Aktivní filtry Filtr je obecně selektivní obvod, který propouští určité frekvenční pásmo, zatímco ostatní frekvenční pásma potlačuje. Filtry je možno realizovat sítí pasivních součástek, tj. rezistorů, kapacitorů a induktorů. Použití pasivních filtrů je běžné všude tam, kde nejsou příliš vysoké nároky na přesnost aproximace přenosové funkce filtru. V ostatních případech dáváme přednost aktivním filtrům, které obsahují jeden nebo několik zesilovačů. Jednou z výhod aktivních filtrů je možnost vyloučení induktorů při návrhu a realizaci přenosové funkce – obvykle stačí zapojovat rezistory a kapacitory. Induktor je totiž obvykle charakterizován velkými rozměry, relativně velkou cenou vzhledem ke složitosti výroby, ale zejména při použití feromagnetického materiálu se vždy jedná o nelineární prvek, který může negativně ovlivňovat přesnost aproximace přenosové funkce celého filtru. Dalšími výhodami aktivních filtrů je, že při vhodné konstrukci si vystačíme i pro nízké frekvence s malými kapacitami a dále lze dosáhnout velkých vstupních a malých výstupních impedancí.

Podle účelu, ke kterému má filtr sloužit, rozlišujeme celkem čtyři základní typy: 1.filtr typu dolní propust (DP, low-pass, propouští všechny kmitočty menší než horní mezní kmitočet) 2.filtr typu horní propust (HP, high-pass, propouští všechny kmitočty větší než dolní mezní kmitočet) 3.filtr typu pásmová propust (PP, band-pass, propouští jen dané pásmo kmitočtů) 4.filtr typu pásmová zádrž (PZ, notch, latch, band-stop, zadržuje dané pásmo kmitočtů) Ideální frekvenční charakteristiky filtrů podle bodu 1. až 4. v netypických lineárních souřadnicích jsou znázorněny na následujícím obrázku.

Hranice mezi propustným pásmem a nepropustným pásmem nastává při určité frekvenci f c, která se nazývá frekvence zlomu. Při této frekvenci může dosáhnout amplitudová frekvenční charakteristika, aproximovaná v logaritmických souřadnicích přímkami své největší chyby proti skutečné hodnotě. Reálná frekvenční charakteristika se od ideální liší. Příklad je znázorněn (pro DP) na následujícím obrázku.

Hranice pásma propustnosti a pásma útlumu nejsou přesně rozlišeny. Za pásmo propustnosti budeme považovat frekvence, kde neklesne pod zvolenou hodnotu (obvykle se jedná o hodnotu menší o 3 dB proti hodnotě v propustném pásmu). Za pásmo útlumu budeme považovat frekvence, pro které platí, že klesne pod zvolenou hodnotu. Rychlost útlumu je určena řádem filtru n (n = 3 ~ filtr 3. řádu, n = 6 ~ filtr 6. řádu). Čím větší řád filtru, tím rychleji dochází k útlumu. Na druhou stranu je nutné upozornit na to, že s řádem filtru roste i jeho složitost, což znamená, že v praxi jsme omezeni asi na řád n ≤ 10.

Druhy filtrů: 1. Butterworthovy filtry Amplitudová charakteristika Butterworthových filtrů má velmi plochý průběh v propustném pásmu, který začíná klesat teprve v blízkosti frekvence zlomu. Rozdíl mezi ideální a aproximovanou amplitudovou frekvenční charakteristikou je na frekvenci zlomu (f = f c ) 3 dB a nezáleží na řádu filtru. Normovaným Butterworthovým polynomem n-tého řádu rozumíme polynom, jehož komplexně sdružené kořeny leží v levé polorovině, přitom pro liché n je jeden kořen vždy reálný a roven -1, dalších n-1 kořenů jsou komplexně sdružené kořeny se zápornou reálnou částí. Pro sudá n má polynom n/2 dvojic komplexně sdružených kořenů se zápornou reálnou částí. V následující tabulce jsou uvedeny normované Butterworthovy polynomy. n... řád filtrukoeficienty normovaného Butterworthova polynomu B N (p) 1(p + 1) 2(p p + 1) 3(p 2 + p + 1)(p + 1) 4(p p + 1)(p p + 1) 5(p p + 1)(p p + 1)(p + 1) 6(p p + 1)(p p + 1)(p p + 1) 7(p p + 1)(p p + 1)(p p + 1)(p + 1) 8(p p + 1)(p p + 1)(p p + 1)(p p + 1) 9(p p + 1)(p 2 + p + 1)(p p + 1)(p p + 1)(p + 1) 10(p p + 1)(p p + 1)(p p + 1)(p p + 1) (p p + 1)

