Pravděpodobnost. Náhodný pokus. Při každém opakování pokusu dostáváme jiné výsledky. V praxi nelze zaručit totožné podmínky při opakování pokusu. V praxi je každý pokus náhodný ve výše uvedeném smyslu. Základní prostor. Při každém opakování pokusu dostáváme jiné výsledky, Avšak množina výsledků je známa. Množina možných výsledků je základní prostor . Elementární jevy. Prvky základního prostoru jsou elementární jevy. (E1, E2, …) Náhodný jev. Každá podmnožina náhodného prostoru je náhodný jev. (A, B, …) Prázdná podmnožina  označuje jev nemožný, Množina  označuje jev jistý.

Příklad. Náhodný pokus : hod hrací kostkou Elementární náhodné jevy Ei: padne i, i = 1, 2, …,6 Příklady náhodných jevů: A Padne liché číslo A  , A = E1  E3  E5. B Padne číslo > 5, B  , B = E6. C Padne číslo > 6, C = . D padne číslo v intervalu <1, 6>, D = . Operace s náhodnými jevy.

Klasická definice pravděpodobnosti. Předpokládá se, že základní prostor  je konečný, je tvořen n neslučitelnými elementárními jevy, všechny elementární jevy jsou stejně možné. Pak si lze představit rozklad libovolného jevu A na m-tici elementárních, neslučitelných, stejně možných jevů. P(A) = m / n, neboli P(A) = počet příznivých případů / počet všech případů. Příklad. Určete pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne liché číslo. Elementární jevy příznivé jevu “padne liché číslo“ jsou 3 (padne 1,padne3, padne 5). m = 3, n = 6. Tedy P = 0.5. Zobecnění klasické definice.  - algebra . Je to systém podmnožin základního prostoru , který splňuje Ai  , i = 1, 2, …   Ai   ( - aditivita) A     A     

Axiomatická definice pravděpodobnosti. Nechť je dána  - algebra  nad základním prostorem . Pravděpodobností nazveme funkci P:   R s vlastnostmi P (A)  0 pro každý A   P() = 1, P() = 0 Ai  , i = 1, 2, … jsou neslučitelné jevy  P( Ai ) =  P(Ai) Trojice (, , P) se nazývá pravděpodobnostní prostor. Příklad. Dokažte, že platí pro každé A, B   P( A ) = 1- P(A) A  B  P(A) ≤ P(B) A  B  P(B \ A) = P(B) – P(A) P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A  B)

P(AA) = P() = 1 = P(A) + P(A), protože A a A jsou neslučitelné. Odtud P(A) = 1 - P(A). P(B) = P(A) + P(B \ A)  P(A). Z (2) je P(B \ A) = P(B) – P(A). P(A + B) = P(B\ (A B)) + P(A\(A B)) + P(A  B) = P(B) + P(A) - P(A  B).

Příklad. Mezi 10 barevnými koulemi je 6 modrých a 4 bílé. Vypočtěte pravděpodobnosti: náhodně vybraná koule je bílá tři náhodně vybrané koule jsou modré 2 náhodně vybrané koule jsou různé barvy. Řešení. všechny koule mají stejnou pravděpodobnost být taženy. P = 0.4. počet všech možných výběrů je . Počet jevů příznivých jevů je . Pravděpodobnost je tedy Počet všech dvojic je = 45. Počet různých dvojic je 6*4 = 24. Pravděpodobnost je tedy 24/45.

Příklad. V šestnácti lahvích jsou minerálky. Víme, že v 10 láhvích je Šaratice a v 6 lahvích je Vincentka. Jaká je pravděpodobnost, že mezi 4 náhodně vybranými lahvemi jsou 2 Šaratice a 2 Vincentky. N = 16 (počet všech lahví) V = 10 (počet lahví Šaratice) N-V = 6 (počet lahví Vincentka) n = 4 (počet náhodně vybraných lahví) k = 2 (výběr Šaratice) n - k = 2 (výběr Vincentka)

Další definice pravděpodobnosti. geometrická definice.  je oblast (v rovině, v prostoru, …), A je její podmnožina. Definuje se pravděpodobnost, že pro x   platí, že x  A. P = “velikost“ A / “velikost“ . statistická definice. Nastane-li v n pokusech jev A mn-krát, pak pravděpodobnost jevu A definujeme Podmíněná pravděpodobnost, nezávislé jevy. Pravděpodobnost jevu A za předpokladu, že nastal jev B je podmíněná pravděpodobnost jevu A a značí se P (A/B). Platí P (A/B) = P(A B) / P(B). Jevy A a B jsou nezávislé právě, když P(A B) = P(A)P(B).

