Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/ Operační výzkum Lineární programování 1. Matematické modelování. Úloha lineárního programování.

OPERAČNÍ VÝZKUM LINEÁRNÍ OPTIMALIZACENELINEÁRNÍ OPTIMALIZACE LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ (jednokriteriální) VÍCEKRITERIÁLNÍ OPTIMALIZACE TEORIE HER TEORIE GRAFŮ A SÍTÍ Schéma zobrazuje jednotlivé podobory operačního výzkumu:

OPERAČNÍ VÝZKUM – souhrn metod, jimiž řešíme rozhodovací situace. Řešené problémy mají zpravidla více možných řešení a mezi nimi se hledá to řešení, které nejlépe vede k zadanému cíli = OPTIMÁLNÍ ŘEŠENÍ. Fáze řešení problému: 1. Analýza problému z ekonomického hlediska, vytváří se EKONOMICKÝ MODEL; 2. Sestaví se odpovídající MATEMATICKÝ MODEL; 3. Řeší se matematický model, hledají se konkrétní číselná ŘEŠENÍ; 4. INTERPRETACE výsledků řešení; 5. REALIZACE řešení.

ad 1)Výsledkem rozboru ekonomické reality bývá kvalitativní a kvantitativní popis situace (slovní zadání úlohy). Problémy studujeme na zjednodušených modelech. Model je zjednodušeným obrazem skutečnosti, zobrazuje pouze ty stránky skutečnosti, které jsou z hlediska studovaného jevu významné. EKONOMICKÝ MODEL obsahuje: 1.CÍL (kritérium) – jasně vymezen (např. maximalizace zisku, minimalizace nákladů, …); 2.PROCESY, které probíhají při dané rozhodovací situaci; 3.ČINITELE ovlivňující daný proces a popis vztahů mezi procesy a činiteli.

Př.:Podnik vyrábí 3 druhy výrobků V 1, V 2 a V 3. Na výrobu 1 výrobku V 1 spotřebuje 15 kg suroviny S, 3 kWh energie E a výroba trvá 1 h strojového času T. Na 1 výrobek V 2 … 20 kg S, 4 kWh E a 0,5 h T. Na 1 výrobek V 3 … 40 kg S, 7 kWh E a 3 h T. Prodejem 1 výrobku V 1 má podnik zisk 700 Kč, u V 2 … 500 Kč a u V 3 … 1300 Kč. Podnik má k dispozici kg S, kWh E a 1000 h T. Při jakém plánu výroby bude zisk podniku maximální?

Ekonomickým modelem je slovní zadání, které se však často uvádí ve formě tabulky. ovlivňující ČINITELÉ CÍL (kritérium) Číselné charakteristiky PROCESU VÝROBY V 1 Ekonomický model Výrobky Disponibilní množství V1V1 V2V2 V3V3 Surovina [kg] Energie [kWh] Str. čas [h]10, Zisk [Kč] max.

ad 2)Abychom mohli daný ekonomický model řešit, musíme vyjádřit podmínky i cíl procesu pomocí matematických prostředků (proměnné, funkce, rovnice, nerovnice, …) → MATEMATICKÝ MODEL. Řešením tohoto modelu dostáváme odpovídající řešení. Jsou-li funkce, rovnice a nerovnice použité v daném matematickém modelu pouze lineární, jde o úlohu LINEÁRNÍHO PROGRAMOVÁNÍ. Př.:V podniku se provádějí 3 činnosti – výroba výrobků V 1, V 2 a V 3 → 3 PROMĚNNÉ: x 1 … počet vyrobených výrobků V 1, x 2 … počet vyrobených výrobků V 2, x 3 … počet vyrobených výrobků V 3.

Matematické vyjádření omezujících podmínek: Nelze vyrábět záporné množství výrobků → x 1  0; x 2  0; x 3  0 PODMÍNKY NEZÁPORNOSTI Při výrobě 1 výrobku V 1 spotřebujeme 15 kg suroviny S. Při výrobě x 1 těchto výrobků je spotřeba 15x 1 kg suroviny S. Analogicky i pro V 2 a V 3. Spotřeba suroviny S celkem je 15x 1 +20x 2 +40x 3 kg. Celková spotřeba nesmí přesáhnout disponibilní množství → S: 15x x x 3  Analogicky pro energii E a str. čas T: E: 3x 1 + 4x 2 + 7x 3  S: x 1 +0,5x 2 + 3x 3  VLASTNÍ OMEZUJÍCÍ PODMÍNKY

Při výrobě x 1 výrobků V 1, x 2 výrobků V 2 a x 3 výrobků V 3 se dosáhne zisku z= 700x x x 3 ÚČELOVÁ FUNKCE Požaduje se maximalizace zisku, tedy z= 700x x x 3 → max z = 700x x x 3 → max, 15x x x 3  , 3x 1 + 4x 2 + 7x 3  4 000, x 1 +0,5x 2 + 3x 3  1 000, x 1  0, x 2  0, x 3  0. Shrnutí:

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Definice: Soustavou m lineárních rovnic o n neznámých rozumíme systém rovnic kde A je matice soustavy, je vektor neznámých a je vektor absolutních členů. (maticový zápis) (*) Matice je tzv. rozšířená matice soustavy.

