ŠKOLA: Městská střední odborná škola, Klobouky u Brna,

Prezentace na téma: "ŠKOLA: Městská střední odborná škola, Klobouky u Brna,"— Transkript prezentace:

1 ŠKOLA: Městská střední odborná škola, Klobouky u Brna,
nám. Míru 6, příspěvková organizace ČÍSLO PROJEKTU: CZ.1.07/1.5.00/ NÁZEV PROJEKTU: Peníze do škol ČÍSLO ŠABLONY: III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT AUTOR: Mgr. Vítězslav Kurz TEMATICKÁ OBLAST: Vzdálenost bodů POŘADOVÉ ČÍSLO DUMu: 02 KÓD DUMu: VY_32_INOVACE_2_2_02_KUR DATUM TVORBY: ANOTACE (ROČNÍK): Prezentace je určena pro použití v předmětu Seminář z matematiky, který je vyučován ve 3. a 4. ročníku. Je vytvořena k použití ve vyučovací hodině, je možno ji však použít i k samostudiu při přípravě k maturitě.

2 Doporučené vzorce V rovině: Jsou-li dány body 𝐴= 𝑎 1 ; 𝑎 2 , 𝐵= 𝑏 1 ; 𝑏 2 ,pak velikost úsečky AB je dána vzorcem: 𝐴𝐵 = ( 𝑏 1 − 𝑎 1 ) 2 + ( 𝑏 2 − 𝑎 2 ) 2 V prostoru: Jsou-li dány body 𝐴= 𝑎 1 ; 𝑎 2 ; 𝑎 3 , 𝐵= 𝑏 1 ; 𝑏 2 ; 𝑏 3 ,pak velikost úsečky AB je dána vzorcem: 𝐴𝐵 = ( 𝑏 1 − 𝑎 1 ) 2 + ( 𝑏 2 − 𝑎 2 ) 2 + ( 𝑏 3 − 𝑎 3 ) 2

3 Vzdálenost bodů v rovině a v prostoru
Př.1: Vypočítejte velikost úsečky AB, je-li dáno: a) 𝐴= −2;3 ,𝐵= 1;7 , b) C= 3;−4;0 ,𝐷= 1;−2;−1 Př.2: Vypočítejte, který z bodů 𝐴= 0;3 ,𝐵= −2;2 ,𝐶= −1;3 má největší vzdálenost od bodu 𝑀= 1;−2 Př.3: Na ose x určete bod X tak, aby jeho vzdálenost od bodu 𝑀= −2;8 byla 10. Př.4: Zjistěte, jestli je trojúhelník ABC pravoúhlý je-li: 𝐴= −1;1 , 𝐵= 3;1 ,𝐶= −1;4 Př.5: Na ose y najděte bod X tak, aby vzdálenost od bodu 𝐴= 0;−5;8 byla dvakrát větší než od bodu 𝐵= 3;−3;0

4 Příklad 1: a) Nejprve určíme vzdálenost bodů 𝐴= −2;3 ,𝐵= 1;7

5 Příklad 1: a) Nejprve určíme vzdálenost bodů 𝐴= −2;3 ,𝐵= 1;7
𝐴𝐵 = ( 𝑏 1 − 𝑎 1 ) 2 + ( 𝑏 2 − 𝑎 2 ) 2

6 Příklad 1: a) Nejprve určíme vzdálenost bodů 𝐴= −2;3 ,𝐵= 1;7
𝐴𝐵 = ( 𝑏 1 − 𝑎 1 ) 2 + ( 𝑏 2 − 𝑎 2 ) 2 = (1−(−2)) 2 + (7−3) 2 =

7 Příklad 1: a) Nejprve určíme vzdálenost bodů 𝐴= −2;3 ,𝐵= 1;7
𝐴𝐵 = ( 𝑏 1 − 𝑎 1 ) 2 + ( 𝑏 2 − 𝑎 2 ) 2 = (1−(−2)) 2 + (7−3) 2 = = =

