀 𝑥𝑦 𝜀 𝑦𝑥 Symetrie zkosení: Při obecné deformaci nemusí být zajištěna platnost: 𝜀 𝑥𝑦  𝜀 𝑦𝑥 , resp. 𝜀 𝑦𝑧  𝜀 𝑧𝑦 , resp. 𝜀 𝑧𝑥  𝜀 𝑥𝑧 . Můžeme ale vždy najít kartézský systém O 𝑥 𝑦 , ve kterém budou rovnosti zajištěny: 𝜀 𝑥𝑦 = 𝜀 𝑦𝑥 , resp. 𝜀 𝑦𝑧 = 𝜀 𝑧𝑦 , resp. 𝜀 𝑧𝑥 = 𝜀 𝑥𝑧 . 𝑥 𝑦 𝜀 𝑥𝑦 𝜀 𝑦𝑥 Pak bychom měli deformaci vyjadřovat poměrnými prodlouženími a symetrickými zkosy v systému 𝐎 𝑥 𝑦 𝑧 a rotací souřadnicového systému 𝐎 𝑥 𝑦 𝑧 vůči původnímu 𝐎𝑥𝑦𝑧. V pružnosti prvního řádu považujeme tuto rotaci za zanedbatelnou.

TENZOR DEFORMACE ČVUT Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STROJNÍ Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky Odbor pružnosti a pevnosti – předmět Pružnost a pevnost I (2111051) TENZOR DEFORMACE - Deformaci v obecném místě tělesa můžeme vyjádřit v různých souřadnicových systémech různými složkami. - Pokud známe složky deformace v jednom souřadnicovém systému, mělo by být možno je stanovit pro i libovolný jiný. Operaci, která tento vztah zprostředkuje, nazýváme transformace souřadnicového systému. - Při studiu jste se již setkali s transformací souřadnic vektoru např. rychlosti, … 𝑥 𝑦 𝜉 𝜂 𝒗 𝒗 𝒙 𝒗 𝒚 𝒗 𝝃 𝒗 𝜼 𝛼 𝒗 𝝃 𝒗 𝜼 = cos 𝛼 sin 𝛼 − sin 𝛼 cos 𝛼 ∙ 𝒗 𝒙 𝒗 𝒚 Deformace je složitější veličina a transformuje se jako TENZOR 2. ŘÁDU, který se zapisuje jako matice: 𝑻 𝜺 = 𝜀 𝑥𝑥 𝜀 𝑥𝑦 𝜀 𝑥𝑧 𝜀 𝑦𝑥 𝜀 𝑦𝑦 𝜀 𝑦𝑧 𝜀 𝑧𝑥 𝜀 𝑧𝑦 𝜀 𝑧𝑧 = 𝜀 𝑥 𝛾 𝑧 2 𝛾 𝑦 2 𝛾 𝑧 2 𝜀 𝑦 𝛾 𝑥 2 𝛾 𝑦 2 𝛾 𝑥 2 𝜀 𝑧 Tenzor malé (inženýrské, infinitesimální) deformace Zkos 𝛾 𝑧 = 𝜀 𝑥𝑦 + 𝜀 𝑦𝑥 je definován jako změna původně pravého úhlu rovin 𝑥𝑧 a y𝑧

TENZOR NAPĚTÍ ČVUT Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STROJNÍ Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky Odbor pružnosti a pevnosti – předmět Pružnost a pevnost I (2111051) TENZOR NAPĚTÍ Poddajné těleso je v rovnováze tehdy a jen tehdy, je-li v rovnováze jeho libovolná část. Metodou řezu vyjmeme element. 𝐱 𝐲 𝑑 𝑭 𝐼 𝐧 0 𝝂 𝝈 𝝉 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝜎 𝑥𝑥 𝐭 0 𝜎 𝑥𝑦 Vektor napětí: V rovině 𝑦𝑧 elementu jsme stanovili vektor vnitřní síly 𝑑 𝑭 𝐼 . Vztažením této síly na jednotku plochy získáme vektor napětí 𝜈= 𝑑 𝐹 𝐼 𝑑𝑥∙𝑑𝑧 Průmětem do vnější normály 𝐧 0 získáme: normálové napětí 𝜎xx, Průmětem do směru 𝐭 0 (kolmý k 𝐧 0 ) získáme: smykové napětí 𝜎xy . 𝐳 𝜎 𝑦𝑦 𝐱 𝐲 𝜎 𝑥𝑥 𝜎 𝑧𝑧 𝜎 𝑥𝑦 𝜎 𝑥𝑧 𝜎 𝑦𝑥 𝜎 𝑧𝑥 𝜎 𝑦𝑧 𝜎 𝑧𝑦 𝑻 𝝈 = 𝜎 𝑥𝑥 𝜎 𝑥𝑦 𝜎 𝑥𝑧 𝜎 𝑦𝑥 𝜎 𝑦𝑦 𝜎 𝑦𝑧 𝜎 𝑧𝑥 𝜎 𝑧𝑦 𝜎 𝑧𝑧 Momentová rovnováha k ose z (sdružená smyková napětí): 𝜎 𝑦𝑥 ∙(𝑑𝑥∙𝑑𝑧)∙𝑑𝑦 − 𝜎 𝑥𝑦 ∙(𝑑𝑦∙𝑑𝑧)∙𝑑𝑥=0 ⇒ 𝜎 𝑦𝑥 = 𝜎 𝑥𝑦 Analogicky k osám x a y: 𝜎 𝑧𝑦 = 𝜎 𝑦𝑧 a 𝜎 𝑥𝑧 = 𝜎 𝑧𝑥

𝑇 𝜎 = 𝜎 𝑥 𝜏 𝑧 𝜏 𝑦 𝜏 𝑧 𝜎 𝑦 𝜏 𝑥 𝜏 𝑦 𝜏 𝑥 𝜎 𝑧 ČVUT ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STROJNÍ Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky Odbor pružnosti a pevnosti – předmět Pružnost a pevnost I (2111051) TENZOR NAPĚTÍ Jednoindexový zápis tenzoru napětí pro obecnou prostorovou napjatost (pro počítačové zpracování je výhodné používat dvouindexový – maticový zápis) Normálová napětí Smyková napětí: 𝜎 𝑥𝑥 = 𝜎 𝑥 𝜎 𝑦𝑧 = 𝜎 𝑧𝑦 = 𝜏 𝑥 𝜎 𝑦𝑦 = 𝜎 𝑦 𝜎 𝑧𝑥 = 𝜎 𝑥𝑧 = 𝜏 𝑦 𝜎 𝑧𝑧 = 𝜎 𝑧 𝜎 𝑥𝑦 = 𝜎 𝑦𝑥 = 𝜏 𝑧 z 𝐳 𝐱 𝐲 𝝈 𝒛 𝝉 𝒛 𝝈 𝒚 𝝈 𝒙 𝝉 𝒙 𝝉 𝒚 𝑇 𝜎 = 𝜎 𝑥 𝜏 𝑧 𝜏 𝑦 𝜏 𝑧 𝜎 𝑦 𝜏 𝑥 𝜏 𝑦 𝜏 𝑥 𝜎 𝑧 Pomůcky pro zapamatování: Na hlavní diagonále jsou normálová napětí  Zbytek jsou smyková napětí  Pořadí na hlavní diagonále je x – y – z V žádném řádku ani v žádném sloupci se neopakuje index

KAŽDÁ POKROČILÁ TECHNOLOGIE JE K NEROZEZNÁNÍ OD MAGIE Arthur Charles Clarke