Matice Přednáška č.4

Definice: Soubor prvků nazýváme maticí typu i-tý řádek j-tý sloupec prvky matice

Různé druhy matic  Čtvercová matice matice řádu n  Obdélníková matice typu  Jednotková matice I (E)  (Hlavní) diagonála matice  Diagonální matice  Nulová matice….všechny prvky=0  Horní(dolní)trojúhelníková matice: A čtvercová  Horní(dolní) lichoběžníková matice:A obdélníková

Operace s maticemi  Součet matic  r-násobek matice A,  rovnost matic  součin matic :Buď a matice. Součinem  AB těchto matic (v tomto pořadí) rozumíme matici, kde Mocniny matice

příklad  Vypočtěte

Příklad pokračování

Vlastnosti matic  Vlastnost: Buď a, a matice a. Pak platí  1),  2) 3)

Hodnost matice  Definice: Řekneme, že matice je v Gaussově tvaru, jestliže žádný řádek matice se neskládá ze samých nul a první nenulové číslo každého řádku je zároveň poslední nenulové číslo příslušného sloupce  Definice: Nechť A je matice typu (m,n). Hodností h(A) matice A budeme rozumět počet řádků matice v Gaussově tvaru.

Další vlastnosti matic  Vlastnost: Hodnost matice A se nezmění, jestliže v matici A  1) vynásobíme nějaký řádek (sloupec) nenulovým číslem  2) přičteme-li b-násobek nějakého řádku (sloupce) k jinému řádku (sloupci).  3) přehodíme-li dva řádky (sloupce)  4) vynecháme-li řádek (sloupec), který je lineární kombinací ostatních řádků (sloupců).  Důsledek: Hodnost trojúhelníkové matice je rovna počtu jejích nenulových řádků (sloupců).

Příklad- Určete hodnost matice

Příklad- pokračování

Regulární a singulární matice  Definice: Čtvercová matice A se nazývá regulární, jestliže její hodnost je rovna jejímu řádu. Každá jiná matice se nazývá singulární.  Vlastnost: Součin regulárních matic téhož řádu je zase regulární matice.  Vlastnost: Jestliže A,B jsou matice, pro které existuje součin AB, potom h(AB)=nim(h(A), h(B))  Definice: Lineární kombinací řádků a 1,…, a k matice A je vektor u, kde u=α 1 a 1 + α 2 a 2 +…+ α k a k,, kde α 1, α 2,…,α k jsou reálná čísla

Transponovaná matice  Definice: Nechť A je matice typu (m,n). Matice A T je typu (n,m) se nazývá transponovaná matice k matici A, jestliže  Vlastnosti: 

Příklad

Symetrická, antisymetrická, inverzní matice  A je symetrická matice, jestliže  A je antisymetrická matice, jestliže  Definice: Nechť A je matice. Matice A -1, pro kterou platí  A -1 A=AA -1 =I se nazývá inverzní matice k matici A.  Vlastnosti: 1) inverzní matice k matici A existuje právě tehdy, když A je regulární matice  2)  3)  4) je regulární a  Výpočet inverzní matice-Gaussova metoda – za matici za čáru připíšeme jednotkovou matici a upravujeme povolenými úpravami tak, abychom před čarou dostali jednotkovou matici. Matice za čarou bude inverzní matice k zadané matici.

Příklad

Příklad-nalezněte inverzní matici k matici

Příklad-pokračování

zkouška  A -1 A=I

Maticové rovnice  Rovnice, ve kterých koeficienty i neznámá jsou matice.  Příklad: Vyjádřete matici X z rovnice  AX-B=C, kde A,B,C jsou matice odpovídajících rozměrů  AX=C+B  X=A -1 (C+B)

Maticové rovnice  Z rovnice AX+C=D vyjádřete matici X  AX=D-C  A -1 | AX=D-C  A -1 AX=A -1 (D-C)  IX=A -1 (D-C)  X=A -1 (D-C)

Maticové rovnice  Z maticové rovnice XA=B vypočtěte matici X, kde  X=B A -1

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy homogenních lineárních rovnic  Definice: Buď a  Homogenní soustavou m rovnic o n neznámých  rozumíme rovnici.  Matice A se nazývá matice soustavy a vektor, pro který, nazýváme řešením této soustavy.

Vlastnosti soustav homogenních lineárních rovnic  Hodností soustavy rozumíme hodnost matice A  Soustava homogenních rovnic je vždy řešitelná. Pokud hodnost matice soustavy je rovna počtu neznámých, má soustava pouze triviální řešení (tedy jediné)(triviální řešení-všechny složky nulové).  Pokud hodnost matice soustavy je menší, než počet neznámých, pak má soustava nekonečně mnoho řešení, které vyjádříme pomocí n-h parametrů.

 Definice: Buď A matice typu a B matice typu. Homogenní soustavy rovnic a se nazývají ekvivalentní, jestliže mají stejné množiny řešení, tj..  Vlastnost: Buď A matice typu a B matice typu. Pak soustavy a jsou ekvivalentní matice A a B se dají pomocí úprav zachovávajících hodnost matice převést na stejné matice v Gaussově tvaru.

Příklad  Nalezněte řešení soustavy rovnic

Příklad  Nalezněte řešení soustavy rovnic

Soustavy nehomogenních lineárních rovnic  Definice: Buď A matice typu, nehomogenní soustavu m lineárních rovnic o n neznámých rozumíme rovnici.  vektor řešení  vektor pravých stran

Vlastnosti soustav nehomogenních lineárních rovnic  Matici nazýváme rozšířenou maticí soustavy ….. homogenní soustava příslušná soustavě.

Řešitelnost soustavy nehomogenních lineárních rovnic  Věta:(Frobenius) Nehomogenní soustava lineárních rovnic je řešitelná hodnost h matice soustavy A je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy.  Soustava nemá řešení, jestliže  má jediné řešení  má nekonečně mnoho řešení

Vlastnosti  Vlastnost: Nechť je řešení soustavy lineárních rovnic. Pak vektory, kde je libovolné řešení příslušné homogenní soustavy, tvoří právě všechna řešení soustavy.  Definice: Buď A matice typu a B matice typu. Nehomogenní soustavy rovnic a se nazývají ekvivalentní, jestliže mají stejné množiny řešení, tj..

 Vlastnost: Buď A matice typu a B matice typu. Pak soustavy a jsou ekvivalentní matice a matice se dají pomocí úprav zachovávajících hodnost matice převést na stejné matice v Gaussově tvaru.  Gaussova eliminační metoda- převádí matici soustavy na matici v Gaussově tvaru. A řešení nalezneme ze soustavy s touto maticí soustavy.

Příklad  Nalezněte všechna řešení soustavy lineárních rovnic

Příklad  Nalezněte všechna řešení soustavy lineárních rovnic

Příklad-pokračování

Příklad  Nalezněte všechna řešení soustavy lineárních rovnic

Příklad-pokračování