8 Příklad 1: a) Nejprve určíme vzdálenost bodů 𝐴= −2;3 ,𝐵= 1;7
𝐴𝐵 = ( 𝑏 1 − 𝑎 1 ) 2 + ( 𝑏 2 − 𝑎 2 ) 2 = (1−(−2)) 2 + (7−3) 2 = = = = 25 =5

9 Příklad 1: a) Nejprve určíme vzdálenost bodů 𝐴= −2;3 ,𝐵= 1;7
𝐴𝐵 = ( 𝑏 1 − 𝑎 1 ) 2 + ( 𝑏 2 − 𝑎 2 ) 2 = (1−(−2)) 2 + (7−3) 2 = = = = 25 =5 b) Nyní určíme vzdálenost bodů C= 3;−4;0 ,𝐷= 1;−2;−1

10 Příklad 1: a) Nejprve určíme vzdálenost bodů 𝐴= −2;3 ,𝐵= 1;7
𝐴𝐵 = ( 𝑏 1 − 𝑎 1 ) 2 + ( 𝑏 2 − 𝑎 2 ) 2 = (1−(−2)) 2 + (7−3) 2 = = = = 25 =5 b) Nyní určíme vzdálenost bodů C= 3;−4;0 ,𝐷= 1;−2;−1 𝐶𝐷 = ( 𝑑 1 − 𝑐 1 ) 2 + ( 𝑑 2 − 𝑐 2 ) 2 + ( 𝑑 3 − 𝑐 3 ) 2

11 Příklad 1: a) Nejprve určíme vzdálenost bodů 𝐴= −2;3 ,𝐵= 1;7
𝐴𝐵 = ( 𝑏 1 − 𝑎 1 ) 2 + ( 𝑏 2 − 𝑎 2 ) 2 = (1−(−2)) 2 + (7−3) 2 = = = = 25 =5 b) Nyní určíme vzdálenost bodů C= 3;−4;0 ,𝐷= 1;−2;−1 𝐶𝐷 = ( 𝑑 1 − 𝑐 1 ) 2 + ( 𝑑 2 − 𝑐 2 ) 2 + ( 𝑑 3 − 𝑐 3 ) 2 = = (1−3) 2 + (−2−(−4)) 2 + (−1−0) 2 =

12 Příklad 1: a) Nejprve určíme vzdálenost bodů 𝐴= −2;3 ,𝐵= 1;7
𝐴𝐵 = ( 𝑏 1 − 𝑎 1 ) 2 + ( 𝑏 2 − 𝑎 2 ) 2 = (1−(−2)) 2 + (7−3) 2 = = = = 25 =5 b) Nyní určíme vzdálenost bodů C= 3;−4;0 ,𝐷= 1;−2;−1 𝐶𝐷 = ( 𝑑 1 − 𝑐 1 ) 2 + ( 𝑑 2 − 𝑐 2 ) 2 + ( 𝑑 3 − 𝑐 3 ) 2 = = (1−3) 2 + (−2−(−4)) 2 + (−1−0) 2 = = (−2) (−1) 2 = = 9 =3

13 Příklad 2: Budeme postupně počítat vzdálenosti bodů 𝐴= 0;3 ,𝐵= −2;2 ,𝐶= −1;3 od bodu 𝑀= 1;−2 .

14 Příklad 2: Budeme postupně počítat vzdálenosti bodů 𝐴= 0;3 ,𝐵= −2;2 ,𝐶= −1;3 od bodu 𝑀= 1;−2 . 𝐴𝑀 = (𝑚 1 − 𝑎 1 ) 2 + (𝑚 2 − 𝑎 2 ) 2 =

15 Příklad 2: Budeme postupně počítat vzdálenosti bodů 𝐴= 0;3 ,𝐵= −2;2 ,𝐶= −1;3 od bodu 𝑀= 1;−2 . 𝐴𝑀 = (𝑚 1 − 𝑎 1 ) 2 + (𝑚 2 − 𝑎 2 ) 2 = (1−0) 2 + (−2−3) 2 =

