Soustavy lineárních rovnic Matematika 9. ročník Creation IP&RK

O B S A H: Lineární rovnice se dvěma neznámými Soustava dvou rovnic se dvěma neznámými Typy řešení soustav Metoda dosazovací (substituční) Metoda sčítací (adiční) Metoda srovnávací (komparační) a grafická Příklady s různými typy řešení

Lineární rovnice se dvěma neznámými: Rovnice tvaru ax + by + c = 0, kde a, b, c  R jsou konstanty a x, y  R jsou dvě neznámé. Příkladem takové rovnice jsou například rovnice:  Jestliže si za jednu neznámou zvolíme libovolné číslo, druhou neznámou již snadno dopočítáme.  Řešením pak bude uspořádaná dvojice [x; y]  Takovýchto řešení nalezneme nekonečně mnoho … My se naučíme řešit takzvané soustavy dvou rovnic, t.j hledáme takovou uspořádanou dvojici čísel, která vyhovují oběma rovnicím.

Soustava dvou lineárních rovnic o dvou neznámých Soustavou dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými je každá dvojice rovnic, kterou lze pomoci ekvivalentních úprav převést na tvar: kde a, b, c, k, l, m jsou reálná čísla a x a y neznámé. Řešením této soustavy je uspořádaná dvojice čísel [x; y], která vyhovují oběma rovnicím.

Početní metody a možné výsledky soustavy lineárních rovnic: Existují tři základní početní metody řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými x, y  R: 1.Metoda dosazovací. 2.Metoda sčítací. 3.Metoda srovnávací. Existují i tři možné výsledky řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými x, y  R: 1.Řešením soustavy je jedna uspořádaná dvojice. 2.Řešením soustavy je nekonečně mnoho uspořádaných dvojic. 3.Soustava rovnic nemá žádné řešení.

Ekvivalentní úpravy soustavy rovnic: 1.Nahrazení libovolné rovnice soustavy rovnicí s ní ekvivalentní. 2.Nahrazení libovolné rovnice soustavy součtem této rovnice a libovolné další rovnice soustavy. 3.Dosazení neznámé z jedné rovnice soustavy do jiné její rovnice. Cílem početních operací při výpočtu soustavy lineárních rovnic je získat řešení, tedy nalézt všechny uspořádané dvojice [x; y], které po dosazení do soustavy splní všechny její rovnice. Základním principem těchto operací je vyloučení (eliminace) jedné z neznámých, a tím výpočet té druhé. Následně pak pomocí ní výpočet té první.

Metoda dosazovací (substituční) - z jedné rovnice vyjádříme jednu neznámou - takto získaný výraz dosadíme do druhé rovnice soustavy - tím získáme jednu lineární rovnici, kterou vyřešíme 1. Příklad: Najděte řešení soustavy lineárních rovnic:

Metoda dosazovací (substituční) 1.krok: Z jedné rovnice soustavy vyjádříme jednu neznámou pomocí druhé neznámé. Například z druhé rovnice vyjádříme neznámou x pomocí neznámé y. 2.krok: Získaný výraz dosadíme do první rovnice za neznámou x.

Metoda dosazovací (substituční) 3.krok: Dostaneme rovnici s jednou neznámou, kterou už umíme vyřešit. 4.krok: Nyní dosadíme y = -2 do výrazu vyjádřeného v prvním kroku řešení: Řešením soustavy je uspořádaná dvojice [x; y] = [2;- 2]. Zapíšeme výsledek:

Metoda dosazovací (substituční) 5.krok: Získali jsme dvojici čísel x = 2 a y = -2, tedy uspořádanou dvojici [2;-2]. Přesvědčíme se, že je řešením první i druhé rovnice soustavy. A je to hotové!!!

Metoda dosazovací (substituční) 1.krok: například z první rovnice vyjádříme neznámou x pomocí neznámé y. 2.Příklad: Najděte řešení soustavy lineárních rovnic: 2.krok: Získaný výraz dosadíme do druhé rovnice za neznámou x. Počítej sám …..

Metoda dosazovací (substituční) 3.krok: Dostaneme rovnici s jednou neznámou, kterou už umíme vyřešit. 4.krok: Nyní dosadíme y = 1 do výrazu vyjádřeného v prvním kroku řešení: Řešením soustavy je:

Metoda dosazovací (substituční) 5.krok: Zkouška – ta už je na tobě … Jak se ti líbilo počítání se zlomkem ???? Nebylo jednodušší si vyjádřit y ze druhé rovnice a dosadit do první … Zkus to!!!! Najít „šikovný“ postup často podstatně zjednoduší počítání !!!

