Experimentální metody v oboru – Přesnost měření 1/38 Naměřená veličina a její spolehlivost © Zdeněk Folta - verze

Experimentální metody v oboru – Přesnost měření 2/38 Při jakémkoliv měření nejsme schopni změřit přesnou hodnotu. To je dáno:  chybami měření,  chybami přístrojů,  chybami měřiče. Proto se po každém měření musí určit  nejistota měření. Naměřená veličina a její spolehlivost

Experimentální metody v oboru – Přesnost měření 3/38 Chyby měření a přístrojů  Hrubé chyby  Systematické chyby  Náhodné chyby

Experimentální metody v oboru – Přesnost měření 4/38 HRUBÉ CHYBY Vznikají  nepozorností  přehlédnutím  špatným zápisem hodnoty  a jinak... Odstranění obvykle se dají snadno rozeznat, pokud je naměřeno více údajů, jsou zvláště nebezpečné při malém počtu měření (jeden či dva údaje), vyloučí se z naměřených dat.

Experimentální metody v oboru – Přesnost měření 5/38 SYSTEMATICKÉ CHYBY Chyba je při opakovaném měření vždy stejná a proto se dá špatně odhalit. Zdrojem této chyby může být:  systematická chyba přístrojů,  systematická chyba metody,  nevhodné podmínky pro měření,  charakteristická chyba měřiče.

Experimentální metody v oboru – Přesnost měření 6/38 Systematická chyba přístrojů  nedokonalost nebo závada přístroje,  špatné nastavení rozsahů přístroje,  špatný záznam nastavených parametrů měření. Odstranění cejchováním, důkladnou kontrolou a zápisem nastavení, ověřením při měření: SYSTEMATICKÉ CHYBY teoretickým výpočtem (např. pro mechanické napětí); měřením veličiny, která je známa (etalon [kalibrátor u hlukoměru], tající led [teplota], zatížení známou veličinou [zatížení vlastní hmotností]...); použití jiné, třeba i přibližné metody; použitím jiného měřidla.

Experimentální metody v oboru – Přesnost měření 7/38 Systematická chyba metody  nevhodná metoda pro dané měření,  metoda je sama o sobě zatížena nepřesností. Odstranění obvykle nemožné, pokud je chyba známa, tak měření touto metodou raději neprovádět. Příklad: Příchod Járy Cimrmana do Liptákova byl určen pomocí radionuklidového rozboru izotopu uhlíku C 12 z organické nečistoty na podrážkách jeho bot (pokud to jsou Cimrmanovy boty) a to na březen roku 1893 ± 200 let. SYSTEMATICKÉ CHYBY

Experimentální metody v oboru – Přesnost měření 8/38 NÁHODNÉ CHYBY Chyba je způsobovaná náhodnými nepravidelnými ději. Projevuje se odlišností hodnot jednotlivých opakovaných měření stejné veličiny (příklad: měření průměru 6 mm). Četnost výskytu Skupiny naměřených délek po desetině mm

Experimentální metody v oboru – Přesnost měření 9/38 Rozložení četností naměřené veličiny kolem střední hodnoty (skutečnou (přesnou) neznáme) je charakterizováno určitým rozdělením. Nejčastěji používáno je normální (Gaussovo) rozdělení. NÁHODNÉ CHYBY

Experimentální metody v oboru – Přesnost měření 10/38 x...náhodná veličina X...přesná hodnota veličiny ...základní střední chyba Analytické vyjádření Gussovy křivky NÁHODNÉ CHYBY

Experimentální metody v oboru – Přesnost měření 11/38 Studentovo t NÁHODNÉ CHYBY Používané typy rozdělení náhodné chyby:

Experimentální metody v oboru – Přesnost měření 12/38 Poissonovo NÁHODNÉ CHYBY Používané typy rozdělení náhodné chyby: Symetrická rozdělení

Experimentální metody v oboru – Přesnost měření 13/38 Skellamovo NÁHODNÉ CHYBY Používané typy rozdělení náhodné chyby: Symetrická rozdělení

Experimentální metody v oboru – Přesnost měření 14/38 Gama NÁHODNÉ CHYBY Používané typy rozdělení náhodné chyby: Symetrická rozdělení

Experimentální metody v oboru – Přesnost měření 15/38 Cauchy-Lorentzovo NÁHODNÉ CHYBY Používané typy rozdělení náhodné chyby: Symetrická rozdělení

