Slovní úlohy – řešení soustavou – 1 Matematika pro 9. ročník Slovní úlohy – řešení soustavou – 1

Slovní úlohy – opakování Slovní úlohy jsou takové početní úlohy, ve kterých je souvislost mezi danými a hledanými čísly vyjádřena slovní formulací a v nichž je třeba na základě vhodné úvahy zjistit, jaké početní výkony je třeba provést s danými čísly, abychom došli k číslům, která máme vypočítat. Každá slovní úloha obsahuje podmínku (či podmínky) a otázku (či otázky). Podmínkou úlohy rozumíme úplný popis toho, o co v úloze jde, spolu s číselnými údaji, jež popsanou situaci charakterizují. Otázka pak udává, co máme vypočítat.
Abychom slovní úlohu vyřešili, je třeba vyjádřit hledaná čísla pomocí proměnných a tyto proměnné vypočítat.
To lze obvykle dvěma způsoby: úsudkem (aritmeticky) nebo rovnicí či soustavou rovnic (algebraicky). Řešení úsudkem bývá často obtížné, řešení rovnicí nebo soustavou rovnic bývá jednodušší. A tak se na řešení pomocí rovnic zaměříme.

Postup při řešení slovních úloh – opakování 1. Seznámení s úlohou (Pozorně si přečteme text úlohy. Raději i několikrát. Důležité je situaci popsanou v úloze správně a zcela pochopit a uvědomit si, co máme vypočítat.) 2. Rozbor slovní úlohy (Ujasníme si podmínky a otázky slovní úlohy. Musíme znát význam každého výrazu v zadání. Mezi neznámými údaji zvolíme jeden, o kterém nevíme vůbec nic, jako neznámou. Pomocí zvolené neznámé a zadaných podmínek vyjádříme všechny ostatní údaje z textu. Provedeme stručný zápis zadání úlohy, případně použijeme i nějaký způsob grafického znázornění – obrázek. Sestavíme logickou rovnost plynoucí z textu úlohy.) 3. Matematizace reálné situace (Vyjádříme logickou rovnost úlohy matematickou symbolikou, např. rovnicí, nerovnicí, numerickým příkladem.) 4. Řešení úlohy matematickým aparátem (Vyřešíme sestavenou rovnici, nerovnici, matematický výraz pomocí ekvivalentních úprav, numerických výpočtů, grafického řešení.) 5. Kontrola správnosti řešení (Zkontrolujeme numerické výpočty, posoudíme reálnost řešení, zkontrolujeme správnost dosazením do textu slovní úlohy a to, zda řešení odpovídá podmínkám slovní úlohy.) 6. Formulace slovní odpovědi na otázku či otázky slovní úlohy.

Slovní úlohy o směsích Základním principem slovních úloh o směsích je „míchání“ dvou či více „látek“. Příklad: Petr má 18 mincí jedno a dvou eurových v celkové hodnotě 28 Euro. Kolik mincí má hodnotu 1 Eura a kolik hodnotu 2 Eura? Možnosti: „Hledat“ výsledek výčtem možností je sice možné, leč často velmi zdlouhavé a nevýhodné. Naučíme se tedy opět i pro tento typ slovních úloh sestavovat rovnice na základě logické rovnosti plynoucí ze zadání úlohy. 18 mincí 1 € a 0 mincí 2 € … 18 € 17 mincí 1 € a 1 mince 2 € … 19 € 16 mincí 1 € a 2 mince 2 € … 20 € 15 mincí 1 € a 3 mince 2 € … 21 € 14 mincí 1 € a 4 mince 2 € … 22 € 13 mincí 1 € a 5 mincí 2 € … 23 € 12 mincí 1 € a 6 mincí 2 € … 24 € 11 mincí 1 € a 7 mincí 2 € … 25 € 10 mincí 1 € a 8 mincí 2 € … 26 € 9 mincí 1 € a 9 mincí 2 € … 27 € 8 mincí 1 € a 10 mincí 2 € … 28 € 7 mincí 1 € a 11 mincí 2 € … 29 € 6 mincí 1 € a 12 mincí 2 € … 30 € 5 mincí 1 € a 13 mincí 2 € … 31 € 4 mince 1 € a 14 mincí 2 € … 32 € 3 mince 1 € a 15 mincí 2 € … 33 € 2 mince 1 € a 16 mincí 2 € … 34 € 1 mince 1 € a 17 mincí 2 € … 35 € 0 mincí 1 € a 18 mincí 2 € … 36 €

