Nešťastných 10 Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Chcete 80 mega? Předpokládejme, že ano. Jedna z legálních možností je využít sázkových her loterijních společností. Podívejme se blíže na fiktivní hru „Nešťastných deset“ z hlediska pravděpodobnosti a herní strategie. Nejdříve si ale ujasníme základní principy a pravidla hry. Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Spravedlivá hra Spravedlivá hra je ta, kde míra rizika, které podstupujete, je přímo úměrná očekávané výhře. Budete-li házet mincí a sázet na rub a líc, určitě by vám výhra rovnající se méně než dvojnásobku vkladu připadala nespravedlivá. Hry, které nejsou spravedlivé, vždy někoho zvýhodňují, většinou kasino, loterijní společnost, hrací automat… Může to mít i bohulibé důvody (např. výstavba hokejových hal). Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Nešťastných deset – pravidla Hráč na tiketu tipuje 1–10 čísel z 80 možných (1–80). Z těchto 80 se losuje dvacet čísel. Podle počtu uhodnutých čísel získává hráč jistý násobek svého vkladu. Maximální výhra je Kč. Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Příklad 1 Tipujeme deset čísel a chceme určit, s jakou pravděpodobností získáme nejvyšší výhru (vklad x ) Kč. Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Co už víme z kombinatoriky Losováním čísel vytváříme kombinace, je to proto, že nezáleží na pořadí losovaných čísel a čísla se nemohou opakovat. C (20,80) = je počet všech možností losování. K tipovaným deseti číslům lze vylosovat už jen jednu z C (10,70) = „desetic“, které nám přinášejí dle pravidel hry násobek vkladu. Hledaná pravděpodobnost je dána podílem těchto dvou čísel a není veliká. Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Budeme-li trvat na Kč výhry, musíme tedy vsadit 400 Kč (nebo 40× uhodnout všech deset na nejnižší vklad 10 Kč, to ale nebudeme „riskovat“). Jaká je tedy pravděpodobnost, že vyhrajeme? Kdyby byla hra spravedlivá, musela by být pravděpodobnost výhry rovna: Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Ve skutečnosti je pravděpodobnost výhry rovna: (A to je asi 44krát méně!) Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Podívejme se na tabulku výher podrobněji (hodnoty udávají násobek vkladu) Počet hádaných čísel Počet uhodnutý ch čísel Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. © David Hanzlíček

Příklad 2 Lákavé je, že pokud vsadíme 6–10 čísel a neuhádneme ani jedno, vrátí se nám vklad. Spočtěte, jaká je pravděpodobnost, že neuhádneme ani jedno číslo, vsadíme-li 10, 9, 8, 7 a 6 čísel. (Nejefektivněji výpočet provedete v pětičlenné skupině). Výsledky jsou na další straně. Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Autor © David Hanzlíček

Výsledky Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Příklad 3 Odvoďte obecný vzorec pro výpočet pravděpodobnosti jednotlivých jevů sázení a losování hry „nešťastných deset“. Dáno: M…počet možných čísel, N…počet losovaných čísel, H…počet tipovaných čísel, U…počet uhodnutých čísel. Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Vzorce Pravděpodobnost P výhry, losuje-li se N čísel z M a uhodneme-li U čísel z H tipovaných (hádaných) je rovna (vyberte): Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Samozřejmě, že: Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Příklad 4 Z následující tabulky určete, které z jevů přinášejících výhru jsou nejpravděpodobnější a zda je výhodnější tipovat více nebo méně čísel. Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Tabulka pravděpodobností Vysvětlivky: H … počet tipovaných čísel, U … počet uhodnutých čísel, pravděpodobnosti odpovídající jisté výhře, pravděpodobnosti vrácení vkladu, suma pravděpodobností odpovídající nějaké výhře. Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Autor © David Hanzlíček

Příklad 5 Je opravdu nejvýhodnější tipovat pouze 1, 3, 5 nebo 10 čísel? Jasnější odpověď poskytne veličina „střední hodnota výhry“, kterou získáme, vynásobíme-li očekávanou výhru (resp. násobek vkladu) s její pravděpodobností. Takto získané hodnoty sečteme za každý sloupec zastupující jistý počet tipovaných čísel. Vypočtěte střední hodnotu výhry pro 1, 6 a 10 tipovaných čísel. Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Střední hodnota výhry Suma středních hodnot Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Autor © David Hanzlíček

Příklad 6 Jaká musí být střední hodnota výhry ve spravedlivé hře? Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Odpovědi Jaká musí být střední hodnota výhry ve spravedlivé hře? 1 Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Závěry? Hra má přiléhavý název. Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.