POZNÁMKA: Pokud chcete změnit obrázek na tomto snímku, vyberte obrázek a odstraňte ho. Potom klikněte na ikonu Obrázek v zástupném textu a vložte vlastní obrázek. Martina Litschmannová VYBRANÁ ROZDĚLENÍ SPOJITÉ NÁH. VELIČINY

Opakování – hustota pravděpodobnosti f(x) f(x) xba plocha=1

Vztah mezi pravděpodobností, hustotou pravděpodobností a distribuční f-cí

Vybraná rozdělení spojité náhodné veličiny  Rovnoměrné rozdělení  Exponenciální rozdělení  Weibullovo rozdělení  Normální rozdělení  Normované normální rozdělení

Rovnoměrné spojité rozdělení

f(x) x ba

Rentgenové vyšetření pacienta trvá 10 minut. V čekárně v současné chvíli není žádný pacient, 1 pacient je ve vyšetřovně. Vypočtěte pravděpodobnost, že pacient, který právě přišel do čekárny, bude na vyšetření čekat déle než 7 minut. 1

X … délka časových intervalů mezi událostmi v Poissonově procesu Příklady: doba do remise onemocnění (nejjednodušší modelové rozdělení pro délku doby do výskytu sledované události), doba do poruchy zařízení, doba mezi 3. a 4. poruchou zařízení, …

X … délka časových intervalů mezi událostmi v Poissonově procesu

Období dětských nemocí Období stabilního života Období stárnutí

Exponenciální rozdělení X … délka časových intervalů mezi událostmi v Poissonově procesu

Doba přežití pacienta má exponenciální rozdělení se střední hodnotou 48 měsíců. S jakou pravděpodobností pacient bude žít déle než 4 roky (resp. déle než 6 let)? Poznámka: Použití exponenciálního rozdělení při řešení klinických experimentů je z důvodu konstantní a tudíž neflexibilní rizikové funkce omezené. 2

Weibullovo rozdělení X … délka časových intervalů mezi událostmi v Poissonově procesu

Weibullovo rozdělení X … délka časových intervalů mezi událostmi v Poissonově procesu

Weibullovo rozdělení X … délka časových intervalů mezi událostmi v Poissonově procesu

Weibullovo rozdělení X … délka časových intervalů mezi událostmi v Poissonově procesu

Weibullovo rozdělení X … délka časových intervalů mezi událostmi v Poissonově procesu

Doba přežití (měsíce) pacienta má Weibulovo rozdělení s lineárně rostoucí rizikovou funkcí a parametrem měřítka 10. a)V jakém rozmezí očekáváte dobu přežití pacientů? (Posuďte na základě grafu hustoty pravděpodobnosti.) b)S jakou pravděpodobností bude doba přežití pacienta delší než 1 rok? c)Jakou dobu přežije alespoň polovina pacientů? d)Jaká je hodnota rizikové funkce v 10 měsících? Jaká je pravděpodobnost, že pacient, který přežil 10 měsíců, zemře v následujících 14 dnech? 3

střední hodnota rozptyl

Normované (standardizované) normální rozdělení

Standardizace normálního rozdělení

4

k 10,682 20,954 30,998 Srovnejte s představou, kterou jsme měli na základě Čebyševovy nerovnosti!

k 10,682 20,954 30,998 k 1>0>0 2>0,75 3>0,89

Nechť náhodná veličina modelující IQ (inteligenční kvocient) evropské populace má normální rozdělení se střední hodnotou 100 bodů a směrodatnou odchylkou 15 bodů. a)V jakém rozmezí očekáváte IQ evropské populace? (Posuďte na základě grafu hustoty pravděpodobnosti.) b)Kolik procent Evropanů má IQ v rozmezí bodů? c)Kolik procent Evropanů má IQ vyšší než 115 bodů? d)Jakou hodnotu IQ překračuje maximálně 5% evropské populace? Video: 5

Nástroje pro grafické ověření normality  Normalita je v drtivé většině analýz a testů hlavním předpokladem o datech. (Jde o předpoklad, že data pocházejí z procesu s normálním rozdělením.)  Q-Q graf  Na ose x jsou vyneseny teoretické kvantily normálního rozdělení, na ose y jsou výběrové kvantily konstruované přímo z dat.  Jsou-li analyzovaná data realizacemi NV s normálním rozdělením, má graf tvar přímky (podrobněji ve skriptech, str. 167)

Nástroje pro grafické ověření normality  Normalita je v drtivé většině analýz a testů hlavním předpokladem o datech. (Jde o předpoklad, že data pocházejí z procesu s normálním rozdělením.)  Odhad hustoty

POZNÁMKA: Pokud chcete změnit obrázek na tomto snímku, vyberte obrázek a odstraňte ho. Potom klikněte na ikonu Obrázek v zástupném textu a vložte vlastní obrázek. DĚKUJI ZA POZORNOST!