Slovní úlohy o směsích 1 . x + 2 . (18 – x) = 28 x + 36 – 2x = 28 Základním principem slovních úloh o směsích je „míchání“ dvou či více „látek“. Příklad: Petr má 18 mincí jedno a dvou eurových v celkové hodnotě 28 Euro. Kolik mincí má hodnotu 1 Eura a kolik hodnotu 2 Eura? Počet mincí: x Počet mincí: 18 – x Hodnota: 1 . x Počet všech mincí: 18 Hodnota: 2 . (18 – x) Hodnota všech mincí: 28 € Některé slovní úlohy je možné řešit jednodušeji, když se nesnažíme sestavit jedinou rovnici s jedinou neznámou, ale sestavíme rovnic více s více neznámými. Které řešení zvolíme, pak záleží nejen na konkrétním příkladu, ale i na tom, který způsob nám více vyhovuje. Podíváme se tedy nyní co a jak se při řešení změní. Hodnota 1 eurových + hodnota 2 eurových = hodnota všech mincí 1 . x + 2 . (18 – x) = 28 x + 36 – 2x = 28 – x = 28 – 36 – x = – 8 x = 8 Jednoeurových mincí je 8, dvoueurových 18 – 8 = 10 mincí.

Postup při řešení slovních úloh soustavou rovnic 1. Seznámení s úlohou (Pozorně si přečteme text úlohy. Raději i několikrát. Důležité je situaci popsanou v úloze správně a zcela pochopit a uvědomit si, co máme vypočítat.) 2. Rozbor slovní úlohy (Ujasníme si podmínky a otázky slovní úlohy. Musíme znát význam každého výrazu v zadání. Hledané údaje, o kterých víme nejméně (nevíme nic), označíme jako neznámé. Pomocí nich vyjádříme všechny ostatní údaje dané zadáním. Provedeme stručný zápis zadání úlohy, případně použijeme i nějaký způsob grafického znázornění – obrázek. Sestavíme logické rovnosti plynoucí z textu úlohy.) 3. Matematizace reálné situace (Vyjádříme logické rovnosti úlohy matematickou symbolikou, např. rovnicemi, nerovnicemi.) 4. Řešení úlohy matematickým aparátem (Vyřešíme sestavenou soustavu rovnic, nerovnic pomocí některého ze známých postupů a ekvivalentních úprav, numerických výpočtů či případně pomocí grafického řešení.) 5. Kontrola správnosti řešení (Zkontrolujeme numerické výpočty, posoudíme reálnost řešení, zkontrolujeme správnost dosazením do textu slovní úlohy a to, zda řešení odpovídá podmínkám slovní úlohy.) 6. Formulace slovní odpovědi na otázku či otázky slovní úlohy.

Slovní úlohy o směsích x + y = 18 1 . x + 2 . y = 28 x 18 y 28 € 1 . x Základním principem slovních úloh o směsích je „míchání“ dvou či více „látek“. Příklad: Petr má 18 mincí jedno a dvou eurových v celkové hodnotě 28 Euro. Kolik mincí má hodnotu 1 Eura a kolik hodnotu 2 Eura? Počet mincí: x Počet všech mincí: 18 Počet mincí: y 28 € Hodnota: 1 . x Hodnota všech mincí: Hodnota: 2 . y Počet 1 eurových + počet 2 eurových = počet všech mincí x + y = 18 Hodnota 1 eurových + hodnota 2 eurových = hodnota všech mincí 1 . x + 2 . y = 28 x + y = 18 /.( – 1)  x = 18 – y x + 2y = 28 x = 18 – 10 – x – y = – 18 x = 8 x + 2y = 28 y = 10 Jednoeurových mincí je 8, dvoueurových mincí je 10.

