Testování hypotéz Otestujte,… Ověřte,… Prokažte,… že střední věk (tj.  ) …činí 40 let (= 40) …je alespoň 40 let (≥ 40)

Testování hypotéz Otestujte,… Ověřte,… Prokažte,… že nezaměstnanost (tj.  ) …činí 10 % (= 0,1) …nepřesahuje 10 % (≤ 0,1)

Testování hypotéz Otestujte,… Ověřte,… Prokažte,… zda plat …závisí na vzdělání …nezávisí na pohlaví

Testování hypotéz Otestujte,… Ověřte,… Prokažte,… zda je rozložení známek dle předpokladu že hrací kostka není falešná že se náhodná veličina „výška osoby“ řídí dle normálního rozdělení s danými parametry

Testování hypotéz Nulová hypotéza H 0 : pevně daná forma (nerozhoduje slovní formulace problému!); u parametrických testů obsahuje H 0 rovnost, v jiných speciálních případech obsahuje H 0 např. tvrzení o nezávislosti Alternativní hypotéza H 1 : doplněk k H 0

Testování hypotéz  = P(chyby 1.druhu) … „hladina významnosti“  … volíme před začátkem testu, nejčastější hodnoty 5%, 10%, 1% Možnosti při testování:Doopravdy platí H 0 Doopravdy platí H 1 Dle dat vyberu H 0 OK „chyba 2. druhu“ Dle dat zamítnu H 0 „chyba 1. druhu“ OK

Testování hypotéz Postup rozhodování: a) Formulujeme dvojici stat. hypotéz H 0 a H 1 na základě slovních hypotéz. b) Z dat spočteme hodnotu testového kriteria T (testové statistiky). c) Pomocí tabulek kritických hodnot určíme při předem zvoleném  kritický obor W pro nulovou hypotézu (jeho doplněk nazýváme obor přijetí H 0 ). d) Pokud T leží ve W (T  W), zamítáme při daném  nulovou hypotézu ve prospěch hypotézy alternativní. e) Pokud naopak T neleží ve W (T  W), nelze při daném  zamítnout nulovou hypotézu ve prospěch hypotézy alternativní. f) Na základě (ne)zamítnutí H 0 formulujeme slovní odpověď.

Testování hypotéz Postup rozhodování při použití statistického SW (i např. Excel) – nelze „ručně“: a) Z dat spočte počítač p-hodnotu (je vždy mezi 0-1) b) Porovnáme p-hodnotu s předem zvolenou  : c) Pokud je p ≤ , zamítáme při daném  nulovou hypotézu ve prospěch hypotézy alternativní d) Pokud naopak je p > , nelze při daném  zamítnout nulovou hypotézu ve prospěch hypotézy alternativní

Typy testování hypotéz Parametrické pro střední hodnotu/y pro pravděpodobnost/i pro rozptyl/y (resp. směr.odchylku/y) Neparametrické testy dobré shody testy nezávislosti

Testování hypotéz Pro střední hodnotu μ : a) H 0 : μ = μ 0 H 1 : μ ≠ μ 0 (oboustranná alternativa) b) H 0 : μ = μ 0 H 1 : μ > μ 0 c) H 0 : μ = μ 0 H 1 : μ < μ 0 (jednostranné alternativy) Vždy μ 0 je konkrétní testovaná hodnota.

Testování hypotéz Pro střední hodnotu μ při známém σ : a) W = (-∞ ; -u 1- α /2  U  u 1- α /2 ; ∞) b) W =  u 1- α ; ∞) c) W = (-∞ ; -u 1- α 

Testování hypotéz Pro μ při známém σ - vzorce:

Testování hypotéz Pro střední hodnotu μ při neznámém σ : a) W = (-∞ ; -t 1- α /2 (n-1)  U  t 1- α /2 (n-1) ; ∞) b) W =  t 1- α (n-1) ; ∞) c) W = (-∞ ; -t 1- α (n-1) 

Testování hypotéz Pro μ při neznámém σ - vzorce:

Testování hypotéz Pro pravděpodobnost  : a) H 0 :  =  0 H 1 :  ≠  0 (oboustranná alternativa) b) H 0 :  =  0 H 1 :  >  0 c) H 0 :  =  0 H 1 :  <  0 (jednostranné alternativy) Vždy  0 je konkrétní testovaná hodnota.

