Spojitá náhodná veličina Přednáška 3

Distribuční funkce(opakování) Vlastnosti 1) 2) 3) Pro diskrétní NV

Distribuční funkce spojité NV Distribuční fce spojité NV kde f(x) je nezáporná reálná funkce, pro kterou platí (zákon rozdělení spojité NV) Funkce f(x) se nazývá hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny X

představa Zákon rozdělení : Plocha pod funkcí f musí být rovna 1 Distribuční fce: Plocha pod fcí f od mínus nekonečna až do x

Vlastnosti Jak spočítat pravděpodobnost, že NV nabude hodnoty z nějakého intervalu pomocí hustoty? Jaká je pravděpodobnost, že spojitá NV nabude jedné konkrétní hodnoty? Dá se hustota určit z distribuční funkce?

Příklad Fce f je definovaná f(x)=ax, pro 0<x<1 a f(x)=0 pro ostatní x z R. A) určete konstantu a,aby se jednalo o hustotu pravděpodobnosti NV B) určete distribuční funkce této NV C) vypočtěte pravděpodobnost, že NV nabude hodnoty z intervalu (1/3,2/3)

Řešení Ad A) zákon rozdělení spojité NV Ad B)

Řešení Ad C) nebo

Modus a kvantily Modus (nejpravděpodobnější hodnota) Takové x, pro které f(x) nabývá svého maxima nebo kde F(x) má nejstrmější růst p% kvantil

příklad Spojitá NV má hustotu pravděpodobnosti Určete p% kvantil. distribuční funkce

Charakteristiky spojitých NV Obecné momenty- k-tý obecný moment Střední hodnota-první obecný moment Druhý obecný moment

Vlastnosti střední hodnoty 1) E(c)=c…….c..konstanta 2) E(cX)=cEX 3) E(X+c)=E(X)+c 4) E(y(x))

Centrované momenty k-tý centrovaný moment První centrovaný moment Druhý centrovaný moment Směrodatná odchylka

Vlastnosti druhého centrovaného momentu 1) 2) 3) 4)

Příklad Fce f je definovaná f(x)=2x, pro 0<x<1 a f(x)=0 pro ostatní x z R. Spočtěte E(X), E(X2) a D(X).

Rovnoměrné rozdělení R(α, β) Řídí se jím chyba při zaokrouhlování, doba čekání na uskutečnění jevu, který se opakuje v pravidelných intervalech(délka intervalu β– α) Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce

Vlastnosti rovnoměrného rozdělení Graf hustoty Graf distribuční funkce

Příklad 1 Autobusy přijíždějí v pětiminutových intervalech. Cestující může přijít v kterémkoli okamžiku. Jaká je očekávaná doba čekání a jaká je směrodatná odchylka doby čekání na odjezd ze stanice?

Příklad 2 Prodejna očekává dodávku nového zboží určitý den od 8 do 10 hodin. Uskutečnění je stejně možné kdykoli v tomto intervalu. Jaká je pravděpodobnost, že zboží bude dodáno v době od půl desáté do 8:45? Dvě hodiny čekání

Normální (Gaussovo) rozdělení Zákon chyb Hustota-Gaussova křivka Pro určení hodnot distribuční funkce užíváme tabulky pro normované proměnné

Normovaná proměnná Značení U Normovaná proměnná U má nulovou střední hodnotu a jednotkový rozptyl X……N(μ,σ2), pak U=(X- μ)/ σ…..N(0,1)

Normované normální rozdělení N(0,1) Distribuční funkce normovaného normálního rozdělení

Tabulky N(0,1) http://fse.ujep.cz/~simsova/statII_ink.php Hodnoty distribuční funkce normovaného normálního rozdělení, Φ(u)=P(U<u)   u Φ (u) 0,00 0,50000 0,40 0,65542 0,80 0,78814 1,20 0,88493 1,60 0,94520 2,00 0,97725 0,01 0,50399 0,41 0,65910 0,81 0,79103 1,21 0,88686 1,61 0,94630 2,01 0,97778 0,02 0,50798 0,42 0,66276 0,82 0,79389 1,22 0,88877 1,62 0,94738 2,02 0,97831 0,03 0,51197 0,43 0,66640 0,83 0,79673 1,23 0,89065 1,63 0,94845 2,03 0,97882 0,04 0,51595 0,44 0,67003 0,84 0,79955 1,24 0,89251 1,64 0,94950 2,04 0,97932 0,05 0,51994 0,45 0,67364 0,85 0,80234 1,25 0,89435 1,65 0,95053 2,05 0,97982 0,06 0,52392 0,46 0,67724 0,86 0,80511 1,26 0,89617 1,66 0,95154 2,06 0,98030 0,07 0,52790 0,47 0,68082 0,87 0,80785 1,27 0,89796 1,67 0,95254 2,07 0,98077 0,08 0,53188 0,48 0,68439 0,88 0,81057 1,28 0,89973 1,68 0,95352 2,08 0,98124 0,09 0,53586 0,49 0,68793 0,89 0,81327 1,29 0,90147 1,69 0,95449 2,09 0,98169 0,10 0,53983 0,50 0,69146 0,90 0,81594 1,30 0,90320 1,70 0,95543 2,10 0,98214 0,11 0,54380 0,51 0,69497 0,91 0,81859 1,31 0,90490 1,71 0,95637 2,11 0,98257 0,12 0,54776 0,52 0,69847 0,92 0,82121 1,32 0,90658 1,72 0,95728 2,12 0,98300 0,13 0,55172 0,53 0,70194 0,93 0,82381 1,33 0,90824 1,73 0,95818 2,13 0,98341 0,14 0,55567 0,54 0,70540 0,94 0,82639 1,34 0,90988 1,74 0,95907 2,14 0,98382