Obecně lze přenos např. systému 2. řádu napsat ve tvaru : [1]... je frekvence zlomu... je poměrné tlumení I v případě Butterworthových filtrů současně platí, že řešením charakteristické rovnice jsou dva komplexně sdružené kořeny ležící v levé polorovině. Butterworthův filtr však lze obecně popsat přenosem: [2][2] kde je Butterworthův polynom n-tého řádu. Jestliže dosadíme, bude pro absolutní velikost v případě Butterworthova filtru platit: [3][3]

Ze vztahu (3) vyplývá, že absolutní hodnota přenosu je dána vztahem: [4][4] kde n je řád polynomu. Z výrazu (4) vyplývá velmi důležitá vlastnost Butterworthových filtrů: platí totiž, že pro poklesne amplituda na výstupu filtru na hodnotu: [5][5] tj. na hodnotu o 3 dB nižší oproti propustnému pásmu.

Fázová frekvenční charakteristika vykazuje v propustném pásmu plynulou změnu fáze s frekvencí, se sklonem daným řádem filtru. Pro posouzení těchto vlastností se používá pojmu skupinové zpoždění, což je derivace fáze podle frekvence. U tohoto typu filtru nemá v propustném pásmu skupinové zpoždění zvlnění

Přechodová charakteristika se vyznačuje rychlým čelem impulsu a mírným překmitem. Butterworthův filtr je nejvíce používaný filtr v regulační technice.

V předcházející tabulce jsou uvedeny normované Butterworthovy polynomy pro filtr 1. až 10. řádu. Koeficienty jednotlivých polynomů lze určit pomocí vztahů (6) a (7). kde k … je pořadí polynomu [6][6] [7][7] Pro příklad určeme ze vztahu (7) koeficienty pro n = 6: Pro normovaný filtr, kdy uvažujeme, že ω 0 = 1 rad/s, je možné přenosovou funkci přepsat ve dvou tvarech. Pro n sudá (2, 4, 6, …) Pro n lichá (1, 3, 5, …)

n... řád filtrukoeficienty normovaného Butterworthova polynomu B N (p) 1(p + 1) 2(p p + 1) 3(p 2 + p + 1)(p + 1) 4(p p + 1)(p p + 1) 5(p p + 1)(p p + 1)(p + 1) 6(p p + 1)(p p + 1)(p p + 1) 7(p p + 1)(p p + 1)(p p + 1)(p + 1) 8(p p + 1)(p p + 1)(p p + 1)(p p + 1) 9(p p + 1)(p 2 + p + 1)(p p + 1)(p p + 1)(p + 1) 10(p p + 1)(p p + 1)(p p + 1)(p p + 1) (p p + 1)

2. Besselovy filtry Besselovy filtry (nazývané též Bessel-Thomsonovy nebo Thomsonovy filtry) jsou navrhovány tak, aby fázová charakteristika byla v pásmu okolo kritické frekvence maximálně lineární. Amplitudová charakteristika v nepropustném pásmu je velmi plochá. Na následujícím obrázku jsou amplitudové frekvenční charakteristiky Besselových filtrů sudého řádu 2 ÷ 10. Amplitudová charakteristika má neostrý zlom a oproti filtrům ostatních druhů je její přechodové pásmo nejdelší.

Fázová část frekvenční charakteristiky je ve své přechodné části plochá nejvíce ze všech popisovaných filtrů.