Slovní úlohy o směsích 59 známek … 686,- Kč x známek (59 – x) známek Základním principem slovních úloh o směsích je „míchání“ dvou či více „látek“. Asistentka zakoupila 59 poštovních známek za 686,- Kč. Známky byly dvou druhů. Jedny v hodnotě 10,- Kč a druhé v hodnotě 14,- Kč. Kolik bylo kterých? Cena známek za 10,- Kč + cena za 14,- Kč = cena všech známek 59 známek … 686,- Kč 10 Kč 14 Kč x známek (59 – x) známek 10 . x 14 . (59 – x) Asistentka koupila 35 poštovních známek po 10,- Kč a 24 poštovních známek po 14,- Kč.

Slovní úlohy o směsích 59 známek … 686,- Kč x známek y známek 10 . x Základním principem slovních úloh o směsích je „míchání“ dvou či více „látek“. Asistentka zakoupila 59 poštovních známek za 686,- Kč. Známky byly dvou druhů. Jedny v hodnotě 10,- Kč a druhé v hodnotě 14,- Kč. Kolik bylo kterých? Počet známek za 10,- Kč + počet za 14,- Kč = počet všech známek Při použití dosazovací metody řešení soustavy rovnic dostaneme tvar rovnice použité při řešení pomocí jedné lineární rovnice s jednou neznámou. Cena známek za 10,- Kč + cena za 14,- Kč = cena všech známek 59 známek … 686,- Kč 10 Kč 14 Kč x známek y známek 10 . x 14 . y Asistentka koupila 35 poštovních známek po 10,- Kč a 24 poštovních známek po 14,- Kč.

… tak ještě jednou sčítací metodou. Slovní úlohy o směsích Základním principem slovních úloh o směsích je „míchání“ dvou či více „látek“. Asistentka zakoupila 59 poštovních známek za 686,- Kč. Známky byly dvou druhů. Jedny v hodnotě 10,- Kč a druhé v hodnotě 14,- Kč. Kolik bylo kterých? Počet známek za 10,- Kč + počet za 14,- Kč = počet všech známek Cena známek za 10,- Kč + cena za 14,- Kč = cena všech známek … tak ještě jednou sčítací metodou. 59 známek … 686,- Kč 10 Kč 14 Kč x známek y známek 10 . x 14 . y Asistentka koupila 35 poštovních známek po 10,- Kč a 24 poštovních známek po 14,- Kč.

Slovní úlohy o směsích 45 kg … 190,- Kč za kg x kg (45 – x) kg 155 . x Základním principem slovních úloh o směsích je „míchání“ dvou či více „látek“. Prodavač má ze dvou druhů kávy připravit 45 kg směsi za 190,- Kč za kilogram. Kilogram prvního druhu stojí 155,- Kč, druhého 215,- Kč. Jaké množství kávy prvního druhu a jaké druhého musí smíchat? Cena kávy za 155,- Kč/kg + cena za 215,- Kč/kg = celková cena smíchané kávy 45 kg … 190,- Kč za kg 155,- Kč 215,- Kč x kg (45 – x) kg 155 . x 215 . (45 – x) Prodavač musí smíchat 18,75 kg kávy levnější a 26,25 kg kávy dražší.