Příklady Jaká je pravděpodobnost, že náhodná veličina X, která má rozdělení N(20,16) nabude hodnoty: A) nejvýše 16 B) více než 20 C) více než 12 a méně než 28

Příklady Náhodná veličina X, představující chybu měření, má rozdělení N(0,2;0,64)Vypočtěte A) pravděpodobnost, že |X|<1

Příklady B) horní hranici chyby měření, které se můžeme dopustit s pravděpodobností 95%

Exponenciální rozdělení E(α,δ) Teorie spolehlivosti a životnosti, teorie hromadné obsluhy NV X……čas, během níž nastane sledovaný jev α >=0……počáteční doba, během níž jev nemůže nastat

Exponenciální rozdělení E(α,δ) Hustota Distribuční funkce

Příklady Časový interval mezi jednotlivými pracovními úrazy v určitém závodě má exponenciální rozdělení. Bylo zjištěno, že střední délka uvažovaného intervalu je 8 pracovních dní a úrazy mohou nastat kdykoli. Jaká je pravděpodobnost, že časový interval mezi příštími dvěma pracovními úrazy bude: A) kratší než 8 dní B) delší než 8 pracovních dní C) v mezích od 6 do 10 pracovních dní

řešení Parametry , Ad A) Ad B) Ad C)

Zákon velkých čísel NV……..teoretické rozdělení+ teoretické charakteristiky Nezávislé opakování pokusu…..rozdělení relativních četností+ jejich charakteristiky(empirické rozdělení) ZVČ- při dodržení jistých podmínek se blíží empirické rozdělení k teoretickému rozdělení(teoretickým charakteristikám) tím více, čím více je pokusů Ale přibližování empirických a teoretických hodnot nemá charakter matematické konvergence, ale pravděpodobnostní konvergence

Pravděpodobnostní konvergence Při vzrůstajícím počtu pokusů se pravděpodobnost větších odchylek empirických a teoretických hodnot stále zmenšuje Posloupnost náhodných veličin X1, X2,…. Xn, značení

Bernoulliho věta Posloupnost vzájemně nezávislých náhodných veličin X1, X2,…. Xn, Každá má počet nastoupení určitého jevu A v n nezávislých opakováních pokusu pravděpodobnost, že tento jev v jednom pokusu nastane. Pak Roste-li počet opakování pokusu, pak relativní četnost v posloupnosti nezávislých pokusů pravděpodobnostně konverguje k

Relativní četnost počtu padlých šestek na kostce

Čebyševova věta Posloupnost vzájemně nezávislých náhodných veličin X1, X2,…. Xn, s konečnými středními hodnotami E(X1),E( X2),….E( Xn,) a shora omezenými rozptyly D(X1)<c ,D( X2)<c,….D( Xn,)<c, c>0 Aritmetický průměr NV pravděpodobnostně konverguje k průměru středních hodnot Pokud pak Střední hodnotu můžeme odhadovat průměrem pro velká n

Průměry počtu padlých bodů na kostce

Centrální limitní věta Posloupnost vzájemně nezávislých náhodných veličin X1, X2,…. Xn, nebo má přibližně normální rozdělení

Moivreova-Laplaceova věta Posloupnost vzájemně nezávislých náhodných veličin X1, X2,…. Xn, Každá má má Pak pro normovanou veličinu Platí Při dostatečně velkém počtu nezávislých pokusů konverguje binomické rozdělení k normálnímu rozdělení

Příklad Pravděpodobnost, že výrobek jistého typu zakoupený v určité prodejně bude reklamován je 0,05. Jaká je pravděpodobnost, že ze 300 prodaných výrobků jich bude reklamováno nejvýše 20?

řešení předpoklad

Zápočtový test 4 příklady každý za 5 bodů Test splněn, když více než 10 bodů První příklad: popisná statistika Druhý příklad: pravděpodobnost (podmíněná pravděpodobnost, prav.sjednocení, průniku, nezávislé jevy, neslučitelné jevy, úplná pravděpodobnost, Bayesova věta) Třetí příklad: diskrétní veličina (binomické, Poissonovo, hypergeometrické rozdělení) Čtvrtý příklad: spojitá veličina (rovnoměrné, normální, exponenciální rozdělení)