Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Evropský sociální fond Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY Číselné soustavy

Obsah Teorie Řešené příklady Příklady k procvičení

Definice číselných soustav Číselná soustava je způsob reprezentace čísel. Stejné číslo je v různých číselných soustavách reprezentováno různými způsoby. Příklad: Číslo 7 lze zapsat např. takto: IIIIIII, VII, (111) 2, (21) 3, (13) 4, (7) 10

K čemu jsou dobré různé ČS V počítačích jsou reprezentovaná čísla ve dvojkové soustavě – technologicky se snadno rozliší dva stavy zapnuto/vypnuto, ano/ne, 1/0, pravda/nepravda K efektivním početním operacím – velký pokrok lidstva nastal v okamžiku opuštění unární ČS a později při nahrazení římských číslic arabskými

Druhy číselných soustav Rozlišujeme dva hlavní druhy ČS: nepoziční (nepolyadické) poziční (polyadické)

Nepoziční ČS Římské číslice jsou příkladem nepoziční číselné soustavy. Dnes se pro počítání nepoužívají. Symboly: I, V, X, L, C, D, M Např: MMX, IV,DCV Negativem je komplikované užití početních operací

Poziční ČS Jsou charakterizovány tzv. základem neboli bází, což je obvykle kladné celé číslo definující maximální počet číslic (nad číslici 9 používáme písmena), které jsou v dané soustavě k dispozici. Např. (325) 6 - číslo v šestkové soustavě (1BC3) 16 - číslo v šestnáctkové soustavě Základem desítkové soustavy je číslo 10

Nejčastěji používané ČS Dvojková (binární, z = 2) – používá se v počítačích Osmičková (oktální, oktalová, z = 8) Desítková (decimální, dekadická, z = 10) – nejpoužívanější v běžném životě Dvanáctková (z = 12) – dnes málo používaná, ale dodnes z ní zbyly názvy prvních dvou řádů – tucet a veletucet Šestnáctková (hexadecimální, z = 16) – používá se v oblasti informatiky, pro číslice 10 až 15 se používají písmena A až F Šedesátková (z = 60) – používá se k měření času; číslice se obvykle zapisují desítkovou soustavou jako 00 až 59 a řády se oddělují dvojtečkou; názvy prvních dvou řádů jsou kopa a velekopa

Rozvoj přirozeného čísla v ČS Každé přirozené číslo a lze zapsat pomocí polynomu ve tvaru a = a n z n + a n-1 z n a 2 z 2 + a 1 z 1 + a 0 z 0 a je číslo vyjádřené v ČS o základu z. z je základ ČS, z je celé kladné číslo větší než jedna. a i jsou číselné koeficienty pro něž platí a i náleží {0,1,2,..., z-1}. Nazýváme je číslice neboli cifry ; o číslici a i říkáme, že je číslicí i-tého řádu, neboli číslicí řádu i. číslo z i, kde i = 0, 1,..., n se nazývá jednotka řádu i, nebo také jednotka i- tého řádu. n je počet řádových míst. Číslo a je n + 1 ciferné v soustavě o základu z.Tento zápis nazýváme rozvojem čísla a v soustavě o základu z. Číslo a běžně píšeme zkráceně ve tvaru a = (a n a n-1... a 1 a 0 ) z

Zápisy čísel pomocí číselného rozvoje v různých ČS v desítkové soustavě a = a n · 10 n + a n-1 · 10 n a 2 · a 1 · a 0 · 10 0 v dvojkové soustavě a = a n · 2 n + a n-1 · 2 n a 2 · a 1 · a 0 · 2 0 v šestnáctkové soustavě a = a n · 16 n + a n-1 · 16 n a 2 · a 1 · a 0 · 16 0 Poznámka: rozvoj je vyjádřen v desítkové soustavě a operace se také počítají v desítkové soustavě. Číslice musíme tedy z šestnáctkové soustavy převést do desítkové (A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15)

Převod do desítkové soustavy Přepočet čísla z libovolné soustavy o základu X do soustavy se základem 10 provedeme dosazením do polynomu. Např. (2012) 4 = 2 · · · · 4 0 = 2 · = 134 (110110) 2 = 1 · · · · · · 2 0 = = 54 (D4) 15 = 13 · · 15 0 = = 199

Převod z desítkové soustavy Příklad: převeďte číslo (25) 10 do dvojkové soustavy. Řešení: 25 = a 0 = 1 12 = a 1 = 0 6 = a 2 = 0 3 = a 3 = 1 1 = a 4 = 1 Výsledek: (25) 10 = (11001) 2

Příklad: převeďte číslo (50) 10 do osmičkové soustavy. Řešení: 50 = = Výsledek: (50) 10 = (62) 8 Příklad: převeďte číslo (527) 10 do šestnáctkové soustavy. Řešení: 527 = = = Výsledek: (527) 10 = (20F) 16

Početní operace v různých ČS Sčítání:Odčítání: (423) 6 (42714) 8 (1341) 6 -(17043) 8 (521) 6 (23651) 8 (3125) 6

Násobení (325) 6.(245) Před výpočtem součinu sestavíme tabulku násobení pro šestkovou soustavu (352) 6.(245) 6 (3124) 6 (2332) 6 (1144) 6 (145244) 6

Dělení (120121) 3 : (102) 3 = (1102) 3 -(102) 3 (111) 3 -(102) 3 (221) 3 -(211) 3 (10) 3 … zbytek

Příklady k procvičení 1) Převeďte do dvanáctkové soustavy (3015) 10 2) Převeďte do šestnáctkové soustavy (49674) 10 3) Převeďte do desítkové soustavy (2135) 7 4) Převeďte do dvanáctkové soustavy (2135) 6

5) Sečtěte (3423) 5 + (2214) 5 = 6) Odečtěte (201210) 3 – (12221) 3 = 7) Vynásobte (3625) 7.(2060) 7 = 8) Vydělte (120101) 3 : (102) 3 =

Řešení 1) (18B3) 12 2) ( C20A) 16 3) (761) 10 4) (347) 12 5) (11142) 5 6) (111212) 3 7) ( ) 7 8) (1101) 3

Použité zdroje a literatura stava Bartsch, H.J., Matematické vzorce, Academia, Praha 2006

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Evropský sociální fond Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY Tato prezentace byla vytvořena v rámci projektu OBZORY Autor: Mgr. Hana Kačerová Předmět: Seminář z matematiky Datum:

Číselné soustavy Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Evropský sociální fond Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Evropský sociální fond Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY Tato prezentace byla vytvořena v rámci projektu OBZORY Autor: Mgr. Hana Kačerová Předmět: Seminář z matematiky Datum: