Operační výzkum Lineární programování Dopravní úloha nevyrovnaná. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326

DOPRAVNÍ ÚLOHA Dopravním problémem rozumíme rozhodovací situaci, jak přepravit určité zboží (jednoho druhu) od dodavatelů ke spotřebitelům s celkově minimálními náklady. DODAVATELÉ s kapacitami , SPOTŘEBITELÉ s požadavky . Přepravní sazba vyjadřuje cenu za přepravu jednotky zboží od dodavatele ke spotřebiteli . Vyrovnaná dopravní úloha:

Algoritmus pro řešení vyrovnané dopravní úlohy: Nalezení výchozího řešení, např. metoda VAM Nalezení lepšího zákl. řešení, tj. s menšími přepravními náklady Test optima: Je řešení optimální? NE ANO KONEC: Máme xopt.

Samotné řešení dopravní úlohy provádíme v tabulce, viz následující schéma: … množství zboží přepravovaného od dodavatele ke spotřebiteli

I. NALEZENÍ VÝCHOZÍHO ŘEŠENÍ Řešení dopravní úlohy I. NALEZENÍ VÝCHOZÍHO ŘEŠENÍ Vždy je potřeba určit políčko DiSj, které obsadíme maximálním množstvím xij přesouvaného zboží s ohledem na kapacitu ai a požadavek bj, s přihlédnutím na již obsazená políčka v i-tém řádku a j-tém sloupci. Vyčerpáme-li kapacitu nějakého dodavatele, proškrtneme řádek. Vyčerpáme-li požadavek nějakého spotřebitele, proškrtneme sloupec.

VOGELOVA APROXIMAČNÍ METODA POSTUP VAM: 1) K tabulce přidáme řádek a sloupec pro diference (=rozdíly). 2) V každém řádku a sloupci určíme 2 nejnižší sazby a vypočteme jejich rozdíl (diferenci) a zapíšeme. 3) Najdeme řádek či sloupec s největší diferencí a v tomto řádku či sloupci obsadíme políčko s minimální sazbou. 4) Vyčerpáním kapacity dodavatele proškrtneme řádek a uspokojením požadavku spotřebitele proškrtneme sloupec. 5) Pokračujeme bodem 2), neuvažujeme proškrtnutá ani obsazená pole.

Pozn.: -k bodu 3: Pokud je maximální diference u více řádků a sloupců, obsazujeme políčko s nejnižší sazbou v těchto řádcích a sloupcích. -k bodu 4: Pokud je vyčerpán současně řádek a sloupec, proškrtneme jen jeden z nich  objeví se políčko s nulou (neproškrtnuté).

II. TEST OPTIMA Není-li řešení optimální, lze nalézt lepší řešení. Přidáme sloupec řádkových čísel ui (i=1, 2, …, m) a řádek sloupcových čísel vj (j=1, 2, …, n). Musíme mít obsazených právě m+n-1 polí. PRO OBSAZENÁ POLE platí: Protože čísel ui a vj je m+n, ale obsazených polí je m+n-1, je třeba jedno z čísel ui a vj zvolit (zpravidla se volí u1= 0) a ostatní dopočítat podle (*). U PROŠKRTNUTÝCH POLÍ pomocí známých ui a vj určíme NEPŘÍMÉ SAZBY , podle vztahu Nepřímé sazby zapíšeme do proškrtnutých polí do levého dolního rohu.

TEST OPTIMA: (1) a) u všech proškrtnutých polí, pak je dané řešení optimální. b) Je-li navíc u některého proškrtnutého pole , existuje i jiné optimální řešení (ALTERNATIVNÍ ŘEŠENÍ). (2) Existuje-li pole, kde , pak dané řešení není optimální a lze ještě zlepšit.

III. ZLEPŠOVÁNÍ ŘEŠENÍ POSTUP: Nastane-li případ, že pro nějaké neobsazené pole platí pak výchozí řešení není ještě optimální a lze najít lepší řešení. POSTUP: Najdeme políčko, kde ; pokud je těchto políček více, vezmeme z nich to, kde je rozdíl největší. (volba vstupující proměnné) 2) Vytvoříme tzv. UZAVŘENÝ OKRUH (tj. mnohoúhelník se sudým počtem vrcholů; vrcholy mohou být jen obsazená pole a vybrané neobsazené pole; svislé a vodorovné hrany se střídají). 3) Neobsazené pole v okruhu označíme znaménkem +. V dalších polích – vrcholech okruhu – střídáme znaménka … -, +, -, +… .

4) Volba vystupující proměnné … najdeme nejmenší hodnotu xij z -polí!!! (pokud je takových polí více, volíme libovolné z nich). PŘEPOČET TABULKY: vybranou hodnotu (min. z -polí) přičteme k +polím a odečteme od -polí. Ostatní políčka tabulky opíšeme beze změny. Pozn.: Pokud je obsazených polí m+n-1, pak je pro každé proškrtnuté pole (tedy i pro klíčové pole) dán uzavřený okruh jednoznačně. Pozn.: Při zlepšování řešení vždy dojde k tomu, že právě jedna proměnná vstoupí do množiny základních proměnných a právě jedna proměnná vystoupí z množiny základních proměnných.

ALTERNATIVNÍ ŘEŠENÍ Máme-li obsazených m+n-1 polí a zjistíme, že řešení je optimální (tj. pro všechna neobsazená pole platí ) a alespoň pro jedno neobsazené pole platí , existuje další řešení se stejnou hodnotou účelové funkce  tzv. alternativní řešení. Nalezení alternativního řešení je podobné s hledáním optimálního řešení. Pole, pro které platí , je klíčové pole. Sestrojíme uzavřený okruh a známým způsobem přepočteme tabulku.

DEGENEROVANÉ ŘEŠENÍ Řešení je degenerované, pokud obsahuje méně než m+n-1 kladných hodnot (tj. některé základní proměnné nabývají hodnoty 0). Vlastní výpočet (optimálního řešení, alternativního řešení) se nijak neliší.

NEVYROVNANÁ DOPRAVNÍ ÚLOHA Jestliže součet kapacit dodavatelů se nerovná součtu požadavků odběratelů, tj. , pak úloha je nevyrovnaná. Nevyrovnanou úlohu převádíme na úlohu vyrovnanou (kterou už umíme řešit) zavedením fiktivního činitele, a to:  je-li , fiktivního dodavatele Df=Dm+1 s kapacitou a sazbami  je-li , fiktivního spotřebitele Sf=Sn+1 s požadavkem a sazbami

NEVYROVNANÁ DOPRAVNÍ ÚLOHA Nevyrovnanou úlohu převádíme na úlohu vyrovnanou (kterou už umíme řešit) zavedením fiktivního činitele, a to:  je-li , fiktivního dodavatele Df=Dm+1 s kapacitou a sazbami  je-li , fiktivního spotřebitele Sf=Sn+1 s požadavkem a sazbami