Znázornění dopravní sítě grafem a kostra grafu Předmět: Teorie dopravy - cvičení Ing. František Lachnit, Ph.D.
Dopravní síť je konečná množina uzlů a úseků, které tyto uzly spojují; pro každou dvojici uzlů existuje alespoň jedna cesta spojující oba tyto uzly. Přitom každý úsek má danou propustnost a délku, vyjádřenou buď v délkových jednotkách, nebo jako dobu, potřebnou k projetí úseku (např. síť linek MHD v Praze, silniční síť ČR nebo její části). Dopravní síť představuje pevnou část (pevný podsystém) dopravních systémů.
Teorie grafů se zabývá studiem matematických útvarů, které nazýváme grafy. Graf je z hlediska teorie grafů matematická struktura sloužící především k vyjádření (modelování) té skutečnosti, že mezi prvky nějaké množiny V existují určité vazby z množiny H. Prvkům množiny V říkáme uzly nebo vrcholy grafu a vazbám (symetrickým nebo nesymetrickým) mezi některými (nebo všemi) z těchto uzlů říkáme hrany grafu.
Neorientovaný graf Označíme-li množinu všech vrcholů grafu písmenem V a množinu všech existujících hran písmenem H, můžeme neorientovaný graf definovat jako uspořádanou trojici (V,H,p), kde p je incidenční zobrazení. Incidence znamená zobrazení množiny hran do množiny všech neuspořádaných dvojic vrcholů. Graf budeme zapisovat G = (V, H, p) nebo zkráceně G = (v, H). (Incidence - v matematice vzájemná poloha dvou geometrických útvarů majících společnou část.)
Orientovaný graf V orientovaném grafu má každá hrana přiřazenou orientaci vyjádřenou šipkou, tudíž můžeme určit výchozí vrchol a koncový vrchol každé hrany.
Smyčka (neorientovaná smyčka) Vrcholu u je přiřazena hrana h(u, u) taková, že spojuje vrchol sám se sebou. Násobnost hrany Představuje počet rovnoběžných hran mezi vrcholy u a v. Násobné mohou být smyčky.
Obyčejný graf Je graf, který neobsahuje násobné hrany ani smyčky. Prostý graf Je takový graf, který obsahuje smyčky, ale nemá násobné hrany.
Multigraf Je takový graf, který obsahuje násobné hrany nebo násobné hrany a smyčky (někdy se nazývá pseudograf). Smyčky mohou být také násobné. Podqraf Podgraf G1 vznikne z grafu G vynecháním některých vrcholů a hran. Zároveň platí, že graf G = (V,H,p) je nadgrafem G1 = (V1,H1,p1) Faktorový graf (faktorový podgraf) Podgraf G2 vznikne z grafu G vynecháním některých hran, množina vrcholů bude nezměněna.
Most Mostem je hrana, jejímž odstraněním z grafu G se graf rozpadne na dvě komponenty, resp. počet komponent se zvětší právě o jednu. Příklad na obrázku - most a jeho odstranění
Kostra grafu Kostra grafu G = (V,H) je graf G' = (W,Y), pro který platí: W = V,YÌ H. Je to faktorový podgraf, který je stromem, tzn. že existuje právě jedna cesta pro libovolnou dvojici vrcholů (graf neobsahuje kružnici).
Minimální kostra grafu Minimální kostra grafu je taková kostra, pro kterou je součet ohodnocení hran minimální. Pro sestrojení minimální kostry grafu využijeme tři algoritmy, Borůvkův, Jarníkův a Kruskalův.
Borůvkův algoritmus: krok: Zařaď do kostry nejkratší (jednu z nejkratších) hran. krok: Postupně zařaď do kostry vždy hranu, jejíž právě jeden vrchol leží v již vytvořené kostře a druhý ne, za podmínky, že zařazená hrana nesmí vytvořit kružnici. krok: Po zařazení všech vrcholů algoritmus končí. nebo
Jarníkův algoritmus: Stejný postup jako Borůvkův algoritmus, ale začíná se z libovolného vrcholu. Začínáme ve vrcholu V3, je možný výběr ze dvou hran s ohodnocením 3 - (v3,v2),(v3,v5), vybereme např. hranu ),(v3,v5) a zařadíme do kostry. Dále pokračujeme jako u Borůvkova algoritmu.
Kruskalův algoritmus: krok: Vytvoř seznam hran podle velikosti o(h), krok: Do kostry zařaď všechny vrcholy. krok: Postupně zařazuj do kostry hrany podle velikosti, vynechávej hrany, které by uzavřely kružnici. krok: Pokud kostra obsahuje již n-1 hran (n je počet vrcholů) je konec. Seznam hran O(h), délka (v1, v2) 1 (v2, v4) (v1, v4) 2 - nezařazeno, tvoří kružnici (v4, v5) 2 ((v2, v3) 3- konec, n = 5, n-l = 4 (v3, v5) 3 - nezařazeno (v3, v4) 5 - nezařazeno
2 - nezařazeno, tvoří kružnici Seznam hran O(h), délka (v1, v2) 1 (v2, v4) (v1, v4) 2 - nezařazeno, tvoří kružnici (v4, v5) 2 ((v2, v3) 3- konec, n = 5, n-l = 4 (v3, v5) 3 - nezařazeno (v3, v4) 5 - nezařazeno
Zdroje: Mocková, D.. Základy teorie dopravy – Úlohy. Praha, Nakladatelství ČVUT, 2007, ISBN 978-80-01-03791-1. Tuzar, A., Maxa, P., Svoboda, V.. Teorie dopravy. Praha: ČVUT, 1997. ISBN 80-01-01637-4.