Slovní úlohy o směsích 45 kg … 190,- Kč za kg x kg y kg 155 . x Základním principem slovních úloh o směsích je „míchání“ dvou či více „látek“. Prodavač má ze dvou druhů kávy připravit 45 kg směsi za 190,- Kč za kilogram. Kilogram prvního druhu stojí 155,- Kč, druhého 215,- Kč. Jaké množství kávy prvního druhu a jaké druhého musí smíchat? Množství kávy (počet kg) za 155,- Kč + množství za 215,- Kč = množství celkové Cena kávy za 155,- Kč/kg + cena za 215,- Kč/kg = celková cena smíchané kávy 45 kg … 190,- Kč za kg 155,- Kč 215,- Kč x kg y kg 155 . x 215 . y Prodavač musí smíchat 18,75 kg kávy levnější a 26,25 kg kávy dražší.

Slovní úlohy o směsích 157 studentů v 65 pokojích Slečny Mladí pánové Základním principem slovních úloh o směsích je „míchání“ dvou či více „látek“. Na vysokoškolské koleji je ubytováno 157 studentů v 65 pokojích. Některé jsou dvoulůžkové a v nich jsou ubytovány slečny, některé trojlůžkové a ty obývají mladí pánové. Kolik je na koleji ubytovaných slečen a mladých pánů? Počet slečen + počet mladých pánů = celkový počet všech studentů 157 studentů v 65 pokojích Slečny Mladí pánové x pokojů y pokojů Na vysokoškolské koleji je ubytováno 76 slečen studentek a 81 mladých pánů studentů. 2.x slečen 3.y pánů

Slovní úlohy o směsích 157 studentů v 65 pokojích Slečny Mladí pánové Základním principem slovních úloh o směsích je „míchání“ dvou či více „látek“. Na vysokoškolské koleji je ubytováno 157 studentů v 65 pokojích. Některé jsou dvoulůžkové a v nich jsou ubytovány slečny, některé trojlůžkové a ty obývají mladí pánové. Kolik je na koleji ubytovaných slečen a mladých pánů? Počet dvoulůžkových pokojů pro slečny + počet trojlůžkových pokojů pro mladé pány = = celkový počet všech pokojů Počet slečen + počet mladých pánů = celkový počet všech studentů 157 studentů v 65 pokojích Slečny Mladí pánové x pokojů y pokojů 2.x slečen 3.y pánů Na vysokoškolské koleji je ubytováno 76 slečen studentek a 81 mladých pánů studentů.

Řešení slovních úloh pomocí soustavy rovnic Prodavač má ze dvou druhů kávy připravit 45 kg směsi za 190,- Kč za kilogram. Kilogram prvního druhu stojí 155,- Kč, druhého 215,- Kč. Jaké množství kávy prvního druhu a jaké druhého musí smíchat? Neznámá x (množství kávy prvního druhu) Neznámá y (množství kávy prvního druhu) Množství kávy (počet kg) za 155,- Kč + množství za 215,- Kč = množství celkové Cena kávy za 155,- Kč/kg + cena za 215,- Kč/kg = celková cena smíchané kávy 45 kg … 190,- Kč za kg 155,- Kč 215,- Kč Vzniklou soustavu dvou rovnic o dvou neznámých řešíme libovolnou metodou. x kg y kg 155 . x 215 . y

Použité zdroje 2 Eura - [cit. 2013-05-12]. Dostupný pod licencí Public domain na WWW: <http://www.clker.com/clipart-72571.html>. 1 Euro - [cit. 2013-05-12]. Dostupný pod licencí Public domain na WWW: <http://www.clker.com/clipart-one-euro-coin.html>. Známka (Postage stamp) - [cit. 2013-05-12]. Dostupný pod licencí Public domain na WWW: <http://www.clker.com/clipart-blank-postage-stamp-template-dedicated-to-susi-tekunan-by-r-d-miccahofman-3.html >. Káva - [cit. 2013-05-13]. Dostupný pod licencí Public domain na WWW: <http://www.clker.com/clipart-16497.html>. Studentka - [cit. 2013-05-13]. Dostupný pod licencí Public domain na WWW: <http://www.clker.com/clipart-smiling-girl-with-glasses.html>. Student - [cit. 2013-05-13]. Dostupný pod licencí Public domain na WWW: <http://www.clker.com/clipart-12201.html>.