Příklad. Máme krabici se třemi bílými a dvěma černými koulemi. Vytáhneme postupně dvě koule (první nevracíme zpět). Určete pravděpodobnost toho, že v druhém tahu vytáhneme bílou kouli za předpokladu, že v prvním tahu byla vytažena černá koule. A … v 2. tahu tažena bílá koule B … v 1. tahu tažena černá koule Možnosti. B1B2, B1B3, B2B1, B2B3, B3B1, B3B2, B1 (černá 1,2), B2 (černá 1,2), bílá 3 (černá 1,2), Č1 (bílá 1,2,3), Č2 (bílá 1,2,3,). Č1Č2, Č2Č1 Celkem 20 možností. Černá v 1. tahu: 8 možnosti, P(B) = 8/20 = 0.4 (Nebo také 2/5 = 0.4.) Černá v 1. tahu a současně bílá v 2. tahu představuje 6 možností, P(A  B) = 6/20 = 0.3. P(A/B) = 6/8 = 3/4. V případě, kdy po prvním tahu vrátíme kouli zpět, jsou oba tahy nezávislé, P(A/B) = P(A) = 3 5 .

Příklad. Dokažte Z definice podmíněné pravděpodobnosti plyne, že P(A  B) = P(A / B)P(A) = P(B / A)P(B). Úplná pravděpodobnost. Nechť je dán úplný systém vzájemně neslučitelných jevů H1, H2, ..., Hn a libovolný jev A, který může nastat pouze současně s některým z jevů Hi. Pro pravděpodobnost jevu A platí: P(A) = P(H1).P(A/H1)+P(H2).P(A/H2)+...+P(Hn).P(A/Hn)

Příklad. V obchodě jsou tři pokladny, na nichž dojde k chybě v účtování s pravděpodobností: 0,1; 0,05 a 0,2, při čemž z hlediska umístění pokladen v obchodě jsou pravděpodobnosti odbavení pokladnami 0,3; 0,25 a 0,45. Jaká je pravděpodobnost, že osoba opouštějící obchod má chybný účet? jev A: došlo k chybě v účtování jev Hi: odbavení i-tou pokladnou jev A je možno vyjádřit: A = (A  H1)  (A  H2)  (A  H3) (zákazník má chybný účet, při čemž projde první pokladnou nebo má chybný účet po odbavení druhou pokladnou nebo má chybný účet a prošel třetí pokladnou) Jevy A  H1, A  H2, A  H3 jsou vzájemně neslučitelné, proto: P(A) = P((A  H1)  (A  H2)  (A  H3)) = P(A  H1) + P(A  H2) + P(A  H3) = P(H1).P(A/H1) + P(H2).P(A/H2) + P(H3).P(A/H3) = 0,3.0,1 + 0,25.0,05 + 0,45.0,2 = 0,1325

Bayesova formule (1763). Nechť je dán úplný systém vzájemně neslučitelných jevů H1, H2, ..., Hn a libovolný jev A, který může nastat jen současně s některým z jevů Hi. Pak pravděpodobnost, že nastane jev Hi, za předpokladu, že nastal jev A je: , kde Příklad. V obchodě jsou tři pokladny, na nichž dojde k chybě v účtování s pravděpodobností: 0,1; 0,05 a 0,2, při čemž z hlediska umístění pokladen v obchodě jsou pravděpodobnosti odbavení pokladnami 0,3; 0,25 a 0,45. Jaká je pravděpodobnost, že jsme byli u druhé pokladny, máme-li chybný účet? Hledáme tedy, čemu je rovno P(H2 / A).

