MME51 Ekonomicko-matematické metody 5 Prof. RNDr. Jaroslav Ramík, CSc.

MME42 Úloha matematického programování f(x 1, x 2,...,x n )  MAX; (1) za podmínek g 1 (x 1, x 2,...,x n )  b 1 g 2 (x 1, x 2,...,x n )  b 2 ……………………..X(2) g m (x 1, x 2,...,x n )  b m (mohou chybět) x = (x 1, x 2,...,x n )  0 účelová funkce omezující podmínky podmínky nezápornosti

MME53 Lineární programování Úloha optimální alokace zdrojů c 1 x 1 + c 2 x c n x n  MAX; ú čelov á funkce za podm í nek a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n ≤ b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n ≤ b m - zdrojů a m1 x 1 + a m2 x a mn x n ≤ b m x 1  0, x 2  0,..., x n  0 n - aktivit

MME54 Lineární programování Základní úloha – standardní tvar c 1 x 1 + c 2 x c n x n  MAX; (1) ú čelov á funkce za podm í nek a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b (2) omezuj í c í podm í nky a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m ve tvaru rovností x 1  0, x 2  0,..., x n  0 (podmínky nezápornosti)

MME55 Př í klad: převedení na standardní tvar 6 x x 2  MAX; (6 x x x 3 +0 x 4 ) při omezen í ch 4 x x 2 ≤ 20 (4 x x x 3 +0 x 4 = 20) 2 x x 2 ≤ 22 (2 x x x 3 +1 x 4 = 22) x i  0 přídatné proměnné

MME56 Lineární programování – Vektorový tvar c T x  MAX; A x = b x  0 Základní pojmy LP: x = (x 1, x 2,..., x n ) splňuje (*)  přípustné řešení A = (a (1), a (2),..., a (n) ), matice ( m  n ) x 1 a (1) + x 2 a (2) x n a (n) = b počet kladných x i u lineárně nezávislých a (i)  m :  základní řešení počet kladných x i u lineárně nezávislých a (i) = m :  bázické řešení x * = (x 1 *, x 2 *,..., x n * ) splňuje (*) a maximalizuje c T x  optimální řešení (*)

MME57 Příklad 1: Klasicky :6 x x 2  MAX; Vektorově: [6, 3, 0, 0]  MAX; při omezeních 4 x x 2 + x 3 = 20 2 x x 2 + x 4 = 22 x i  0 původní omezení: 4 x x 2 ≤ 20 2 x x 2 ≤ 22 x i  0 cTcT x A b 0 x a (1) a (2) a (3) a (4) x

MME58 Základní věta lineárního programování Má-li úloha LP optimální řešení, je mezi optimálními řešeními i základní řešení. Důsledek Základní věty LP: Stačí se omezit na základní řešení! (je jich konečný počet  ) ● ●

MME59 Základní věta lineárního programování: Jestliže je X - množina všech přípustných řešení úlohy LP omezená, potom X je množina všech konvexních kombinací utvořených ze základních řešení. Geometrický význam: X je konvexním obalem všech bodů představujících základní řešení, tedy X je konvexním polyedrem, jehož vrcholy jsou základní řešení.

MME510 Konvexní polyedr

MME511 Konvexní kombinace bodů Konvexní kombinace utvořené ze základních řešení: λ 1 x (1) + λ 2 x (2) λ k x (k) = x přitom x (1), x (2),..., x (k) - základní řešení úlohy LP λ 1 + λ λ k = 1, λ j ≥ 0 pro všechna j =1,2,…,k Conv(x (1), x (2),...,x (k) ) – množina všech možných konvexních kombinací z bodů x (1), x (2),...,x (k

MME512 Konvexní kombinace bodů P = λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + λ 3 x 3

MME513 Základní věta lineárního programování … Příklad 1 – pokračování… z = 6 x x 2  MAX; při omezeních 4 x x 2 + x 3 = 20 2 x x 2 + x 4 = 22 x i  0

MME514 Základní věta lineárního programování … Příklad … = 6 možností základ. řešení, 4 jsou bázická: x (1) = x (2) =x (3) =x (4) = c T x (1) = 30, c T x (2) = 30, c T x (3) = 33/2, c T x (1) = 0 4 x x 2 + x 3 = 20 z = c T x = 6 x x 2 2 x x 2 + x 4 = 22 x i  0

MME515 Simplexová metoda postupně generuje základní řešení, přitom „zlepšuje“ hodnotu účelové funkce IDEA: x opt růst účelové funkce: z = x 2 x4x4 x3x3 x2x2 x1x1 z = 0.x 1 +1.x 2  MAX; při omezeníchx = (x 1,x 2 )  D x 0 =(x 0 1, x 0 2 ) D x1x1 x2x2