Experimentální metody v oboru – Přesnost měření 16/38 Laplaceovo NÁHODNÉ CHYBY Používané typy rozdělení náhodné chyby: Symetrická rozdělení

Experimentální metody v oboru – Přesnost měření 17/38 Chí kvadrát Nesymetrická rozdělení NÁHODNÉ CHYBY Používané typy rozdělení náhodné chyby:

Experimentální metody v oboru – Přesnost měření 18/38 Beta NÁHODNÉ CHYBY Nesymetrická rozdělení Používané typy rozdělení náhodné chyby:

Experimentální metody v oboru – Přesnost měření 19/38 Neznáme-li rozložení náhodné hodnoty, v technické praxi obvykle předpokládáme Gaussovo rozdělení. Gaussova křivka pro rozdílný rozptyl hodnot NÁHODNÉ CHYBY Přesnější měření (menší rozptyl hodnot) Méně přesné měření (větší rozptyl hodnot)

Experimentální metody v oboru – Přesnost měření 20/38 Normální (Gaussovo) NÁHODNÉ CHYBY Používané typy rozdělení náhodné chyby: Rozdělení dvou náhodných veličin, například při určení odporu měřením proudu a napětí.

Experimentální metody v oboru – Přesnost měření 21/38 NEJISTOTA MĚŘENÍ Nejpravděpodobnější hodnota měřené veličiny by měla splňovat následující vlastnosti: a) součet chyb jednotlivých měření se rovná nule b) součet čtverců chyb jednotlivých měření je minimální Těmto požadavkům odpovídá střední hodnota = střední aritmetický průměr, = aritmetický průměr výběrového souboru, = střední průměr, která je ovšem rovněž náhodnou veličinou.

Experimentální metody v oboru – Přesnost měření 22/38 Přesnost střední hodnoty je možno hodnotit směrodatnou odchylkou výběrového souboru  = výběrová nejistota měření, = výběrová střední chyba měření, = výběrový rozptyl měření. (v excelu „SMODH.VÝBĚR“) NEJISTOTA MĚŘENÍ V případě velkého počtu měření, kdy n je blízké n-1, je možno  počítat dle vztahu: (v excelu „SMODCH“) Směrodatná odchylka výběrového souboru vypovídá o rozptylu naměřených hodnot (zjednodušeně s jakými odchylkami byly naměřeny data).

Experimentální metody v oboru – Přesnost měření 23/38 Cílem měření je ovšem stanovit, jak je naše střední hodnota pravděpodobně daleko od pravé (přesné) hodnoty měřené veličiny. To se podle statistiky určuje jako výběrová směrodatná odchylka střední hodnoty Pro tyto hodnoty nejsou v excelu funkce! V případě velkého počtu měření, kdy n je blízké n-1, je možno směrodatnou odchylku  počítat dle vztahu: NEJISTOTA MĚŘENÍ

Experimentální metody v oboru – Přesnost měření 24/38 Směrodatná odchylka střední hodnoty  P = 68,27 % Krajní chyba střední hodnoty  P = 99,73 % Naměřené hodnoty, které přesahují krajní chybu je možno považovat za „odlehlé hodnoty“.  NEJISTOTA MĚŘENÍ 

Experimentální metody v oboru – Přesnost měření 25/38 x...náhodná veličina X...přesná hodnota veličiny ...základní střední chyba Analytické vyjádření křivky NÁHODNÉ CHYBY

Experimentální metody v oboru – Přesnost měření 26/38 Průběh střední hodnoty pro různý počet měření. Poměr nejistoty měření  a směrodatné odchylky střední hodnoty  pro různý počet n měření NEJISTOTA MĚŘENÍ

Experimentální metody v oboru – Přesnost měření 27/38 NEJISTOTA MĚŘENÍ Standardní nejistota typu A Odpovídá v podstatě náhodným chybám dle klasického přístupu. Jejich příčiny se považují za neznámé a hodnota nejistoty typu A klesá s počtem měření. Je vyhodnocena pomocí statistických metod a je charakterizována výběrovou směrodatná odchylka střední hodnoty: Nejistoty podle stávající normy

Experimentální metody v oboru – Přesnost měření 28/38 NEJISTOTA MĚŘENÍ Standardní nejistota typu A Pokud je počet opakovaných měření menší než deset a není možné učinit kvalifikovaný odhad na základě zkušenosti, určí se korigovaná nejistota u Ak ze vztahu kde hodnoty korekčních koeficientů k A pro různé počty opakovaných měření n se volí dle tabulky: n kAkA 1,2 1,3 1,41,72,37,0  

