Grafické znázornění prostoru a času 2014-03-10T14:00 FyM 6.3.2017 - U3V - Obdržálek Grafické znázornění prostoru a času U3V Jan Obdržálek 2017-03-06 1/44

Podstata relativity Já vidím věci kolem sebe takhle. 6.3.2014 - FyM - Obdržálek Podstata relativity Já vidím věci kolem sebe takhle. Jak to vidí ten druhý? Přesněji: Umím popsat věci a události kolem sebe. Jak je popíše někdo jiný, kdo se např. vůči mně pohybuje? Jádro: Jak spolu souvisí prostor a čas? 2/44

6.3.2014 - FyM - Obdržálek Jak na to? Chceme názorně předvést prostor, čas a jejich vzájemné vztahy v klasické newtonovské mechanice (KM) a ve speciální teorii relativity (STR), podobnosti a rozdíly. Pro snadný popis zavedeme pojem vztažná soustava a ukážeme, jak s ní graficky zacházet. z‘ B y‘ x‘ O‘ O‘ 3/44

Co je a k čemu je vztažná soustava? 6.3.2014 - FyM - Obdržálek Co je a k čemu je vztažná soustava? Ve vztažné soustavě S, S‘, S“ (víc jich tu nebudeme potřebovat) popisujeme časové a prostorové údaje událostí. Každá vztažná soustava, např. S‘, má někde v prostoru počátek obvykle značený O‘; všimněte si u všeho čárky označující zvolenou soustavu. z‘ y‘ x‘ O‘ 4/44

Co je a k čemu je vztažná soustava? 6.3.2014 - FyM - Obdržálek Co je a k čemu je vztažná soustava? Z počátku O‘ vycházejí v prostoru tři osy, které označíme jako x‘, y‘, z‘. Vynášíme na ně tři rozměry, délku, šířku a výšku polohy popisovaného bodu B. z‘ B y‘ x‘ O‘ O‘ 5/44

Co je a k čemu je vztažná soustava? 6.3.2014 - FyM - Obdržálek Co je a k čemu je vztažná soustava? Získané hodnoty – souřadnice bodu B – označíme x‘B , y‘B , z‘B „Jedna čárka“ označuje, že měříme v soustavě S‘ (s jednou čárkou), index B připomíná, o který bod jde. Počátek O‘ má všechny souřadnice rovné nule. z‘ B y‘ z‘B y‘B x‘ O‘ x‘B x‘B 6/44

Jak si nakreslíme graf na papír? 6.3.2014 - FyM - Obdržálek Jak si nakreslíme graf na papír? Bez ohledu na to, že v obvyklém životě volíme osy na sebe kolmé, v našem grafu mohou svírat jakýkoli námi zvolený úhel; víme ovšem, že vzdálenost dvou bodů A, B nebudeme moct jednoduše odměřit z grafu přímo. A z‘ s‘AB B z‘B z‘A y‘ y‘ y‘A y‘B x‘ x‘ O‘ x‘B x‘A 7/44

Vzdálenost podle grafu 6.3.2014 - FyM - Obdržálek Vzdálenost podle grafu Zjistíme ale hodnoty souřadnic x‘, y‘, z‘ pro oba body A, B (promítneme je rovnoběžně s osami) a z nich spočítáme čtverec jejich vzdálenosti jako součet čtverců (Pythagorova věta) A z‘ s‘2AB B B z‘B-z‘A y‘ z‘B z‘B z‘A y‘B-y‘A y‘A y‘B x‘ O‘ x‘B x‘B-x‘A x‘A 8/44

6.3.2014 - FyM - Obdržálek Výpočet vzdálenosti s‘ 2AB = (x‘B - x‘A)2 + (y‘B - y‘A)2 + (z‘B - z‘A)2 tzv. Eukleidovská metrika (Pythagorova věta) A z‘ s‘AB B B z‘B-z‘A y‘ z‘B z‘B z‘A y‘B-y‘A y‘A y‘B x‘ O‘ x‘B x‘B-x‘A x‘A 9/44

Pojem absolutní × relativní 6.3.2017 - U3V - Obdržálek Pojem absolutní × relativní Absolutní = nezávislý na pozorovateli (na S) teplota T kamen elektrický náboj Q délka d (had má 0,75 m od hlavy k patě) Relativní (vůči pozorovateli, vůči S) poloha r (vpředu, na 5. km nalevo) pojem klidu či pohybu (usneme ve vlaku) rychlost v (vždy vůči něčemu: Země, Slunce) 9/44

Od S‘ do jiné vztažné soustavy S“ 6.3.2017 - U3V - Obdržálek Od S‘ do jiné vztažné soustavy S“ Jiná soustava S“: jiný O“, jiné osy x“, y“, z“ → Jiné souřadnice téhož bodu B: x‘B  xB“ rovnoběžně s osami Přepočet S‘ ↔ S“: lineární (úměra) z‘ z“ B z“B z‘B y“ y‘ y“B počátek O“ x“B y‘B x“ počátek O‘ x‘B x‘ 11/44

Popis pohybu Další veličina: čas t 6.3.2017 - U3V - Obdržálek Popis pohybu Další veličina: čas t Pohyb: poloha r se mění v závislosti na čase t Klasická fyzika: prostor a čas jsou nezávislé Relativistická fyzika: prostor a čas spolu souvisejí a vytvářejí prostoročas Popis pohybu bodu s polohou r graficky: + 1 osa pro čas t; pro graf 4D  Omezíme svůj pohyb na 1D (po přímce) 12/44

Grafický popis pohybu V pravidelných časech t fotíme celou silnici 6.3.2017 - U3V - Obdržálek Grafický popis pohybu V pravidelných časech t fotíme celou silnici Fotky (pásy) řadíme za sebou podle času Např. kolo jedoucí po silnici: 13/44

Popis pohybu t (kdy je) kolo na silnici x (kde je) 6.3.2017 - U3V - Obdržálek 6.3.2017 - U3V - Obdržálek Popis pohybu t (kdy je) kolo na silnici fotíme silnici každou ½ s 5 kolo (bod v prostoru) 4 foto v 3,5 s Tento (statický) grafikon zobrazuje celý pohyb kola po silnici v čase 3 foto v 3,0 s foto v 2,5 s 2 foto v 2,0 s foto v 1,5 s foto v 1,0 s 1 foto v 0,5 s Pohyb kola foto v 0,0 s 0 m x (kde je) -4 -2 2 4 6 8 10 (start) 14/44 14/44

Popis pohybu t (kdy je) kolo na silnici x (kde je) 6.3.2017 - U3V - Obdržálek 6.3.2017 - U3V - Obdržálek Popis pohybu t (kdy je) kolo na silnici fotíme silnici každou ½ s 5 kolo (bod v prostoru) 4 foto v 3,5 s Kde bude kolo v 2,7 s? na 5,4 m 3 rovnoběžky s osami ! foto v 3,0 s Kdy bude kolo na 3 m? v 1,5 s foto v 2,5 s 2,7 2 foto v 2,0 s foto v 1,5 s 1,5 foto v 1,0 s 1 foto v 0,5 s foto v 0,0 s x (kde je) 3,0 5,4 -4 -2 2 4 6 8 10 (start) 15/44 15/44

grafikon t (kdy kde jsou) x (kde jsou) 6.3.2017 - U3V - Obdržálek grafikon Jsem na silnici (bod 0), nalevo sedí holubice, napravo kočka a pes. Filmuji silnici a skládám okamžité snímky – pásky – nad sebe. t (kdy kde jsou) __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 6 _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 5 Světočáry holubice, kočky a psa _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 4 _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ___  _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 3 _ _ _ _ _ _ _ ___ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 2 _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 _ _ _ _ _ _  __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _0_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ x (kde jsou) -2 -1 1 2 3 4 5 16/44

Graf (nádražní grafikon) 6.3.2017 - U3V - Obdržálek Graf (nádražní grafikon) t/min (kdy tam je) vlak 5 Tento (statický) grafikon zobrazuje celý pohyb vlaku v čase a 1D prostoru. 4 stojí 3 2 1 jede stojí (a čas plyne) x/km (kde je) -2 -1 1 2 3 4 5 (nádraží) (cíl) 17/44

Poloha vůči Zemi S[t;x] a vlaku S‘[t‘;x‘] 6.3.2017 - U3V - Obdržálek Poloha vůči Zemi S[t;x] a vlaku S‘[t‘;x‘] Značkujeme lakem: t S S‘ já ve vlaku B: lak (vlak i Zem) (2 s; 4 m) vůči Zemi (2 s; 3 m)‘ vůči vlaku 5 s 5 s C: lak na Zemi vyschl C D 4 s 4 s D: lak ve vlaku vyschl CB: soumístné (Země) DB: soumístné (vlak)‘ 3 s 3 s E CD: současné (vlak, Země) tB = 2 xB = 4 t‘B = 2 x‘B = 3 rychlost vlaku vůči Zemi: W W = ½ m/s x‘B = xB – WtB t‘B = tB Galileiho trafo 2 s 2 s B 1 s 1 s F Přede mnou: 0 m x‘ (kde je ve vlaku) 1 m 2 m 3 m x (kde je na Zemi) -2 m -1 m 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m (Země) 18/44