Příklad. Dveřní rám v obchodě se má rozezvučet, pokud se pokusí projít zloděj se zbožím, které nemá deaktivovaný čip. Systém spustí alarm v 95 % případů, kdy prochází někdo s kradeným zbožím. V 5 % se ale deaktivace čipu z nějakého důvodu nepovede a poplach bude spuštěn i při projití s legálně zakoupeným zbožím. Statisticky jsou 3 % návštěvníků zloději a ostatní chtějí zboží normálně zakoupit. Jaká je pravděpodobnost spuštění alarmu? Alarm se spustí. Jaká je pravděpodobnost, že se spustí na zloděje? A … spustí se alarm 𝐻 1 … prochází zloděj 𝐻 2 … prochází poctivý zákazník (i) 𝑃 𝐴 =𝑃 𝐻 1 ∩𝐴 +𝑃 𝐻 2 ∩𝐴 =𝑃 𝐻 1 𝑃 𝐴 𝐻 1 +𝑃 𝐻 2 𝑃 𝐴 𝐻 2 𝑃 𝐴 =0.03∗0.95+0.97∗0.05=0.0285 + 0.0485 = 0.077 Úplná pravděpodobnost 𝑃 𝐻 1 𝐴 = 𝑃 𝐻 1 𝑃(𝐴| 𝐻 1 ) 𝑃(𝐴) = 0.03∗0.95 0.077 = 0.0285 0.077 =0.37013 Posteriorní pravděpodobnost (následná) (ii)

Povšimněte si: 𝐴| 𝐻 1 … Prochází zloděj a následně alarm zvoní 𝑃 𝐴 𝐻 1 =0.95, 𝐻 1 |𝐴 … Zvoní alarm a zjistí se, že na zloděje 𝑃 𝐻 1 𝐴 = 0.37.

Příklad. Házíme šestkrát kostkou. Vypočtěte pravděpodobnost, že z těchto šesti hodů padne šestka právě dvakrát. Aij, i = 1, …, 6, j = 1, …, 6, i  j: šestka padne v i-tém a v j-tém hodu Jedná se o nezávislé hody  jevy Aij jsou nezávislé. P(Aij) = (1/6)2(5/6)4 , tj. nezávisle na sobě 2x šestka a 4x něco jiného. Počet jevů Aij se rovná počtu způsobů, kolika lze umístit 2 šestky v 6 hodech, tj. Hledaná pravděpodobnost P = Příklad. Pravděpodobnost, že náhodně vybraný student bude znát učivo, je 0.005. Jaká je pravděpodobnost, že mezi dvaceti vybranými studenty bude: a) právě 5 znalých studentů b) nejvýše 2 znalí studenti a) b)

Příklad. V osudí jsou 2 bílé a 3 černé koule. Vypočtěte pravděpodobnost toho, že: a) vytáhneme 3 koule a budou 2 černé a 1 bílá b) vytáhneme bez vracení jako první černou kouli, pak bílou a nakonec černou. a) Nezávislé tahy b) Závislé tahy

Cvičení. 1. Mějme pět vstupenek po 100 Kč, tři vstupenky po 300 Kč a dvě vstupenky po 500 Kč. Vyberme náhodně tři vstupenky. Určete pravděpodobnost toho, že: a) alespoň dvě z těchto vstupenek mají stejnou hodnotu b) všechny tři vstupenky stojí dohromady 700 Kč. 2. Z výrobků určitého druhu dosahuje 95% předepsanou kvalitu. V určitém závodě, který vyrábí 80% celkové produkce, však předepsanou kvalitu má 98% výrobků. Mějme náhodně vybraný výrobek předepsané kvality. Jaká je pravděpodobnost, že byl vyroben ve výše uvedeném závodě? 3. Menza zakoupila 12 chladniček z 1. závodu, 20 z 2. závodu a 18 z 3. závodu. Pravděpodobnost, že chladnička je výborné jakosti, pochází-li z 1.závodu je 0,9, z 2.závodu 0,6 a z 3.závodu 0,9. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná chladnička bude výborné jakosti? 4. Narozeninový problém I. Spočítejte pravděpodobnost, že žádní dva lidé z patnáctičlenné skupiny nemají narozeniny ve stejný den roku. Ignorujte 29.únor. 5. K síti je připojeno 14 nových a 6 starších počítačů. Pravděpodobnost bezchybného provozu u nových počítačů je 0.9, u starších 0.8. Jaká je pravděpodobnost, že a) student bude pracovat bez poruchy b) tento student pracuje u nového počítače?