MME516 x 0 =(x 0 1, x 0 2 ) = (6,67, 0,33) x 1 =(7,78, 0,54) x2x2 x3x3 x4x4 x opt z = x 2  MAX; při omezeníchx=(x 1,x 2 )  D D 3,53 8,29 Příklad 2:

MME517 při omezeních Optimální řešení: x OPT = (x 1,x 2 ) = (3,53, (9,29), z* = 9,29 Příklad 2:

Simplex method MME518

MME519 Algoritmus simplexové metody: Z K Vyhledání počátečního základního řešení Je řešení optimální? Určení způsobu zlepšení Transformace řešení Ano Ne

MME520 Typy řešení úlohy LP: x2x2 x1x1 x opt a) jediné optimální řešení x1x1 x2x2 x opt x1x1 x2x2 c) neomezená hodnota účelové funkce d) neexistuje přípustné řešení x2x2 x1x1 b) nekonečně mnoho optimálních řešení

MME521 Degenerace Při přechodu na nové základní řešení v Simplex. metodě se nezlepšuje hodnota účelové funkce! Důsledek: Simplexová metoda nemusí vždy nalézt optimální řešení! U praktických úloh se degenerace většinou nevyskytuje díky zaokrouhlovacím chybám!

MME522 Degenerace Při přechodu na nové základní řešení v Simplex. metodě se nezlepšuje hodnota účelové funkce! růst účelové funkce: z = x 3 X1X1 X2X2 X3X3 X4X4 X5X5 X0X0 Odstranění degenerace: přidat k pravým stranám: ε, ε 2,…

MME523 Technika pomocné báze c T x - K e T w  MAX; K – „velké“ číslo (např ) při omezeních A x + w = b x  0, w  0 e T = (1,1,...,1) x = (x 1, x 2,…, x n ) ≥ 0 - vektor proměnných w = (w 1, w 2,…, w m ) - vektor umělých proměnných b = (b 1, b 2,…, b m ) ≥ 0 - vektor „pravých stran“ Výchozí základní řešení: x 0 = 0, w 0 = b, z = - K e T b

MME524 Technika pomocné báze … Příklad 3: -2 x x 2  MAX; při omezeních -3 x x 2 = 6 -1,5 x x 2  7,5 x x 2  1 x i  0

MME525 Technika pomocné báze … Příklad 3: -2 x x (w 1 + w 2 + w 3 )  MAX; při omezeních -3 x x 2 + w 1 = 6 -1,5 x x 2 + w 2 = 7,5 x x 2 + w 3 = 1 x i, w j  0 Výchozí bázické řešení : x 0 = (0 ; 0 ; 6 ; 7,5 ; 1) Optimální bázické řešení : x * = (1 ; 3 ; 0 ; 0 ; 9)

MME526 Dvoufázová simplexová metoda 1. fáze: - e T w  MAX; e T = (1,1,…,1) při omezeních A x + w = b x  0, w  0 - výchozí základní řešení: x 0 = 0, w 0 = b Opt. řešení 1. fáze je výchozí bázické řešení úlohy 2. fáze ( w = 0, tj. MAX = 0 ) 2. fáze: c T x  MAX; při omezeních A x = b x  0 získá se optimální bázické řešení

MME527 Příklad 4 : 3 x x 2 + x 3  MAX; při omezeních 2 x 1 +3 x x 3  6 4 x x 3  10 x i  0 Dvoufázová simplexová metoda…

MME528 Příklad 4: Dvoufázová simplexová metoda 1. fáze: w 1 + w 2  MIN; při omezeních 2 x 1 +3 x x 3 + w 1 = 6 4 x x 3 + w 2 = 10 x i,, w i  0 Optimální báz. řeš. 1.fáze = výchozí báz. ř. 2.fáze: (x 1, x 2, x 3, w 1,w 2 ) = (2,4; 0; 0,2; 0; 0)

MME529 Příklad 4: Dvoufázová simplexová metoda… 2. fáze: 3 x x 2 + x 3  MAX; při omezeních 2 x 1 +3 x x 3 = 6 4 x x 3 = 10 x i,  0 Optimální bázické řešení (2.fáze): (x 1, x 2, x 3 ) = (2,5; 0,3; 0)

MME530 Postoptimalizační analýza Jak se mění optimální řešení při změnách vstupních parametrů ? c, b, A c±  c, b ±  b, A ±  A Primární - duální algoritmus Vhodné použití Excelu!

MME531 George B. Danzig (* )

MME532 T. C. Koopmans, G. B. Dantzig, L. V. Kantorovitch, 1975

MME533 Ilan Adler, UCLA: How Good is the Simplex Method, EURO 2006, Reykjavik

MME534

MME535