16 Příklad 2: Budeme postupně počítat vzdálenosti bodů 𝐴= 0;3 ,𝐵= −2;2 ,𝐶= −1;3 od bodu 𝑀= 1;−2 . 𝐴𝑀 = (𝑚 1 − 𝑎 1 ) 2 + (𝑚 2 − 𝑎 2 ) 2 = (1−0) 2 + (−2−3) 2 = = = 26

17 Příklad 2: Budeme postupně počítat vzdálenosti bodů 𝐴= 0;3 ,𝐵= −2;2 ,𝐶= −1;3 od bodu 𝑀= 1;−2 . 𝐴𝑀 = (𝑚 1 − 𝑎 1 ) 2 + (𝑚 2 − 𝑎 2 ) 2 = (1−0) 2 + (−2−3) 2 = = = 26 𝐵𝑀 = (𝑚 1 − 𝑏 1 ) 2 + (𝑚 2 − 𝑏 2 ) 2 =

18 Příklad 2: Budeme postupně počítat vzdálenosti bodů 𝐴= 0;3 ,𝐵= −2;2 ,𝐶= −1;3 od bodu 𝑀= 1;−2 . 𝐴𝑀 = (𝑚 1 − 𝑎 1 ) 2 + (𝑚 2 − 𝑎 2 ) 2 = (1−0) 2 + (−2−3) 2 = = = 26 𝐵𝑀 = (𝑚 1 − 𝑏 1 ) 2 + (𝑚 2 − 𝑏 2 ) 2 = (1−(−2)) 2 + (−2−2) 2 =

19 Příklad 2: Budeme postupně počítat vzdálenosti bodů 𝐴= 0;3 ,𝐵= −2;2 ,𝐶= −1;3 od bodu 𝑀= 1;−2 . 𝐴𝑀 = (𝑚 1 − 𝑎 1 ) 2 + (𝑚 2 − 𝑎 2 ) 2 = (1−0) 2 + (−2−3) 2 = = = 26 𝐵𝑀 = (𝑚 1 − 𝑏 1 ) 2 + (𝑚 2 − 𝑏 2 ) 2 = (1−(−2)) 2 + (−2−2) 2 = = = 25 =5

20 Příklad 2: Budeme postupně počítat vzdálenosti bodů 𝐴= 0;3 ,𝐵= −2;2 ,𝐶= −1;3 od bodu 𝑀= 1;−2 . 𝐴𝑀 = (𝑚 1 − 𝑎 1 ) 2 + (𝑚 2 − 𝑎 2 ) 2 = (1−0) 2 + (−2−3) 2 = = = 26 𝐵𝑀 = (𝑚 1 − 𝑏 1 ) 2 + (𝑚 2 − 𝑏 2 ) 2 = (1−(−2)) 2 + (−2−2) 2 = = = 25 =5 𝐶𝑀 = (𝑚 1 − 𝑐 1 ) 2 + (𝑚 2 − 𝑐 2 ) 2 =

21 Příklad 2: Budeme postupně počítat vzdálenosti bodů 𝐴= 0;3 ,𝐵= −2;2 ,𝐶= −1;3 od bodu 𝑀= 1;−2 . 𝐴𝑀 = (𝑚 1 − 𝑎 1 ) 2 + (𝑚 2 − 𝑎 2 ) 2 = (1−0) 2 + (−2−3) 2 = = = 26 𝐵𝑀 = (𝑚 1 − 𝑏 1 ) 2 + (𝑚 2 − 𝑏 2 ) 2 = (1−(−2)) 2 + (−2−2) 2 = = = 25 =5 𝐶𝑀 = (𝑚 1 − 𝑐 1 ) 2 + (𝑚 2 − 𝑐 2 ) 2 = (1−(−1)) 2 + (−2−3) 2 =

22 Příklad 2: Budeme postupně počítat vzdálenosti bodů 𝐴= 0;3 ,𝐵= −2;2 ,𝐶= −1;3 od bodu 𝑀= 1;−2 . 𝐴𝑀 = (𝑚 1 − 𝑎 1 ) 2 + (𝑚 2 − 𝑎 2 ) 2 = (1−0) 2 + (−2−3) 2 = = = 26 𝐵𝑀 = (𝑚 1 − 𝑏 1 ) 2 + (𝑚 2 − 𝑏 2 ) 2 = (1−(−2)) 2 + (−2−2) 2 = = = 25 =5 𝐶𝑀 = (𝑚 1 − 𝑐 1 ) 2 + (𝑚 2 − 𝑐 2 ) 2 = (1−(−1)) 2 + (−2−3) 2 = = = 29

23 Příklad 2: Budeme postupně počítat vzdálenosti bodů 𝐴= 0;3 ,𝐵= −2;2 ,𝐶= −1;3 od bodu 𝑀= 1;−2 . 𝐴𝑀 = (𝑚 1 − 𝑎 1 ) 2 + (𝑚 2 − 𝑎 2 ) 2 = (1−0) 2 + (−2−3) 2 = = = 26 𝐵𝑀 = (𝑚 1 − 𝑏 1 ) 2 + (𝑚 2 − 𝑏 2 ) 2 = (1−(−2)) 2 + (−2−2) 2 = = = 25 =5 𝐶𝑀 = (𝑚 1 − 𝑐 1 ) 2 + (𝑚 2 − 𝑐 2 ) 2 = (1−(−1)) 2 + (−2−3) 2 = = = 29 Vidíme, že nejvíce vzdálen od bodu M je bod C.

24 Příklad 3: Všechny body ležící na ose x mají y-ovou souřadnici 0. Bod X musí mít tedy souřadnice 𝑋= 𝑥;0 .

25 Příklad 3: Všechny body ležící na ose x mají y-ovou souřadnici 0. Bod X musí mít tedy souřadnice 𝑋= 𝑥;0 . Víme dále, že bod X má od bodu 𝑀= −2;8 vzdálenost 10. Dosadíme tedy vše do rovnice pro vzdálenost bodu M a X:

26 Příklad 3: Všechny body ležící na ose x mají y-ovou souřadnici 0. Bod X musí mít tedy souřadnice 𝑋= 𝑥;0 . Víme dále, že bod X má od bodu 𝑀= −2;8 vzdálenost 10. Dosadíme tedy vše do rovnice pro vzdálenost bodu M a X: 𝑀𝑋 = (𝑥− 𝑚 1 ) 2 + (0− 𝑚 2 ) 2

27 Příklad 3: Všechny body ležící na ose x mají y-ovou souřadnici 0. Bod X musí mít tedy souřadnice 𝑋= 𝑥;0 . Víme dále, že bod X má od bodu 𝑀= −2;8 vzdálenost 10. Dosadíme tedy vše do rovnice pro vzdálenost bodu M a X: 𝑀𝑋 = (𝑥− 𝑚 1 ) 2 + (0− 𝑚 2 ) 2 = (𝑥−(−2)) 2 + (0−8) 2 =

28 Příklad 3: Všechny body ležící na ose x mají y-ovou souřadnici 0. Bod X musí mít tedy souřadnice 𝑋= 𝑥;0 . Víme dále, že bod X má od bodu 𝑀= −2;8 vzdálenost 10. Dosadíme tedy vše do rovnice pro vzdálenost bodu M a X: 𝑀𝑋 = (𝑥− 𝑚 1 ) 2 + (0− 𝑚 2 ) 2 = (𝑥−(−2)) 2 + (0−8) 2 = = (𝑥+2) = 𝑥 2 +4𝑥+4+64 = 𝑥 2 +4𝑥+68

29 Příklad 3: Všechny body ležící na ose x mají y-ovou souřadnici 0. Bod X musí mít tedy souřadnice 𝑋= 𝑥;0 . Víme dále, že bod X má od bodu 𝑀= −2;8 vzdálenost 10. Dosadíme tedy vše do rovnice pro vzdálenost bodu M a X: 𝑀𝑋 = (𝑥− 𝑚 1 ) 2 + (0− 𝑚 2 ) 2 = (𝑥−(−2)) 2 + (0−8) 2 = = (𝑥+2) = 𝑥 2 +4𝑥+4+64 = 𝑥 2 +4𝑥+68 Toto je vyjádření pro vzdálenost bodů MX. Po dosazení a lehké úpravě dostáváme následující kvadratickou rovnici:

30 Příklad 3: Všechny body ležící na ose x mají y-ovou souřadnici 0. Bod X musí mít tedy souřadnice 𝑋= 𝑥;0 . Víme dále, že bod X má od bodu 𝑀= −2;8 vzdálenost 10. Dosadíme tedy vše do rovnice pro vzdálenost bodu M a X: 𝑀𝑋 = (𝑥− 𝑚 1 ) 2 + (0− 𝑚 2 ) 2 = (𝑥−(−2)) 2 + (0−8) 2 = = (𝑥+2) = 𝑥 2 +4𝑥+4+64 = 𝑥 2 +4𝑥+68 Toto je vyjádření pro vzdálenost bodů MX. Po dosazení a lehké úpravě dostáváme následující kvadratickou rovnici: 𝑥 2 +4𝑥+68 =10 𝑥 2 +4𝑥+68=100 𝑥 2 +4𝑥−32=0

31 Příklad 3: Dořešíme nyní tuto kvadratickou rovnici: 𝑥 2 +4𝑥−32=0

32 Příklad 3: Dořešíme nyní tuto kvadratickou rovnici: 𝑥 2 +4𝑥−32=0
Nyní si zopakujeme základní metody řešení kvadratických rovnic. Výpočtem diskriminantu Pomocí vztahů mezi kořenovými činiteli Metodou doplnění na čtverec Vyberte jednu z těchto metod kliknutím.

33 Příklad 3: Dořešíme nyní tuto kvadratickou rovnici: 𝑥 2 +4𝑥−32=0
Nyní si zopakujeme základní metody řešení kvadratických rovnic. Výpočtem diskriminantu Pomocí vztahů mezi kořenovými činiteli Metodou doplnění na čtverec Vyberte jednu z těchto metod kliknutím.

34 Příklad 3: Pomocí diskriminantu: 𝑥 2 +4𝑥−32=0
𝐷= 𝑏 2 −4𝑎𝑐= 4 2 −4∙1∙ −32 =16+128=144

35 Příklad 3: Pomocí diskriminantu: 𝑥 2 +4𝑥−32=0
𝐷= 𝑏 2 −4𝑎𝑐= 4 2 −4∙1∙ −32 =16+128=144 𝑥 1,2 −𝑏± 𝐷 2𝑎 = −4± = −4±12 2

36 Příklad 3: Pomocí diskriminantu: 𝑥 2 +4𝑥−32=0 𝑥 1 = −4+12 2 = 8 2 =4
𝐷= 𝑏 2 −4𝑎𝑐= 4 2 −4∙1∙ −32 =16+128=144 𝑥 1,2 −𝑏± 𝐷 2𝑎 = −4± = −4±12 2 𝑥 1 = − = 8 2 =4 𝑥 2 = −4−12 2 = −16 2 =-8 Řešením jsou tedy body 𝑋= 4;0 ,𝑋´= −8;0

37 Příklad 3: Pomocí vztahů mezi kořenovými činiteli: 𝑥 2 +4𝑥−32=0

38 Příklad 3: Pomocí vztahů mezi kořenovými činiteli: 𝑥 2 +4𝑥−32=0
𝑥 1 + 𝑥 2 =−𝑝 𝑥 1 ∙ 𝑥 2 =𝑞 𝑥 1 + 𝑥 2 =−4 𝑥 1 ∙ 𝑥 2 =−32

39 Příklad 3: Pomocí vztahů mezi kořenovými činiteli: 𝑥 2 +4𝑥−32=0
𝑥 1 + 𝑥 2 =−𝑝 𝑥 1 ∙ 𝑥 2 =𝑞 𝑥 1 + 𝑥 2 =−4 𝑥 1 ∙ 𝑥 2 =−32 V tento okamžik se musí z výše uvedených dvou vztahů řešení „uhodnout“. Doporučuji si pomoci tvarem součinu, kde víme, že pokud řešení existuje, bude celočíselné (jelikož p,q jsou celá čísla) a možností, kdy součin dvou celých čísel dává -32 je méně než hledat součet -4.

40 Příklad 3: Pomocí vztahů mezi kořenovými činiteli: 𝑥 2 +4𝑥−32=0
𝑥 1 + 𝑥 2 =−𝑝 𝑥 1 ∙ 𝑥 2 =𝑞 𝑥 1 + 𝑥 2 =−4 𝑥 1 ∙ 𝑥 2 =−32 V tento okamžik se musí z výše uvedených dvou vztahů řešení „uhodnout“. Doporučuji si pomoci tvarem součinu, kde víme, že pokud řešení existuje, bude celočíselné (jelikož p,q jsou celá čísla) a možností, kdy součin dvou celých čísel dává -32 je méně než hledat součet -4. Vyhovují čísla 𝑥 1 =4 𝑎 𝑥 2 =−8 Řešením jsou tedy body 𝑋= 4;0 ,𝑋´= −8;0

41 Příklad 3: Metoda doplnění na čtverec: 𝑥 2 +4𝑥−32=0

42 Příklad 3: Metoda doplnění na čtverec: 𝑥 2 +4𝑥−32=0 (𝑥+2) 2 −4−32=0
Převedeme čísla -4 a -32 na pravou stranu a poté obě strany rovnice Odmocníme.

43 Příklad 3: Metoda doplnění na čtverec: 𝑥 2 +4𝑥−32=0 (𝑥+2) 2 −4−32=0
(𝑥+2) 2 =36 𝑥+2 =6 Existují dvě řešení rovnice s absolutní hodnotou:

44 Příklad 3: Metoda doplnění na čtverec: 𝑥 2 +4𝑥−32=0 (𝑥+2) 2 −4−32=0
(𝑥+2) 2 =36 𝑥+2 =6 𝑥 1 =4, 𝑥 2 =−8

45 Příklad 3: Metoda doplnění na čtverec: 𝑥 2 +4𝑥−32=0 (𝑥+2) 2 −4−32=0
(𝑥+2) 2 =36 𝑥+2 =6 𝑥 1 =4, 𝑥 2 =−8 Řešením jsou tedy body 𝑋= 4;0 ,𝑋´= −8;0

46 Příklad 4: Nejprve vypočítáme délky stran trojúhelníku ABC:
𝐴= −1;1 , 𝐵= 3;1 ,𝐶= −1;4

47 Příklad 4: Nejprve vypočítáme délky stran trojúhelníku ABC:
𝐴= −1;1 , 𝐵= 3;1 ,𝐶= −1;4 𝐴𝐵 = ( 𝑏 1 − 𝑎 1 ) 2 + ( 𝑏 2 − 𝑎 2 ) 2 = (3−(−1)) 2 + (1−1) 2 = = =4

48 Příklad 4: Nejprve vypočítáme délky stran trojúhelníku ABC:
𝐴= −1;1 , 𝐵= 3;1 ,𝐶= −1;4 𝐴𝐵 = ( 𝑏 1 − 𝑎 1 ) 2 + ( 𝑏 2 − 𝑎 2 ) 2 = (3−(−1)) 2 + (1−1) 2 = = =4 𝐴𝐶 = ( 𝑐 1 − 𝑎 1 ) 2 + ( 𝑐 2 − 𝑎 2 ) 2 = (−1−(−1)) 2 + (4−1) 2 = = =3

49 Příklad 4: Nejprve vypočítáme délky stran trojúhelníku ABC:
𝐴= −1;1 , 𝐵= 3;1 ,𝐶= −1;4 𝐴𝐵 = ( 𝑏 1 − 𝑎 1 ) 2 + ( 𝑏 2 − 𝑎 2 ) 2 = (3−(−1)) 2 + (1−1) 2 = = =4 𝐴𝐶 = ( 𝑐 1 − 𝑎 1 ) 2 + ( 𝑐 2 − 𝑎 2 ) 2 = (−1−(−1)) 2 + (4−1) 2 = = =3 𝐶𝐵 = ( 𝑏 1 − 𝑐 1 ) 2 + ( 𝑏 2 − 𝑐 2 ) 2 = (3−(−1)) 2 + (1−4) 2 = = = 25 =5

50 Příklad 4: Nyní stačí ověřit, zda trojúhelník s délkami stran 3,4,5 je pravoúhlý. K tomu využijeme Pythagorovu větu, jelikož víme, že platí ekvivalence: Trojúhelník je pravoúhlý Platí Pythagorova věta.

51 Příklad 4: Nyní stačí ověřit, zda trojúhelník s délkami stran 3,4,5 je pravoúhlý. K tomu využijeme Pythagorovu větu, jelikož víme, že platí ekvivalence: Trojúhelník je pravoúhlý Platí Pythagorova věta. Uvědomíme si, že jediným adeptem na přeponu je nejdelší z těchto tří stran, Tedy strana délky 5. Dosadíme tedy do Pythagorovy věty:

52 Příklad 4: Nyní stačí ověřit, zda trojúhelník s délkami stran 3,4,5 je pravoúhlý. K tomu využijeme Pythagorovu větu, jelikož víme, že platí ekvivalence: Trojúhelník je pravoúhlý Platí Pythagorova věta. Uvědomíme si, že jediným adeptem na přeponu je nejdelší z těchto tří stran, Tedy strana délky 5. Dosadíme tedy do Pythagorovy věty: 5 2 = 25=9+16 25=25

53 Příklad 4: Nyní stačí ověřit, zda trojúhelník s délkami stran 3,4,5 je pravoúhlý. K tomu využijeme Pythagorovu větu, jelikož víme, že platí ekvivalence: Trojúhelník je pravoúhlý Platí Pythagorova věta. Uvědomíme si, že jediným adeptem na přeponu je nejdelší z těchto tří stran, Tedy strana délky 5. Dosadíme tedy do Pythagorovy věty: 5 2 = 25=9+16 25=25 Závěr: Jelikož platí Pythagorova věta, trojúhelník ABC je pravoúhlý.

54 Příklad 5: Ze zadaní plyne, že 𝐴𝑋 =2∙ 𝐵𝑋

55 Příklad 5: Ze zadaní plyne, že 𝐴𝑋 =2∙ 𝐵𝑋
Podobně jako v předchozím případu si musíme uvědomit, že pokud bod X má ležet na ose y musí být jeho x-ová a z-ová souřadnice 0. Vyjádříme tedy nejdříve zvlášť levou a pravou stranu rovnice. 𝐴= 0;−5;8 , B= 3;−3;0 , X= 0;𝑦;0

56 Příklad 5: Ze zadaní plyne, že 𝐴𝑋 =2∙ 𝐵𝑋
Podobně jako v předchozím případu si musíme uvědomit, že pokud bod X má ležet na ose y musí být jeho x-ová a z-ová souřadnice 0. Vyjádříme tedy nejdříve zvlášť levou a pravou stranu rovnice. 𝐴= 0;−5;8 , B= 3;−3;0 , X= 0;𝑦;0 𝐴𝑋 = (0−0) 2 + (𝑦−(−5)) 2 + (0−8) 2 = 0+ (𝑦+5) = = 𝑦 2 +10𝑦 = 𝑦 2 +10𝑦+89

57 Příklad 5: Ze zadaní plyne, že 𝐴𝑋 =2∙ 𝐵𝑋
Podobně jako v předchozím případu si musíme uvědomit, že pokud bod X má ležet na ose y musí být jeho x-ová a z-ová souřadnice 0. Vyjádříme tedy nejdříve zvlášť levou a pravou stranu rovnice. 𝐴= 0;−5;8 , B= 3;−3;0 , X= 0;𝑦;0 𝐴𝑋 = (0−0) 2 + (𝑦−(−5)) 2 + (0−8) 2 = 0+ (𝑦+5) = = 𝑦 2 +10𝑦 = 𝑦 2 +10𝑦+89 𝐵𝑋 = (0−3) 2 + (𝑦−(−3)) 2 + (0−0) 2 = 9+ (𝑦+3) 2 +0 = = 𝑦 2 +6𝑦+9+9 = 𝑦 2 +6𝑦+18

58 Příklad 5: Tedy platí: 𝑦 2 +10𝑦+89 =2∙ 𝑦 2 +6𝑦+18

59 Příklad 5: Tedy platí: 𝑦 2 +10𝑦+89 =2∙ 𝑦 2 +6𝑦+18
Nyní umocníme obě strany rovnice.

60 Příklad 5: Tedy platí: 𝑦 2 +10𝑦+89 =2∙ 𝑦 2 +6𝑦+18
𝑦 2 +10𝑦+89=4∙( 𝑦 2 +6𝑦+18)

61 Příklad 5: Tedy platí: 𝑦 2 +10𝑦+89 =2∙ 𝑦 2 +6𝑦+18
𝑦 2 +10𝑦+89=4∙( 𝑦 2 +6𝑦+18) Nyní roznásobíme závorku a všechny členy převedeme na jednu stranu.

62 Příklad 5: Tedy platí: 𝑦 2 +10𝑦+89 =2∙ 𝑦 2 +6𝑦+18
𝑦 2 +10𝑦+89=4∙( 𝑦 2 +6𝑦+18) 3𝑦 2 +14𝑦−17=0

63 Příklad 5: Tedy platí: 𝑦 2 +10𝑦+89 =2∙ 𝑦 2 +6𝑦+18
𝑦 2 +10𝑦+89=4∙( 𝑦 2 +6𝑦+18) 3𝑦 2 +14𝑦−17=0 Kvadratickou rovnici dořešíme například výpočtem diskriminantu.

64 Příklad 5: Tedy platí: 𝑦 2 +10𝑦+89 =2∙ 𝑦 2 +6𝑦+18
𝑦 2 +10𝑦+89=4∙( 𝑦 2 +6𝑦+18) 3𝑦 2 +14𝑦−17=0 Kvadratickou rovnici dořešíme například výpočtem diskriminantu. D= 𝑦 1,2 = −14± 𝑦 1 =1, 𝑦 2 = −17 3

65 Příklad 5: Tedy platí: 𝑦 2 +10𝑦+89 =2∙ 𝑦 2 +6𝑦+18
𝑦 2 +10𝑦+89=4∙( 𝑦 2 +6𝑦+18) 3𝑦 2 +14𝑦−17=0 Kvadratickou rovnici dořešíme například výpočtem diskriminantu. D= 𝑦 1,2 = −14± 𝑦 1 =1, 𝑦 2 = −17 3 Řešením jsou tedy body 𝑋= 0;1;0 ,𝑋´= 0; −17 3 ;0

66 Zdroj: Sbírka úloh pro gymnázia – Analytická geometrie, Prometheus