Přechodová charakteristika má malý překmit, menší než 1% amplitudy vstupního skoku. Besselovy filtry se používají v televizní technice, při zpracování digitálně syntetizovaného signálu a též v měřicí technice. Použití nacházejí všude tam, kde je na závadu překmit přechodové charakteristiky.

n... řád filtrukoeficienty normovaného Besselova polynomu B L (p) 1(p + 1) 2(p p + 1) 3(p 2 + 1,4912p )(9416p + 1) 4(p p )(p p ) 5(p p )(p p )(0.9264p + 1) 6(p p )(p p )(p p ) 7(p p )(p p )(p p ) (0.9195p + 1) 8(p p )(p p )(p p ) (p p ) 9(p p )(p p )(p p ) (p p )(0.9155p + 1) 10(p p )(p p )(p p ) (p p )(p p )

3. Eliptické filtry Eliptické, též Cauerovy nebo Cauer-Čebyševovy filtry, byly navrženy Cauerem v roce Tyto filtry se vyznačují maximální strmostí zlomové části amplitudové charakteristiky, čemuž odpovídá krátké přechodové pásmo.

Eliptické filtry nacházejí použití všude tam, kde se požaduje velmi strmý pokles amplitudové frekvenční charakteristiky na zlomové frekvenci. Eliptický filtr představuje optimální řešení pro tento požadavek. Eliptické filtry najdeme v televizní, měřicí a komunikační technice. Vstupními parametry návrhu eliptického filtru jsou n, ω c, R p a R s, tedy řád, zlomová frekvence, maximální zvlnění v propustném směru a minimální útlum v nepropustném pásmu.

Příklad návrhu a realizace Butterworthova filtru Návrh Butterworthova filtru s použitím operačních zesilovačů a s využitím normovaných polynomů B N (p) je možno řešit různým způsobem. Především je možné dokázat, že lze s jedním operačním zesilovačem a sítí RC realizovat filtr libovolného řádu. Tímto způsobem lze redukovat na nejmenší možnou míru počet aktivních součástek obvodu, na druhé straně však vytvořené obvody splňují požadované vlastnosti pouze s velmi přesnými hodnotami součástek. Tato citlivost roste s rostoucím řádem filtru. Příklad zapojení aktivní dolní propusti n-tého řádu s jedním operačním zesilovačem je možné nalézt např. v literatuře [3].

Jiný způsob návrhu dolních nebo horních propustí využívá operačních zesilovačů jako impedančních převodníků, tj. zesilovačů s kladným zesílením s vysokou vstupní impedancí a minimální výstupní impedancí. V tomto případě je možné použít zapojení pro první řád podle následujícího obrázku. Impedance Z 1 a Z 2 jsou tvořeny prvky RC. V případě aktivního filtru typu dolní propust bude impedance Z 1 nahrazena rezistorem a impedance Z 2 kapacitorem.

Zapojení s jedním operačním zesilovačem pro druhý řád je na následujícím obrázku. Tomuto zapojení se běžně říká Salen-Key filtr. Impedance Z 1 až Z 4 jsou tvořeny stejně jako v případě filtru 1. řádu prvky RC. V případě aktivního filtru typu dolní propust budou impedance Z 1 a Z 2 nahrazeny rezistory, zatímco impedance Z 3 a Z 4 budou nahrazeny kapacitory. Při realizaci filtru typu horní propust budou zaměněny rezistory a kapacitory.