Experimentální metody v oboru – Přesnost měření 29/38 NEJISTOTA MĚŘENÍ Standardní nejistota typu B Odpovídá v podstatě systematickým chybám dle klasického přístupu. Jejich příčiny se považují za známé a hodnota nejistoty typu B neklesá s počtem měření. kde u z jsou nejistoty jednotlivých prvků měřicí soustavy (měřidla, etalonu, teplotní odchylky, konstanty tenzometru …. Hodnoty se převezmou z katalogu výrobce přístroje nebo se získají kalibrací. Udává-li výrobce maximální dovolenou chybu měřidla z, získá se nejistota měřidla dle vztahu

Experimentální metody v oboru – Přesnost měření 30/38 NEJISTOTA MĚŘENÍ Standardní nejistota typu B – analogová měřidla U analogových měřidel je často udávána třída přesnosti přístroje T v řadě 0,05 - 0,1 - 0, ,5 - 2,5 – 5. Voltmetr s třídou přesnosti 2,5 a rozsahem 100 V naměřil na analogové stupnici 20 V. V našem případě je: T = 2,5, M = 100, X m = 20  u = (2,5 / 100) 100 = 2,5 V  u = (100 / 20) 2,5 = 12,5 % kde X m je naměřená hodnota. Absolutní chyba se vypočítá podle vztahu kde T je třída přesnosti, M je hodnota nejvyššího měřicího rozsahu. Chyba relativní je dána potom vztahem

Experimentální metody v oboru – Přesnost měření 31/38 NEJISTOTA MĚŘENÍ Standardní nejistota typu B – digitální měřidla Celková chyba  (  je dána součtem nejistoty měřidla  c a chyby rozsahu (posledního digitu)  d. Pro uvedenou hodnotu U m = 0,385 V při nastaveném rozsahu 2 V je výsledná nejistota:  c = 0,385 · 0,005 = ±0,00193 V  d = ± 0,002 V  = 0, ,002 = ± 0,00393 V  = 0,00393 / 0,385 · 100 = ±1,02 %

Experimentální metody v oboru – Přesnost měření 32/38 NEJISTOTA MĚŘENÍ Kombinovaná standardní nejistota (= výsledná) Je výsledná nejistota měření zohledňující jak náhodné tak systematické chyby: Výsledný údaj se pak udává zápisem příklad: d = (12 ± 0,2) mm T = 136 ºC ± 2 % kde k r = 2 pro pravděpodobnost 95,45 % k r = 3 pro pravděpodobnost 99,73 % (pro Gaussovo rozdělení). Tato nejistota je definována pravděpodobností výskytu 68,27 %. Pro vyšší pravděpodobnost se stanovuje rozšířená nejistota měření = standardní nejistota typu C

Experimentální metody v oboru – Přesnost měření 33/38 NEJISTOTA VÝPOČTŮ - ZAOKROUHLOVACÍ CHYBA POČET PLATNÝCH ČÍSLIC Zaokrouhlení na 2 platné číslice: 1,2 ; 0,0026 ; ; 3,3 ∙ 10 5 Zaokrouhlení na 3 platné číslice: 1,24 ; 0,00258 ; ; 3,26 ∙ 10 5 Zaokrouhlení na 4 platné číslice: 1,236 ; 0, ; ; 3,258 ∙ 10 5

Experimentální metody v oboru – Přesnost měření 34/38 NEJISTOTA VÝPOČTŮ – ZAOKROUHLOVACÍ CHYBA Při zaokrouhlování během výpočtů dochází ke vzniku chyby. Při běžném zaokrouhlování nastává při každém jednom zaokrouhlení chyba :

Experimentální metody v oboru – Přesnost měření 35/38 PRAVDĚPODOBNÁ MAXIMÁLNÍ HODNOTA Úkol: Působí-li při každém pracím cyklu určitá maximální síla, jaká je možná maximální síla? Max?

Experimentální metody v oboru – Přesnost měření 36/38 Pravděpodobná maximální hodnota Problém 1: Jaké použít rozdělení?

Experimentální metody v oboru – Přesnost měření 37/38 Pravděpodobná maximální hodnota Problém 2: Jakou použít pravděpodobnost výskytu? Max?

Experimentální metody v oboru – Přesnost měření 38/38 Pravděpodobná maximální hodnota Problém 3: Jaký potřebujeme počet měření? Hodnota 1 v tabulce znamená hodnotu větší než 0,999.