Podmínky řešitelnosti udává FROBENIOVA VĚTA: Soustava (*) má řešení  hodnost matice A je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy, tj. h(A)=h(R). VĚTA O POČTU ŘEŠENÍ: a)je-li h(A)=h(R)=n … soustava (*) má právě 1 řešení, b)je-li h(A)=h(R)=h<n … soustava (*) má nekonečně mnoho řešení závislých na n-h parametrech, c)je-li h(A)<h(R) … soustava (*) nemá řešení. Pozn.:V úlohách LP se nejčastěji budeme setkávat s pří- padem b), kdy soustava bude mít nekonečně mnoho řešení.

Př.: Řešte soustavu rovnic: řešení parametry, např. A tedy obecné řešení je

Chceme-li určit nějaké konkrétní řešení, zvolíme za s a t konkrétní čísla. Př.: Určete alespoň 4 konkrétní řešení předchozí soustavy rovnic. Zvolíme základní degenerované řešení

Definice: Řešení, ve kterém za parametry volíme nuly, se nazývá základní řešení. Neznámé jsou tzv. ZÁKLADNÍ (BÁZICKÉ) PROMĚNNÉ, ostatní neznámé ((n-h) parametrů) nazýváme VEDLEJŠÍ PROMĚNNÉ. Řešení je základní řešení soustavy, protože jsme za vedlejší proměnné (tj. za parametry) zvolili nuly. Př.: V našem příkladě jsme za parametry volili neznámé jsou vedlejší proměnné. jsou základní proměnné.

Definice: Jsou-li všechny základní proměnné řešení nazýváme nedegenerované, je-li alespoň jedna základní proměnná řešení je degenerované. Př.: Řešení je degenerované, neboť základní proměnná

SLR v kanonickém tvaru ZÁKLADNÍ PROMĚNNÉVEDLEJŠÍ PROMĚNNÉ Z tohoto tvaru lze přímo určit základní řešení SLR; tj. A tedy základní řešení je

Matice soustavy (**) obsahuje právě h sloupcových jednotkových vektorů přiřazených základním neznámým (obsahuje jednotkovou submatici). Toho využíváme při řešení soustavy (*). Matici A upravíme pomocí elementárních ekvivalentních úprav na matici A h. Soustavy (*) a (**) jsou ekvivalentní a řešení určíme ze soustavy (**). K úpravám použijeme úplnou eliminaci.

Př.: Úplnou eliminací řešte SLR

x 2 je vedlejší proměnná (parametr), zvolíme PIVOT = KLÍČOVÝ PRVEK (nelze za něj zvolit nulu!)

x 3 je vedlejší proměnná, zvolíme x 1 je vedlejší proměnná, zvolíme x 4 je vedlejší proměnná, zvolíme x 2 je vedlejší proměnná (parametr), zvolíme

Pozn.:Počet všech základních řešení soustavy m lineárně nezávislých rovnic o n neznámých je V našem příkladě m=3 rovnice, n=4 neznámé počet základních řešení je

GRAFICKÁ METODA -metoda řešení úloh LP, v níž vystupují jen dvě proměnné. Potom každý bod v rovině (souřadnice x 1, x 2 ) představuje právě jedno řešení. Pozn.:V principu lze grafickou metodu použít i v případě tří proměnných (každé řešení je představováno nějakým bodem prostoru). Už si tedy nevystačíme papírem, tužkou a pravítkem – museli bychom modelovat trojrozměrně.

GRAFICKÁ METODA – postup: Zavedeme kartézský souřadnicový systém – pro dvě proměnné, dvě na sebe kolmé osy označené Nejprve se graficky určí množina všech přípustných řešení : Vyznačíme množinu všech řešení každé omezující podmínky samostatně. Podmínkám typu nerovnice odpovídají poloroviny, rovnicím pak přímky. Množina všech přípustných řešení je dána průnikem všech těchto množin (polorovin a přímek).

GRAFICKÁ METODA – postup: Na množině pak hledáme optimální řešení: Vyznačíme normálový vektor příslušný účelové funkci. U maximalizační úlohy pak najdeme takovou kolmici na vektor, která je nejdále ve směru a má neprázdný průnik s množinou. U minimalizační úlohy pak najdeme takovou kolmici na vektor, která je nejdále proti směru a má neprázdný průnik s množinou. Tento poslední neprázdný průnik tvoří množinu všech optimálních řešení úlohy LP.

Př.: Graficky řešte ÚLOHU VÝROBNÍHO PLÁNOVÁNÍ: Podnik vyrábí 2 druhy výrobků V 1 a V 2. Tab. udává spotřebu surovin S 1 a S 2 v kg na výrobu 1 ks výrobku V 1, resp. V 2 i disp. množství. Zisk z každého ks V 1 je 3 Kč a z 1 ks V 2 je 2 Kč. Stanovte opt. výrobní plán, aby podnik dosáhl max. zisku. VýrobkyDisponibilní množství V1V1 V2V2 S 1 [kg/ks] S 2 [kg/ks] Zisk [Kč]32max. x 1 … počet výrobků V 1 x 2 … počet výrobků V 2 V ektor výroby

Matematický model úlohy:

Př.: Graficky řešte úlohu LP: