Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Gymnázium, Havířov-Město, Komenského 2, p.o. Tato prezentace.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Gymnázium, Havířov-Město, Komenského 2, p.o. Tato prezentace."— Transkript prezentace:

1 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Gymnázium, Havířov-Město, Komenského 2, p.o. Tato prezentace vznikla na základě řešení projektu OPVK, registrační číslo: CZ.1.07/1.5.00/ s názvem „VÝUKA NA GYMNÁZIU PODPOROVÁNA ICT“ IV/ MATEMATICKÁ INDUKCE MATEMATIKA PRO IV. ROČNÍK GYMNÁZIA – FUNKCE II Autor: Mgr. Alexandra Bouchalová Zpracováno dne

2 Metody důkazů Matematická indukce 2 V matematice existuje mnoho důkazových metod, např.: přímý či nepřímý důkaz důkaz sporem důkaz indukcí důkaz geometrický důkaz výpočtem V souvislosti s dokazováním vět a tvrzení platných pro všechna přirozená čísla nejčastěji používáme metodu matematické indukce.

3 Matematická indukce Matematická indukce 3  n  N: p(V(n)) = 1. Matematická indukce je věta. Nechť V(n) je výroková forma proměnné n  N. (p(V(1) = 1)  (  k  N: p(V(k)) = 1  p(V(k + 1)) = 1)  

4 Dokažte, že pro všechna přirozená čísla n platí n < 2 n. Struktura důkazu MI Matematická indukce 4 1. krok n = 1 tzn. dokážeme, že V(n) platí pro n = 1 1 < < 2 V(1) platí (p(V(1) = 1)

5 Dokažte, že pro všechna přirozená čísla n platí n < 2 n. Struktura důkazu MI Matematická indukce 5 2. krok tedy dokážeme, že pro každé k  N platí: platí-li V(k), pak platí V(k + 1) k < 2 k  k + 1 < 2 k + 1 k < 2 k < 2 k + 2 k  k + 1 < 2 k + 1 = 2 × 2 k = 2 k + 1 k + 1 < 2 k + 1 (  k  N: p(V(k)) = 1  p(V(k + 1)) = 1)

6 Dokažte, že pro všechna přirozená čísla n platí n < 2 n. Struktura důkazu MI Matematická indukce 6 3. krok Podle věty o matematické indukci je tvrzení pravdivé pro každé přirozené číslo n. n < 2 n  n  N: p(V(n)) = 1. cbd

7 Dokažte matematickou indukcí, že pro všechna přirozená čísla n platí (2n – 1) = n 2. Úlohy Matematická indukce 7 Dokažte matematickou indukcí, že pro všechna přirozená čísla n platí 2  n(n + 1). 1.n = 1  1 = 1 2  platí 2.  k  N: (2k – 1) = k 2  (2k + 1) = (k + 1) (2k – 1) + (2k + 1) = k 2 + 2k + 1 = (k + 1) 2 3.  n  N: (2n – 1) = n 2 1.n = 1  1 = 1 2  platí 2.  k  N: (2k – 1) = k 2  (2k + 1) = (k + 1) (2k – 1) + (2k + 1) = k 2 + 2k + 1 = (k + 1) 2 3.  n  N: (2n – 1) = n 2 1.n = 1  2  1(1 + 1)  platí 2.  k  N: 2  k(k + 1)  2  (k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2) = k 2 + 3k + 2 = k(k + 1) + 2(k + 1) = 2k´ + 2(k + 1) = 2(k´ + k + 1) 3.  n  N: 2  n(n + 1) 1.n = 1  2  1(1 + 1)  platí 2.  k  N: 2  k(k + 1)  2  (k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2) = k 2 + 3k + 2 = k(k + 1) + 2(k + 1) = 2k´ + 2(k + 1) = 2(k´ + k + 1) 3.  n  N: 2  n(n + 1)

8 Použitá literatura Literatura JARNÍK, Vojtěch. Diferenciální počet (I). 7. vyd. Praha: Československá akademie věd, ISBN JARNÍK, Vojtěch. Integrální počet (2). 3. vyd. Praha: Československá akademie věd, ISBN KUBEŠOVÁ, Naděžda a Eva CIBULKOVÁ. Matematika: přehled středoškolského učiva. 2. vyd. Třebíč: Petra Velanová, 2006, 239 s. Maturita (Petra Velanová). ISBN ODVÁRKO, Oldřich, Miloš BOŽEK a Marta RYŠÁNKOVÁ. Matematika: pro II. ročník gymnázií. 1. vyd. Praha: SPN, ISBN ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro gymnázia: Funkce. 4. vyd. Praha: Prometheus, 2008, 168 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro gymnázia: Posloupnosti a řady. 3. vyd. Prometheus, Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika - příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, ISBN VOCELKA, Jindřich. Maturujeme jinak. 1. vyd. Praha: Prometheus, ISBN X. Matematická indukce

9 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Tato prezentace vznikla na základě řešení projektu OPVK, registrační číslo: CZ.1.07/1.5.00/ s názvem „VÝUKA NA GYMNÁZIU PODPOROVÁNA ICT“ SOUBOR PREZENTACÍ MATEMATIKA PRO IV. ROČNÍK GYMNÁZIA


Stáhnout ppt "Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Gymnázium, Havířov-Město, Komenského 2, p.o. Tato prezentace."

Podobné prezentace


Reklamy Google