Operační výzkum Lineární programování – cvičení Dualita v úlohách lineárního programování. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326

Př.: Nalezněte matematický model duální úlohy k úloze LP zadané tímto matematickým modelem:

Př.: K úloze vytvořte úlohu duální. Uveďte, zda úloha spolu s úlohou k ní duální tvoří dvojici symetrických či nesymetrických duálních úloh. U obou úloh proveďte diskusi o počtu přípustných řešení a o počtu optimálních řešení a určete, zda jsou degenerovaná, či alternativní.  

Př.: K úloze vytvořte úlohu duální. Uveďte, zda úloha spolu s úlohou k ní duální tvoří dvojici symetrických či nesymetrických duálních úloh. U obou úloh proveďte diskusi o počtu přípustných řešení a o počtu optimálních řešení a určete, zda jsou degenerovaná, či alternativní.  

Nejprve je třeba mít mat. model v tzv. standardním tvaru, tzn Nejprve je třeba mít mat. model v tzv. standardním tvaru, tzn. je-li PÚ minimalizační, musí být podmínky ve tvaru nerovnic typu ≥, příp. rovnic. Je-li tedy nerovnice typu ≤, je třeba ji nejdříve násobit číslem (-1); tím se znaménko nerovnosti mění v opačné. (Pro max. úlohy je to s těmi znaménky přesně naopak). Každé vlastní omezující podmínce primární úlohy odpovídá právě jedna proměnná v duální úloze, tj. duální proměnná, tedy dohromady. 

Dále, je-li daná primární podmínka ve tvaru rovnosti, může příslušná duální proměnná nabývat nejen nezáporné, ale také záporné hodnoty – tedy, nepožadujeme nezápornost této proměnné (podmínka nezápornosti na tuto proměnnou bude chybět!). Proto veškeré podmínky nezápornosti v DÚ budou:  Duální účelová funkce se sestaví z pravých stran omezujících podmínek PÚ a je opačného typu než v PÚ:

Omezující podmínky se sestaví z primárních „po sloupcích“ z koeficientů u jednotlivých primárních proměnných. Podmínky musí i v DÚ být ve standardním tvaru (v maximalizační úloze tedy nerovnice typu ≤ nebo rovnice =). Přitom, jestliže daná primární proměnná musí být nezáporná (tj., je-li daná podm. nezápornosti na tuto proměnnou), odpovídající duální podmínka musí být nerovnice. Může-li být daná primární proměnná záporná (tj., chybí-li daná podm. nezápornosti na tuto proměnnou), odpovídající duální podmínka musí být rovnice. Celkově tedy:

Př.: K dispozici jsou cívky s elektrickým kabelem délky 130m. Pro další použití z nich podnik potřebuje nařezat alespoň 60 ks kabelů délky 100 m, alespoň 120 ks délky 25 m a alespoň 300 ks délky 20 m. Určete optimální řešení rozdělovacího problému z hlediska minimálního odpadu. Kolik cívek bude použito?   Úlohu vyřešte duálně-simplexovou metodou.