ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) a  x  b distribuční funkce střední hodnota rozptyl

Exponenciální rozdělení E(A,  ) je vhodným modelem doby čekání do nastoupení určitého jevu, kde parametr A je počáteční doba, během níž tento jev nemůže nastat např. doba čekání zákazníka na obsluhu, pravděpodobná doba životnosti výrobku, doba mezi odjezdy apod. hustota pravděpodobnosti

distribuční funkce (udává pravděpodobnost, že jev nastane nejpozději v čase x) Střední hodnota Rozptyl

Příklad : Průměrná životnost výrobku je 5 let. S jakou pravděpodobností náhodně vybraný výrobek nepřežije 3 roky? A=0 E(X) = δ = 5

Normální rozdělení N(µ,  2 ) Gaussovo - Laplaceovo rozdělení nejdůležitější rozdělení, je vhodným modelem všude tam, kde kolísání náhodné veličiny je způsobené velkým počtemnepatrných a vzájemně nezávislých vlivů ze jím za určitých podmínek aproximovat některá jiná rozdělení (viz. centrální limitní věta) hustota pravděpodobnosti  střední hodnotaE(X) =   rozptyl D(X) =  2

hustota pravděpodobnosti N(µ,  2 )

NORMOVANÉ NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ N(0,1) normovaná náhodná veličina hustota pravděpodobnosti -  u  -  u   distribuční funkce  střední hodnotaE(U) = 0  rozptyl D(U) = 1

NORMOVANÉ NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ N(0,1) V důsledku symetrie kolem nuly platí: distribuční funkce p% kvantil medián !! ! ! !

Příklad 1: Výška lidí v určitém souboru má normální rozdělení se střední hodnotou  = 175 cm a směrodatnou odchylkou  = 8 cm. 1.Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný člověk bude vyšší než 185 cm? 2. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný člověk bude mít výšku v rozmezí cm? 3. Jakou výšku překročí 10% lidí v souboru? N(175;64) ad 1/

ad 2/ ad 3/

Důležité kvantily normovaného normálního rozdělení

PRAVIDLO 3 SIGMA Jaká je pravděpodobnost, že náhodná veličina X s padne do centrálních pásů P(µ -   X  µ +  ) = 0,6828 P(µ - 2   X  µ + 2  ) = 0,9545 P(µ - 3   X  µ + 3  ) = 0,9973

LOGARITMICKO-NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ model asymetricky rozdělených náhodných veličin Jestliže má náhodná veličina normální rozdělení s parametry, pak náhodná veličina X má LN rozdělení s hustotou pravděpodobnosti Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny X

Další rozdělení důležitá v matematické statistice Rozdělení chí-kvadrát Rozdělení t – Studentovo Rozdělení F - Fischerovo

LIMITNÍ VĚTY Tvrzení o vlastnostech pravděpodobnostních modelů v případě rostoucího počtu náhodných pokusů.  zákon velkých čísel  centrální limitní věta CLV se zabývá normálním rozdělením jako limitním rozdělením, k němuž se za určitých podmínek blíží řada jiných pravděpodobnostních rozdělení

Zákon velkých čísel (ZVČ) Zvětšujeme-li počet pokusů, lze za jistých podmínek docílit téměř jistoty, že se bude pozorovaná empirická charakteristika jen libovolně málo lišit od charakteristiky teoretické. Centrální limitní věta (CLV) CLV se zabývá normálním rozdělením jako limitním rozdělením, k němuž se za určitých podmínek blíží řada jiných pravděpodobnostních rozdělení

Moivre - Laplaceova věta je posloupnost nezávislých náhodných veličin, které mají alternativní rozdělení A(π). Pak posloupnost náhodných veličin k náhodné veličině s rozdělením N(0,1). konverguje pro podmínka aproximace n  (1-  )  9

Praktický význam M-L věty : Pro dostatečně velké n lze binomické rozdělení Bi(n,π) se střední hodnotou E(X) = n  a rozptylem D(X) = n  (1-  ) aproximovat pomocí normálního rozdělení

Příklad: Pravděpodobnost, že výrobek bude vyžadovat opravu během záruky je 0,2. Jaká je pravděpodobnost, že z 800 prodaných kusů bude během záruky třeba opravit více než 170 kusů  = 0,2, n = 800 X.....Bi (800, 0,2) E(X) = n  = 160 D(X) = n  (1-  ) = 128 P(X >170) = 1 - P(X  170) = = 1 - P(U  0,8339) = 1 - 0,812 = 0,188

Lindebergova - Lévyho věta Náhodná veličina, která vznikne jako součet (nebo průměr) n vzájemně nezávislých n.v., které mají stejné rozdělení se stejnými středními hodnotami E(X i ) =  a konečnými rozptyly D(X i ), má pro dosti velké n přibližně normální rozdělení A) pro X = B) pro

Příklad. Počet hodin, který posluchači věnují během týdne studiu určitého předmětu je náhodná veličina se střední hodnotou E(X) =  = 2 hod. a směrodatnou odchylkou  = 1 hod. Jaká je pravděpodobnost, že 100 náhodně vybraných posluchačů věnuje předmětu v průměru 1,75 až 2,25 hod. týdně E(X i ) = µ = 2, = 1, n = 100 P(1,75  X  2,25) = = P(-2,5  U  2,5 ) =  (u = 2,5) -  (u = - 2,5) = =  (2,5) - [1 -  (2,5)] = 0,498758