Ekvivalentní úpravy rovnic Rovnice Ekvivalentní úpravy rovnic

Jaké číslo dosadíme za proměnnou, aby nastala rovnost? Čemu říkáme rovnice? Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít neznámé číslo tak, aby po jeho dosazení za proměnnou daná rovnost platila. Existuje-li takové číslo, nazývá se řešení nebo také kořen rovnice. 4 4 x + 2 Levá strana rovnice L = = = 6 Pravá strana rovnice P 6 = 6 Jaké číslo dosadíme za proměnnou, aby nastala rovnost? Řešením je tedy číslo . Zapíšeme: x = 4 Zdá se to být jednoduché? Nás však čekají daleko složitější rovnice a při jejich řešení nám musí pomoci ekvivalentní úpravy.

1. ekvivalentní úprava Jestliže k oběma stranám rovnice přičteme stejné číslo (výraz – jednočlen, mnohočlen), kořen rovnice se nezmění. / + 3 + 3 + 3 x – 3 = 5 Zvolenou ekvivalentní úpravu poznamenáme vedle zápisu x – 3 = 5 Na obou stranách rovnice provedeme naznačené početní operace x = 8 Jestliže jsme kořen rovnice určili správně, po jeho dosazení za neznámou do levé i pravé strany zadání rovnice nastane rovnost. Říkáme, že provádíme zkoušku. x – 3 = 5 8 – 3 = 5 5 = 5

2. ekvivalentní úprava Jestliže od obou stran rovnice odečteme stejné číslo (výraz – jednočlen, mnohočlen), kořen rovnice se nezmění. / - 3 - 3 - 3 x + 3 = 5 Zvolenou ekvivalentní úpravu poznamenáme vedle zápisu x + 3 = 5 Na obou stranách rovnice provedeme naznačené početní operace x = 2 Jestliže jsme kořen rovnice určili správně, po jeho dosazení za neznámou do levé i pravé strany zadání rovnice nastane rovnost. Říkáme, že provádíme zkoušku. x + 3 = 5 2 + 3 = 5 5 = 5

3. ekvivalentní úprava L L = P P = Kořeny rovnice se nezmění, jestliže zaměníme levou a pravou stranu rovnice. x + 3 = 5 L L = P P / - 3 - 3 - 3 / - 3 - 3 - 3 x + 3 = 5 5 = x + 3 = x + 3 = 5 5 = x + 3 x = 2 2 = x

4. ekvivalentní úprava Jestliže obě strany rovnice vynásobíme stejným číslem (výrazem) různým od nuly, kořen rovnice se nezmění. / . 3 . 3 . 3 Zvolenou ekvivalentní úpravu poznamenáme vedle zápisu Na obou stranách rovnice provedeme naznačené početní operace Jestliže jsme kořen rovnice určili správně, po jeho dosazení za neznámou do levé i pravé strany zadání rovnice nastane rovnost. Říkáme, že provádíme zkoušku.

5. ekvivalentní úprava Jestliže obě strany rovnice vydělíme stejným číslem (výrazem) různým od nuly, kořen rovnice se nezmění. Zvolenou ekvivalentní úpravu poznamenáme vedle zápisu / : 3 : 3 : 3 Na obou stranách rovnice provedeme naznačené početní operace Jestliže jsme kořen rovnice určili správně, po jeho dosazení za neznámou do levé i pravé strany zadání rovnice nastane rovnost. Říkáme, že provádíme zkoušku. nebo

Ekvivalentní úpravy rovnic Shrňme si tedy na závěr ještě jednou všechny již známé ekvivalentní úpravy rovnic: 1. Kořeny rovnice se nezmění, jestliže zaměníme levou a pravou stranu rovnice. 2. Kořeny rovnice se nezmění, jestliže k oběma stranám rovnice přičteme stejné číslo nebo mnohočlen. 3. Kořeny rovnice se nezmění, jestliže od obou stran rovnice odečteme stejné číslo nebo mnohočlen. 4. Kořeny rovnice se nezmění, jestliže obě strany rovnice vynásobíme stejným číslem nebo mnohočlenem (různým od nuly). 5. Kořeny rovnice se nezmění, jestliže obě strany rovnice vydělíme stejným číslem nebo mnohočlenem (různým od nuly).