1. Spojité funkce Funkce je spojitá na intervalu I, lze-li její graf nakreslit plynulou čarou, aniž zdvihneme tužku z papíru. Znamená to, že tužku nemůžeme zdvihnout v žádném bodě I … musí být tedy spojitá v každém bodě I. Základní pojem je tedy spojitost v bodě a. Nespojitá funkce má na grafu v bodě a skok. a f(a) f(a) skok a

Základní idea spojitosti je tato: Je-li funkce v bodě a spojitá, potom liší-li se body x málo od bodu a, liší se i hodnoty f(x) málo od hodnoty f(a). Vezměme funkci a bod a=0. Je f(0)=0. Vezměme x=0,1. Potom f(x)=0,01 je to blízko hodnotě f(0)=0. Vezměme x=0,01. Potom f(x)=0,0001, ještě blíž hodnotě f(0)=0. 1 Vezměme nyní funkci f(x)=sgn x skok a bod a=0. Je také f(0)=0. Vezměme x=0,1. Potom f(x)=1 -1 což je dost daleko od hodnoty f(0)=0, atp… f(a) a=0

Nyní přesně: (hlavně abyste viděli, jak se v matematice popisuje blízkost) pomocí tzv okolí bodů… D: Je-li a bod na číselné ose, jeho okolí je kterýkoliv otevřený interval (c, d), který ho obsahuje. Jeho pravé okolí je každý interval <a, d), levé okolí je každý interval (c, a>. a c d a a d c Protože slouží k popisu blízkosti, uvažují se okolí MALÁ..

Buď tedy bod a bod z D(f) funkce f.. Aby funkce v něm mohla být spojitá, musí být definována i v nějakém jeho okolí… D: Funkce je v bodě a spojitá, jestliže pro každé okolí U hodnoty f(a) lze najít okolí V bodu a tak, že f(V) je podmnožinou U, tzn. pro každý bod je hodnota . Nejde najít to okolí V … f(a) U f(a) U a V a

Je-li funkce definována jen na jedné straně bodu a, může v něm být spojitá zprava nebo spojitá zleva … a b a b a b pravo levo Funkce nespojitá ani zprava v bodě a ani zleva v bodě b Funkce spojitá zprava v bodě a i zleva v bodě b Funkce spojitá zprava v bodě a a nespojitá zleva v bodě b Definuje se to obdobně: Funkce je spojitá zprava, je-li okolí V , které se vyskytuje v definici pravé, je spojitá zleva, je-li okolí V levé.

Nyní: D: Funkce je spojitá v otevřeném intervalu (a, b), je li spojitá v každém bodě intervalu. Je spojitá v uzavřeném intervalu <a, b>, je-li spojitá v (a, b) a v bodě a je spojitá zleva a v bodě b zprava. Nespojitých funkcí poznáme velice málo, protože: V: Jsou-li funkce f a g spojité v bodě a, pak jsou v bodě a spojité i funkce f+g, f-g, f.g . Funkce f/g je spojitá, je-li g(a) různé od nuly. Je-li funkce f spojitá v bodě a a funkce g spojitá v bodě f(a), je složená funkce g(f(x)) také spojitá v bodě a. V: Všechny elementární funkce kromě funkce sgn x jsou spojité na svých definičních oborech.

Př.: Jsou spojité funkce Funkce f(x) má D(f)=R a je to součet dvou elementárních funkcí, které jsou spojité. Tedy je to funkce spojitá. Funkce g(x) má D(f)={x; 1+x>0} a je složená dvou elementárních funkcí ln x a 1+x, které jsou spojité. Tedy je to funkce spojitá. Nespojité jsou jen funkce, které mají nějaké speciální zadání… jako sgn x, …nebo mají různé předpisy pro různé intervaly.

Příklady takové situace: f(x)= Je spojitá v bodě 1. 1 1

Je spojitá v bodě 0 ale není spojitá v bodě 2. f(x)= Je tam spojitá pouze zprava.. 1 2 -1

Není spojitá ani v bodě -1 ani v bodě 1. f(x)= V bodě –1 je spojitá pouze zprava.. V bodě 1 je spojitá zleva.. 1 -1 1 -1

2. Limita funkce Při počítání limit se mluví o tom, že x se blíží k nějakému bodu a. Používají se přitom tyto symboly: … znamená, že x nabývá hodnot libovolně blízkých k a … znamená že a přitom x> a … znamená že a přitom x< a … znamená, že x nabývá libovolně velkých hodnot … znamená, že x<0 a |x| nabývá libovolně velkých hodnot Při konkrétním počítání vždy uvažujeme taková x, která jsou blízko bodu a nebo nekonečna.. Je-li např. a=1 , uvažujeme x=1,1 … 1,01 atd. zprava, x=0,9 …0,99 zleva. Je-li a= , uvažujeme x=100000 , podobně v záporném nekonečnu.

