Maximální propustnost dopravní sítě Předmět: Teorie dopravy - cvičení Ing. František Lachnit, Ph.D.

Maximální propustnost rovinné dopravní sítě - Síť je orientovaná (všechny hrany grafu orientované) - Síť je acyklická – neobsahuje „kružnice“ - Úseky sítě jsou ohodnoceny propustnostmi Úkol: Určit maximální celkovou propustnost (sumární) ze zdroje Z do ústí U rovinné dopravní sítě.

Rovinný graf lze na nakreslit v rovině tak, že hrany se protínají jen ve vrcholech. Následující algoritmus pro rovinnou síť lze použít za těchto podmínek: - síť je rovinný graf - zůstane rovinný i po přidání hrany ze zdroje Z do ústí U. t – tok hranou

Metoda severní cesty 1) Určíme nejvýše položenou cestu (severní) ze Z do U a vedeme touto cestou tok rovný minimální propustnosti hran cesty 2) Odečteme od propustností tento tok, alespoň jedna hrana s nulovou propustností odpadne 3) Postup opakujeme, nalezené toky sčítáme a postup ukončíme, pokud dojde k rozpadu zbývající sítě mezi zdrojem Z a ústím U.

Příklad: Nalezení maximálního toku v rovinné dopravní síti z uzlu U do uzlu V. Ohodnocení hran grafu představuje jejich propustnost.

Maximální propustnost obecné (prostorové) orientované dopravní sítě Prostorová dopravní síť obsahuje úseky, které se protínají mimo uzly a nelze ji zakreslit tak, aby k protnutí nedošlo. Pro výpočet maximálního propustnosti sítě je možno využít Ford-Fulkersonův algoritmus, tzv. značkovací metodu.

Ford-Fulkersonův algoritmus, tzv. značkovací metoda 1) Sestavit výchozí přípustné řešení – přípustný tok Musí platit pro každy vrchol grafu: přítok q – propustnost (kapacita) odtok - je přípustný tok Pokud možno začít s úplným tokem, tz. každá cesta Z ® U obsahuje alespoň jeden nasycený úsek . Výchozí řešení se snažíme zlepšit nebo ověřit, že je maximální značkovací procedurou.

2) Značkovací procedura Zdroj označíme značkou . Pokud vi je označený, vj není označený, hrana hij je orientovaná hrana a platí označíme vj značkou . Pokud vl je označený koncový vrchol orientované hrany hkl = vkvl , vk není označený a platí , označíme vrchol vk značkou . Pokud uvedeným postupem bylo označeno U , přecházíme na další krok 3. Pokud nelze uvedeným postupem označit žádný další vrchol a ústí nebylo označeno, přejdeme na krok 5 . + +i -l

3) Najdeme zpětně podle značek a bez ohledu na orientaci hran trasu ze Z do U přes označené vrcholy. 4) Určíme na hranách trasy Z ® U číslo tam, kde hrany procházejí ve smyslu orientace a číslo na hranách procházených v opačném smyslu. Určíme číslo Dosavadní tok na trase Z ® U zvýšíme o d na hranách procházených ve směru jejich orientace a snížíme o d na hranách jimiž trasa prochází ve směru opačném jejich orientace. Po této změně celkový „přítok“ do U bude o d větší než předchozí tok. Dále zrušíme značky vrcholů a opakujeme značkování s novým tokem – krok 2 a další. 5) Naposledy zkoumaný tok je maximální.

Fordova a Fulkersonova věta o maximálním toku a minimálním řeru Maximální tok v obecné orientované acyklické dopravní síti je roven propustnosti minimálního řezu oddělujícího zdroj a ústí.

Příklad: Určete maximálního toku (maximální propustnost) v obecné dopravní síti z uzlu U do uzlu V. Ohodnocení hran grafu představuje jejich propustnost (kapacitu).

Sestavit výchozí přípustné řešení – přípustný tok Pokud možno začít s úplným tokem, tz. každá cesta Z ® U obsahuje alespoň jeden nasycený úsek . Tok 130 Výchozí řešení se snažíme zlepšit nebo ověřit, že je maximální značkovací procedurou.

Značkovací procedura Tok 130 Trasa podle značek Z – V3 – V5 – V2 – V6 – U Tok 130 Určíme na hranách trasy Z ® U číslo tam, kde hrany procházejí ve smyslu orientace a číslo na hranách procházených v opačném smyslu. Z ® V3 ® V5 ¬ V2 ® V6 ® U 80 20 30 50 80 d = 20 , upravíme tok o 20, tok se potom zvýší na 150, Zrušíme značky a opakujeme značkovací proceduru s novým tokem.

Tok 150

Značkovací procedura tok 150 Trasa podle značek Z – V3 – V7 – V5 – V5 – V6 – U Z ® V3 ® V7 ¬ V5 ¬ V2 ® V6 ® U 60 30 30 10 30 60 d = 10 , upravíme tok o 10, tok se potom zvýší na 160, Zrušíme značky a opakujeme značkovací proceduru s novým tokem.

Tok 160

Značkovací procedura tok 16 0 Pokud nelze uvedeným postupem označit žádný další vrchol a ústí nebylo označeno, přejdeme na krok 5 . Krok 5: Naposledy zkoumaný tok je maximální.

Maximální tok je 160 Fordova a Fulkersonova věta o maximálním toku a minimálním řezu Maximální tok v obecné orientované acyklické dopravní síti je roven propustnosti minimálního řezu oddělujícího zdroj a ústí.

Zdroje: Tuzar, A., Maxa, P., Svoboda, V.. Teorie dopravy. Praha, ČVUT, 1997. ISBN 80-01-01637-4.