Poloha události vůči Zemi S a vlaku S‘ Poloha události vůči Zemi S 6.3.2017 - U3V - Obdržálek Poloha události vůči Zemi S a vlaku S‘ Poloha události vůči Zemi S Poloha události t t S t‘ S‘ já ve vlaku Převod KM : Galileiho trafo x‘ = x – W t t‘ = t W : rychlost S‘ vůči S Osa x --- táž v S i S‘ Formálně: sklon ∼ rychlost ⇒ 𝑤=∞ v S i S‘ ⇒ současnost v S i S‘ 5 s 5 s C D 4 s 4 s 3 s 3 s E 2 s t 2 s t‘ B 1 s 1 s F 0 s Přede mnou: 0 m x‘ x 1 m 2 m 3 m x‘ (kde je ve vlaku) x (kde je na Zemi) -2 m -1 m 0 m 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 19/44

Speciální teorie relativity Klasická mechanika předpokládala týž (absolutní) čas ve všech S, S‘, S“. STR bere (ze všech měření!) , že ve všech S, S‘, S“ je táž světelná rychlost 𝑐 ≈300 000 km/s. Všechny pokusy (i jejich další důsledky) potvrzují, že rychlost světla ve vakuu nezáleží ani na rychlosti zdroje světla či pozorovatele ani na směru šíření světla

Speciální teorie relativity Einsteinův přínos: nejde o vlastnost světla nebo materiálů (kontrakce délek, dilatace času), ale o vlastnost prostoru a času – prostoročasu. (Kontrakci i dilataci znali už i jiní před ním.) Jak se to projeví graficky a jaké uvidíme důsledky?

Grafické zpracování (vylepšení) Detail: Sekunda a metr spolu nijak nesouvisí. Zavedeme společnou míru: namísto t berme ct (dobu měříme dráhou, kterou by za tu dobu urazilo světlo) – à la „světelný rok“. Je to jen změna velikosti jednotky. Za 1 ns (frekvence 1 GHz) urazí světlo cca 30 cm. Světočára světla („světelný kužel“) pak půlí úhel svíraný osami 𝑥 a 𝑡, takže světlo má rychlost 1.

Grafické zpracování Zatím (KM): Nyní (STR): ct ct ct‘ ct‘ světlo α w+b=1 b 1 1 1 1 α w b a b x‘ a 1 1 x‘ 1 x 1 x světelná rychlost: a/a = 1 b/b = 1 světelná rychlost: v S (w +b)/1 = 1 v S‘ b / 1 = b < 1

Důsledky: relativní současnost Zatím (KM): Nyní (STR): ct ct ct‘ ct‘ světlo světlo 1 1 1 1 x‘ 1 1 x‘ 1 x 1 x události současné v S tytéž jako v S‘ události současné v S jiné než v S‘

Důsledky: rychlost info ≤ c Zatím (KM): Nyní (STR): ct ct ct‘ ct‘ světlo světlo 1 1 1 1 x‘ ct“ 1 B 1 x‘ 1 x 1 x není důvod k omezení rychlosti info nadsvětelná rychlost S“ by mohla měnit minulost B v S‘ (t‘B < 0)

Důsledky: délková kontrakce Zatím (KM): Nyní (STR): ct ct ct‘ ct‘ světlo světlo 1 1 1 1 x‘ d‘ 1 1 x‘ d 1 x 1 x tyč má stejnou délku v S i S‘ tyč vlastní délky d‘ =1 v S‘ je kratší d < 1 v S

Důsledky: časová dilatace Zatím (KM): Nyní (STR): ct ct ct‘ ct‘ světlo světlo 1 1 1 1 1/γ 1/γ x‘ 1 1 x‘ x 1 x 1 hodiny v S i S‘ jsou stejně rychle pohybující se hodiny jdou pomaleji (mají údaj γ-krát menší)

„Paradoxy“: auto v garáži vjezd výjezd záď ct ct‘ D auto ze své soustavy 1 x‘ t‘C < t‘B 1 1 střed auta je ve středu garáže C B 1 x auto se soustavy garáže t C >t B A

Děkuji vám za pozornost 6.3.2014 - FyM - Obdržálek  Děkuji vám za pozornost 29/44