Protože funkce v daném bodě, kde počítáme limitu, nemusí být definována, používají se v definicích limity tzv. prstencová okolí. D: Prstencové okolí bodu a je jeho okolí bez něj, tj. (c,d)-{a}. Pravé … (a,d), levé … (c, a). Budeme je označovat a c d a a d c

Když je funkce spojitá v bodě a, podává hodnota f(a) informaci o tom, jaké jsou hodnoty funkce f(x) pro x blízko bodu a – jsou blízko hodnotě f(a). Když funkce v bodě a není spojitá, hodnota f(a) o hodnotách f(x) pro x blízko a neříká nic – vůbec spolu nesouvisí. Tuto informaci právě podává limita funkce v bodě a, když existuje. Podobná situace je tehdy, když funkce v bodě a definovaná není, tedy hodnota f(a) vůbec neexistuje, ale v okolí bodu a definována je. Také pro funkce, definované v okolí nekonečen (okolí kladného nekonečna je každý interval , okolí záporného zas interval ) je nemožné zjistit jejich chování pro libovolně velká x dosazováním nějakých velkých hodnot. Ale limity v nekonečnech, když existují, poskytnou kompletní informaci, která dosazování nahradí.

Limita funkce v bodě a je tedy v jistém smyslu náhrada hodnoty funkce tam, kde hodnota není nebo je jaksi divná…nebo v nekonečnu vynáší se tedy vždy na osu y, jako hodnoty funkce a existuje-li, je nejvýše jedna. D: Nechť je funkce f definována v nějakém prstencovém okolí bodu a. Pak říkáme, že funkce f má v bodě a limitu číslo L a píšeme jestliže pro každé okolí U limity L existuje prstencové okolí P(a) bodu a tak, že pro každé f(a) L U a P(a)

Př.: Vezměme funkci V bodě a=0 funkce není definována, ale v každém okolí nuly je… podívejme se tedy, jak se blízko nuly chová.. Vypočtěme nějaké její hodnoty: x=0,1….. f(x)=0,99833416 x=-0,1….. f(x)=0,99833416….. x=0,01….. f(x)=0,99998333 x=-0,01….. f(x)=0,99998333 x=0,001… f(x)=0,99999983 x=-0,001… f(x)=0,99999983 Je vidět, že blíží-li se x k nule, blíží se hodnoty funkce k jedné… Její graf vypadá kolem bodu nula takto: Funkce má v bodě 0 limitu 1, která vlastně po informační stránce hodnotu v 0 nahrazuje.. L 1 Kdybychom položili f(0)=1, byla by v nule spojitá..

Podobně jako u spojitosti zavádí se limita zprava (v definici se použije pravé prstencové okolí ) a píše se nebo limita zleva – v definici se použije levé prstencové okolí a píše se V tomto případě se limity zprava a zleva sobě nerovnají f(a) a nerovnají se ani funkční hodnotě.. Funkce jasně není spojitá v bodě a a

Je jasné, že aby existovala limita, musí být Je jasné, že funkce je spojitá bodě a právě když f(a)=L a

3. Typy limit Doposud jsme uvažovali jen situaci, že jak a tak L jsou konečná čísla. Je však více možností, probereme je postupně. Je nezbytně nutné si pod každým symbolem představit obrázek, který ho ilustruje. Vlastní limita ve vlastním bodě, tj. a i L jsou konečná čísla. To již známe. Nevlastní limita ve vlastním bodě – a je konečné číslo a L je buď kladné nebo záporné nekonečno. Jsou dvě možnosti, zápis je: nebo a a

D: Funkce má v bodě a limitu , jestliže se pro každé číslo K>0 dá najít prstencové okolí P(a) bodu a tak, že pro každé . Např. a K P(a) V bodě a má graf funkce svislou asymptotu…

Vlastní limita v nevlastním bodě, tj, a je buď kladné nebo záporné nekonečno a L je konečné číslo. Jsou dvě možnosti, zápis je: nebo L L Graf funkce má v nekonečnu vodorovnou asymptotu..

D: Funkce f má v nekonečnu limitu L jestliže pro každé okolí U bodu L lze najít číslo K>0 tak, že je-li L U K Platí např.:

Nevlastní limita v nevlastním bodě, tj. jak a tak L jsou nekonečna. Jsou čtyři možnosti, zápis je: nebo nebo

D: Funkce f má v kladném nekonečnu limitu kladné nekonečno, jestliže pro každé číslo K>0 lze najít číslo R>0 tak, že je -li f(x) K Např.: R

Příklady na odečítání limit z grafu

2 -4

3 -1 3

Příklady na kreslení grafu z limit Nakreslete spojitou funkci f(x), která má tyto vlastnosti: f(-2)=1 f(5)=-2 6 1 5 -2 -2