Chceme-li realizovat filtr vyššího řádu, pak pro liché n se zapojení skládá z kaskádního spojení (n-1)/2 obvodů druhého řádu a jednoho obvodu prvního řádu. Pro sudé n se pak výsledné schéma skládá z n/2 obvodů druhého řádu. Určitá nevýhoda tohoto způsobu návrhu je v tom, že pro zaručení přenosové funkce B N (p) vycházejí obvykle rozdílné hodnoty kapacit nebo odporů pro jednotlivá zapojení. V následujícím odvozeních bude použit vztah (1), který představuje typickou přenosovou funkci obecného systému druhého řádu: V obou popisovaných zapojeních je operační zesilovač zapojen jako neinvertující zesilovač, jehož zesílení je v pásmu provozovaných frekvencí dáno vztahem: [8][8] S využitím vztahu (8) platí pro zapojení druhého řádu: [9][9]

Pro napětí U x platí: [10] Napětí na neinvertujícím vstupu je jednak dáno vztahem (9), ale současně můžeme psát: [11] Dosadíme-li za U x ze vztahu (10) do vztahu (11) a současně porovnáme vztahy (9) a (11) dostaneme po úpravě: [12] Další úpravou dostaneme přenos ve tvaru : [13]

Chceme-li nyní realizovat např. dolní propust druhého řádu typu Butterworth, definujeme: [14] a po úpravě dostaneme: [15] Porovnáme-li nyní vztah (15) se vztahem (1) určíme: [16] [17] Na základě vztahů (16) a (17) lze velmi jednoduše navrhovat požadovaný filtr tak, že určíme podle (16) prvky R, C a hledáme takové zesílení A U0 pro každý operační zesilovač, aby byl navržen koeficient tlumení podle tabulky normovaných Butterworthových polynomů.

Návrh pásmových propustí pomocí filtrů polynomiálního typu Realizace pásmové propusti podle principu na následujícím obrázku má velkou výhodu v univerzálnosti použití. Volbou řádu obou propustí můžeme volit sklony charakteristik nezávisle na sobě. Frekvence f d a f h je možno libovolně měnit a vždy jsou vzájemně nezávislé, je-li splněna podmínka. Vlastní návrh pásmové propusti je velmi jednoduchý a lze použít stejný postup jako v případech dolní či horní propusti, které byly popsány výše.

Návrh pásmových zádrží pomocí filtrů polynomiálního typu U tohoto návrhu, podobně jako v předchozím případě, lze frekvence f d a f h libovolně bez interakce měnit. Rovněž sklony frekvenčních charakteristik v okolí pásma zadržených frekvencí lze navrhovat nezávisle na sobě. Vlastnosti zapojení dolní a horní propusti však v tomto případě nelze provést kaskádně. Obě propusti se zapojují společně svými vstupy a jejich výstupy se přivádějí na součtový zesilovač podle následujícího obrázku. Návrh této pásmové zádrže vychází opět z výše popsaného způsobu návrhu dolní a horní propusti. V tomto případě je výstupní napětí dáno vztahem : [18]

Butterworthův filtr typu horní propust 3. řádu Navrhněte Butterworthův filtr typu horní propust třetího řádu se zlomovou frekvencí f c = 800Hz. Máte k dispozici kapacitory 1nF, 3,3nF, 10nF, 33nF nebo 100nF. Vyberte vhodný kapacitor z nabízených tak, abyste vypočtený odpor mohli snadno nastavit pomocí odporové dekády 1kΩ až 999kΩ. Hodnoty rezistorů R 1 = R 1 ‘ = 10kΩ nemáte možnost měnit. Filtr bude sestaven ze zapojení filtru 1. řádu a ze zapojení „ Salen-Key “. Výsledné zapojení je znázorněno na následujícím obrázku.

B N (p) = (p + 1)(p 2 + p + 1) První závorku bude realizovat OZ1 a druhou závorku OZ2 A U0 = 3 – 2k 1 = 3 – 1 = 2 A U0 ’ = 3 – 2k 1 = 3 – 1 = 2 A U0 = A U0 ’ = = = 2 Ze zadání známe R 1 = R 1 ’ = 10kΩ a snadno dopočítáme R 2 = R 1 (A U0 – 1) = R 1 (2 – 1) = 10kΩ R 2 ‘ = R 1 ‘ (A U0 ‘ – 1) = R 1 ‘ (2 – 1) = 10kΩ Frekvence zlomu je dána vztahem C=3,3nFC=10nFC=33nFC=100nF R [kΩ]60,28619,8946,0291,989 Volíme jednu součástku a druhou dopočítáme. Z praktického hlediska je vhodné volit velikost kapacitorů, neboť se obvykle jedná o rozměrnější součástku, která by měla být co do hodnoty v řadě vyráběných kapacitorů. Ze zadání plyne, že máme volit hodnotu kapacitoru C=1nF, 3,3nF, 10nF, 33nF nebo 100nF. Např. pro C=33nF je:

Butterworthův filtr typu horní propust 3. řádu Navrhněte Butterworthův filtr typu dolní propust čtvrtého řádu se zlomovou frekvencí f c = 1kHz. Máte k dispozici kapacitory 1nF, 3,3nF, 10nF, 33nF nebo 100nF. Vyberte vhodný kapacitor z nabízených tak, abyste vypočtený odpor mohli snadno nastavit pomocí odporové dekády 1kΩ až 999kΩ. Hodnoty rezistorů R 1 = R 1 ‘ = 10kΩ nemáte možnost měnit. Filtr bude sestaven ze dvou zapojení „ Salen-Key “. Výsledné zapojení je znázorněno na následujícím obrázku.

B N (p) = (p 2 + 0,7654p + 1)(p 2 + 1,8478p + 1) První závorku bude realizovat OZ1 a druhou závorku OZ2 A U0 = 3 – 2k 1 = 3 – 0,7654 = 2,2346 A U0 ’ = 3 – 2k 1 = 3 – 1,8478 = 1,1522 A U0 = = 2,2346 Ze zadání známe R 1 = R 1 ’ = 10kΩ a snadno dopočítáme Frekvence zlomu je dána vztahem Volíme jednu součástku a druhou dopočítáme. Z praktického hlediska je vhodné volit velikost kapacitorů, neboť se obvykle jedná o rozměrnější součástku, která by měla být co do hodnoty v řadě vyráběných kapacitorů. Ze zadání plyne, že máme volit hodnotu kapacitoru C=1nF, 3,3nF, 10nF, 33nF nebo 100nF. Např. pro C=10nF je: A U0 ’ = = 1,1522 C=1nFC=3,3nFC=10nFC=33nFC=100nF R [kΩ]159,15548,22915,9154,8231,592

Filtry se spínanými kapacitory V předchozích části přednášky jsme poznali jak lze vytvořit aktivní filtry z diskrétních pasivních a aktivních prvků. U těchto filtrů lze velmi složitým způsobem měnit jejich parametry, především pak přeladění jejich kmitočtových vlastností. Nabízí se zde použití filtrů, kde se tato změna provádí velmi elegantním způsobem. Rezistory v nich jsou nahrazeny periodicky spínanými kapacitory, což dovoluje změnu jejich ekvivalentních odporů a následně i přeladění filtru úpravou přepínacího kmitočtu. Proto jsou tyto filtry v literatuře označovány jako SCF (Switched Capacitors Filters). Princip filtru se spínaným kapacitorem

Označíme-li časový interval t 1, jako interval po který je sepnut spínač S 1 a t 2 jako interval, po který je sepnut spínač S 2, bude pro periodu T CLK platit: [19] kde T CLK je perioda vzorkování a f CLK je vzorkovací frekvence. Náboj kapacitoru C 1 je v okamžicích přepnutí dán vztahy: [20] Změna náboje na kondenzátoru za jednu vzorkovací periodu je tedy: [21] Změna náboje v časovém intervalu je proto dána střední hodnotou proudu v tomto časovém intervalu. Z tohoto a s využitím Ohmova zákona můžeme psát: [22]

Ze vztahu (22) plyne, že pomocí vzorkování lze realizovat časovou konstantu, ve které figuruje přídavný kapacitor C 1 a odpor je nahrazen fiktivním odporem. Časová konstanta obvodu je tedy: [23] Časová konstanta podle vztahu (23) nezávisí na skutečném odporu, ale pouze na periodě vzorkování T CLK a na poměru dvou kapacit. Přenos obvodu je dán vztahem: [24] Pokud zaručíme konstantní poměr, bude zlomová frekvence řízena pouze frekvencí vzorkovací, přičemž se nemění tvar charakteristiky filtru. Toto je základní výhoda filtrů se spínaným kapacitorem. Další výhodou je, že mezní kmitočet je dán poměrem kapacit, což je příznivé z hlediska vlivu teploty na parametry filtru.

Aliasing Aliasing, neboli překrývání ve frekvenčním spektru vzniká v důsledku přepínání kapacitoru, které je současně vzorkováním. Běžná dolní propust je pásmovou propustí pro frekvence od 0Hz do f C. Filtr se spínaným kapacitorem je však navíc propustí frekvence od f CLK - f C do f CLK + f C, od 2f CLK - f C do 2f CLK + f C, …, přeložené do propustného pásma filtru. Aliasingu se zamezuje vložením klasického filtru za filtr se spínaným kapacitorem. Filtr se spínaným kapacitorem tedy zajistí požadovaný řád a typ filtru (velkou strmost, malou chybu) a klasický (spojitý) dolnopropustný filtr zajistí, aby ve spektru signálu vystupujícího z filtru byly frekvence vyšší než f CLK /2 dostatečně potlačeny. Nevýhodou je, že spojitý filtr není snadné plynule přelaďovat elektrickým signálem. Pevným spojitým filtrem se omezíme jen na určité pásmo, ve kterém lze celý filtr přelaďovat. Stabilita filtru je závislá na vhodně zvolené vzorkovací frekvenci vzhledem k požadované frekvenci zlomu. Pro stabilitu je nutno zaručit, aby vzorkovací frekvence f CLK byla podle Shannonovy věty f CLK >> 2f C, kde f C je požadovaná frekvence zlomu. Poměr f CLK /2f C bývá pro běžné aplikace volen v pásmu 50:1, v přesnějších aplikacích až 100:1.

MAX291 (Butterworthova aproximace), MAX292 (Besselova aproximace) a MAX293 (eliptická aproximace) – filtry 8. řádu Příkladem filtru se spínaným kapacitorem je např. řada integrovaných obvodů MAX 29x. Základní vlastnosti této řady jsou uvedeny v následující tabulce: OznačeníAproximaceŘád MAX 291Butterworthova100:1825 kHz MAX 292Besselova100:1825 kHz MAX 293Eliptická100:1825 kHz MAX 294Eliptická100:1825 kHz MAX 295Butterworthova50:1850kHz MAX 296Besselova50:1850kHz MAX 297Eliptická50:1850kHz

Parametrminmax Napájecí napětí - symetrické2.375V5.500V Napájecí napětí - nesymetrické V V Napájecí proud 22 mA Rozkmit vstupního napětí 4V Rozkmit výstupního napětí 4V Příkon 760 mW PinNázevPopis funkce 1CLKVstup hodinového signálu 2U-Záporné napájecí napětí 3OP OUTVýstup volného OZ 4OP INVstup volného OZ 5OUTVýstup filtru 6GNDAnalogová zem 7U+Kladné napájecí napětí 8INVstup filtru Filtry umožňují připojit k vnitřnímu oscilátoru MAX 29x externí kapacitor. Tento externí kapacitor se připojuje místo vstupního hodinového signálu f CLK mezi svorku vstup CLK a svorku GND. Frekvence generovaného hodinového signálu se vypočte takto: [25] Pozn.: Hodnota kapacity se zadává v pF (viz vztah 25) a výsledná hodnota frekvence je v kHz. Opět je nutné si uvědomit, že takto jsme spočítali pouze vstupní hodinový kmitočet f CLK a že poměr mezi f CLK /f C je opět 100:1.

Literatura: 1.Hlinovský M., Honců J., Němeček P., Vysoký O.: ELEKTRONICKÉ SYSTÉMY - Návody ke cvičením, skriptum ČVUT FEL, Praha Punčochář J.: OPERAČNÍ ZESILOVAČE v elektronice, BEN – technická literatura, Praha Vysoký, O.: Elektronické systémy II, skriptum ČVUT, Praha 2003