Testování hypotéz Pro pravděpodobnost π : a) W = (-∞ ; -u 1- α /2  U  u 1- α /2 ; ∞) b) W =  u 1- α ; ∞) c) W = (-∞ ; -u 1- α 

Testování hypotéz Pro pravděpodobnost π - vzorce:

Testování hypotéz Příklad: Dle věku osmi náhodně vybraných čtenářů dětského časopisu ověřte pravdivost tvrzení, že střední věk čtenářů tohoto časopisu je 14 let. Věky popořadě (viz interval spolehlivosti): 12, 14, 15, 12, 15, 14, 12, 15. H 0 : μ=14H 1 : μ≠14

Testování hypotéz Příklad (řešení): průměrný věk=109/8=13,625; s = 1,408 T = (13,625–14)·  8 / 1,408 = -0,753 t 0,975 (7) = 2,365, takže: W = (-∞; -2,365    2,365; ∞)

Testování hypotéz Příklad (výsledek): T  W  nelze zamítnout H 0 Příklad (odpověď): Na 5% hladině významnosti nelze na základě dat zamítnout tvrzení, že střední věk čtenářů činí 14 let. Příklad (k zamyšlení): Je nějaký vztah mezi tímto výsledkem a intervalem spolehlivosti  12,448; 14,802  ?

Testování hypotéz Příklad: V novinách tvrdí, že více než 30% rodin nemá žádné úspory. Ověřte toto tvrzení na 10% hladině významnosti. V novinách tvrdí, že více než 30% rodin nemá žádné úspory. Ověřte toto tvrzení na 10% hladině významnosti. Z 250 oslovených rodin odpovědělo 76 odpovědělo, že nemá uspořeno žádné peníze. Z 250 oslovených rodin odpovědělo 76 odpovědělo, že nemá uspořeno žádné peníze.

Testování hypotéz Příklad (řešení): H 0 :  = 0,3 H 1 :  > 0,3  = 0,1; p = 76/250 = 0,304 T = (0,304 – 0,3).  250/  (0,3.0,7) = 0,138 u 1- α = u 0,9 = 1,28 W =  1,28 ; ∞) T  W … nelze zamítnout H 0

Testování hypotéz Příklad (odpověď): Na 10% hladině významnosti jsme neprokázali, že by více než 30% rodin nemělo žádné úspory.

Testování hypotéz Příklad – jiná varianta: V novinách tvrdí, že alespoň 30% rodin nemá žádné úspory. Ověřte toto tvrzení na 10% hladině významnosti. V novinách tvrdí, že alespoň 30% rodin nemá žádné úspory. Ověřte toto tvrzení na 10% hladině významnosti. Z 250 oslovených rodin odpovědělo 76 odpovědělo, že nemá uspořeno žádné peníze. Z 250 oslovených rodin odpovědělo 76 odpovědělo, že nemá uspořeno žádné peníze.

Testování hypotéz Příklad (řešení): H 0 :  = 0,3 H 1 :  < 0,3  = 0,1; p = 76/250 = 0,304 T = (0,304 – 0,3).  250/  (0,3.0,7) = 0,138 u 1- α = u 0,9 = 1,28 W = (-∞ ; -u 1- α  T  W … nelze zamítnout H 0

Testování hypotéz Příklad (odpověď): Na 10% hladině významnosti jsme prokázali, že alespoň 30% rodin nemá žádné úspory.

Testování hypotéz Srovnání výsledků obou příkladů (odpověď): Na 10% hladině významnosti jsme prokázali, že alespoň 30% rodin nemá žádné úspory, ale nepotvrdili jsme, že více než 30% rodin nemá žádné úspory. To znamená, že přesně 30% rodin nemá žádné úspory (možno dokázat oboustranným testem).

Testování hypotéz Příklad (řešení – oboustranná alternativa): H 0 :  = 0,3 H 1 :  ≠ 0,3  = 0,1; p = 76/250 = 0,304 T = (0,304 – 0,3).  250/  (0,3.0,7) = 0,138 u 1- α/2 = u 0,95 = 1,64 W = (-∞ ; -1,64    1,64 ; ∞) T  W … nelze zamítnout H 0, potvrzeno, že 30% rodin nemá úspory