Nakreslete spojitou funkci, která má tyto vlastnosti: 4 3 -5 -2 4

Nakreslete spojitou funkci, která je definovaná všude a má tyto vlastnosti: f(-3)=6 f(2)=-2 y 6 x -1 -3 2 -2

Nakreslete spojitou funkci, která je definovaná všude a má tyto vlastnosti: f(-9)=0 f(0)=2 f(6)=4 y 4 2 2 6 -9 -4 -2

Nakreslete spojitou funkci, která je definovaná všude a má tyto vlastnosti: f(-6)=5 f(4)=-3 y 5 3 -6 4

4. Výpočty konečných limit V: Funkce je spojitá bodě a právě když V bodech, kde je funkce spojitá je tedy limita rovná hodnotě funkce, počítání je tedy jen dosazování. Příklady:

Limity se skutečně počítají počítají jen v bodech, kde není funkce definována, ale v jejichž okolí definována je kde není funkce spojitá v nekonečnech, jsou-li krajními body definičního oboru. V1 : Jsou-li dvě funkce f a g stejné na nějakém prstencovém okolí P(a) bodu a, potom , jestliže limity existují. Př.: f g

V2 : Je-li potom platí: a) Př.: b) Př.: c) je-li Př.:

d) Je-li a funkce f je spojitá v bodě B, potom Př.:

5. Výpočty nevlastních limit Následující věta říká, jak se pracuje s nekonečny. Pravidla jsou zcela přirozená, jak snadno zjistíme, když si místo nekonečna představíme nějaké hodně veliké číslo - třeba milion a nulu jako něco moc malého .. třeba jednu miliontinu. V3: a) Jestliže je je potom Př.:

b) Jestliže je je potom Př.:

c) Jestliže je je potom Př.:

d) Jestliže je je Př.:

e) Jestliže je je potom Tato věta symbolicky říká, že v limitě Př.: 0. 0.

f1) Jestliže je Tato věta symbolicky říká, že v limitě Př.:

f2) Jestliže je Tato věta symbolicky říká, že v limitě Př.:

f3) Jestliže je přičemž g(x)>0 nalevo od bodu a a g(x) <0 napravo od bodu a (nebo opačně) potom neexistuje. Tato věta říká, že mění-li funkce ve jmenovateli kolem bodu a znaménko, limita podílu neexistuje – – je z každé strany jiná, viz případy f1) a f2). Kdykoliv narazíme na příklad typu , je třeba vyšetřovat znaménko jmenovatele napravo a nalevo od bodu a.

Př.: Chování funkce v okolí nuly je typický případ. + - neexistuje

Shrnutí postupu při výpočtu Počítáme-li tedy nějakou konkrétní limitu, dosadíme nejprve bod a do funkce f(x) (dosazujeme ve smyslu limit, tj. neexistuje-li hodnota, nahradíme ji limitou) a zjistíme, co vyjde. Jsou tři možnosti: a) vyjde číslo nebo nějaké nekonečno- - jsme hotovi b) vyjde tzv. neurčitý výraz. tj. výraz tvaru To nejde žádnou úvahou, je třeba použít nějakou metodu c) nevyjde ani to první ani to druhé – řešíme úvahou podle vět 2. a 3.

Příklady na to: Ad a) Ad b) Je třeba znát nějakou techniku, která převede limitu na něco, co už není neurčitý výraz.

Ad c)

Neurčité výrazy Jsou to výrazy typu Nikdy nejdou vypočítat úvahou, vždy je třeba použít nějakou techniku – viz věta 1 …technik je moc, my je naštěstí nemusíme umět. Až se k tomu dostaneme, budeme používat derivace a postup, který se jmenuje l’Hospitalovo pravidlo. Jeden příklad na to že neurčitý výraz, ač je stejného typu, může dát pokaždé něco jiného (na rozdíl od předchozích úvah!!) záleží na tvaru funkcí v limitě, nejen na typu výrazu, jako předtím který určoval limitu jednoznačně…

Limita posloupnosti Máme-li nějakou posloupnost, tážeme se, zda se její členy při neomezeně rostoucím n blíží k nějakému číslu. Toto číslo, jestliže existuje, je limita posloupnosti v nekonečnu. Může být konečná nebo nekonečná, podobně jako u funkce, a definuje se analogicky. D.: Posloupnost má limitu A, píšeme jestliže pro každé okolí U bodu A se dá najít číslo N tak, že pro všechna n>N jsou všechna . Definice je analogická definici konečné limity funkce v nekonečnu … A U n

podobně se definuje nevlastní limita, píšeme Má-li posloupnost limitu vlastní,nazývá se konvergentní. Má-li posloupnost limitu nevlastní nebo limita neexistuje, nazývá se divergentní.

Limity posloupností se počítají stejně jako limity funkcí, jen proměnná se nyní jmenuje n . Př.: má limitu 0 a je konvergentní, má limitu a je divergentní, nemá limitu (osciluje), je tedy také divergentní,