Metoda dosazovací (substituční) Shrnutí postupu: 1. krok: Z jedné rovnice soustavy vyjádříme jednu neznámou pomocí druhé neznámé (Například z první rovnice vyjádříme neznámou x pomocí neznámé y). 2. krok: Získaný výraz dosadíme do druhé rovnice za druhou neznámou. 3. krok: Dostaneme rovnici s jednou neznámou, kterou vyřešíme. 4. krok: Dosadíme první vypočítanou neznámou do výrazu vyjádřeného v prvním kroku řešení a vypočítáme druhou neznámou. A nyní už vzhůru na řešení soustav rovnic. 5. krok: Ověření správnosti řešení (zkouška). Zapíšeme řešení – uspořádanou dvojici [x; y].

Metoda dosazovací (substituční) Příklady na procvičení: Mnoho zdaru v počítání !!!

- jednotlivé rovnice násobíme (vydělíme) vhodnými čísly tak, abychom po sečtení upravených rovnic získali jednu lineární rovnici s jednou neznámou Metoda sčítací (adiční) /.(-1) Jednu z rovnic vynásobíme (-1) Rovnice sečteme. Vznikne rovnice s jednou neznámou, kterou vyřešíme.

Metoda sčítací (adiční) Dosazením x = 2 do jedné z rovnic, vypočítáme druhou neznámou. Zapíšeme výsledek: A na závěr zkouška:

Metoda sčítací (adiční) 2.Příklad: Najděte řešení soustavy lineárních rovnic: Zde se nám nabízí dvě možnosti, jak postupovat. a)„vyrušíme“ neznámou x tak, že první rovnici vynásobíme -2 b)„vyrušíme“ neznámou y tak, že první rovnici vynásobíme -3 Vyzkoušíme oba postupy (zkoušky nechám na tobě )

Metoda sčítací (adiční) /.(-2) a) „vyrušíme“ x: Zapíšeme výsledek:

Metoda sčítací (adiční) /.(-3) b) „vyrušíme“ y: Zapíšeme výsledek:

Metoda sčítací (adiční) Shrnutí postupu: Podstatou této metody je, že jednotlivé rovnice nejprve násobíme takovými čísly (různými od nuly), aby členy s jednou z neznámých představovaly po této úpravě opačné výrazy a jejich součet byl nula. Po sečtení upravených rovnic dostaneme jednu lineární rovnici s jednou jedinou neznámou. Při řešení soustavy sčítací metodou je tedy nejdůležitější najít vhodná čísla, kterými budeme jednotlivé rovnice násobit. Rovnice soustavy nebudou vždy již v zadání ve tvaru ax+by=c. V takovém případě je ještě před tím, než začneme hledat vhodná čísla, kterými budeme jednotlivé rovnice násobit, do tohoto tvaru upravíme.

Metoda sčítací (adiční) Příklady na procvičení:

Metoda srovnávací (komparační) - z obou rovnic vyjádříme stejnou neznámou pomocí druhé neznámé a porovnáním obou vyjádření vypočítáme první neznámou. A řešíme …

Metoda srovnávací (komparační) Vypočítanou neznámou y dosadíme do libovolné z rovnic a vypočítáme druhou neznámou: Výsledkem je uspořádaná dvojice [x; y]:

Grafická metoda Kromě početních metod, zmiňovaných výše, můžeme použít i grafickou metodu řešení soustav rovnic. Třeba takovou: Postupujeme tak, že z první i druhé rovnice si vyjádříme neznámou y. Tím jsme z nich dostali dvě lineární funkce,lineární funkce které již jen zbývá vynést do grafu a najít jejich průsečík. Průsečík znamená, že jsme našli hledanou dvojici neznámých: [x; y] = [2; 2] Tato metoda ale není součástí této prezentace.

Příklady s různými typy řešení Existují tři možné výsledky řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými x, y  R: 1.Řešením soustavy je jedna uspořádaná dvojice. 2.Řešením soustavy je nekonečně mnoho uspořádaných dvojic. 3.Soustava rovnic nemá žádné řešení. První případ – to jsou příklady, které jsme doposud řešili ….

Příklady s různými typy řešení 2.Řešením soustavy je nekonečně mnoho uspořádaných dvojic. Zvolíme dosazovací metodu Dopočítáváme druhou neznámou y a získáme výsledný tvar: Což je pravda - pravdivý výrok. Takový výsledek znamená, že soustava rovnic má nekonečně mnoho řešení. Výsledek naší soustavy zapíšeme ve tvaru:

Příklady s různými typy řešení 3.Soustava rovnic nemá žádné řešení. Zvolíme dosazovací metodu Dopočítáváme druhou neznámou y a získáme výsledný tvar: Této rovnici nevyhovuje žádné reálné číslo, výsledkem tedy je, že soustava rovnic nemá řešení: Což není pravda - nepravdivý výrok.

A jeden složitější příklad na závěr: Řešte soustavu rovnic s neznámou x, y: Každou rovnici upravujeme zvláště – až do základního tvaru (tj. dál nemůžeme dělat nic … )

Dosadíme do jedné z rovnic hodnotu y a dopočítáme druhou neznámou x. + zkouška ….

Konec prezentace