09. 04. 20121 FIFEI-08 Hydrostatika a hydrodynamika Doc. Miloš Steinhart, UPCE.

Prezentace na téma: "09. 04. 20121 FIFEI-08 Hydrostatika a hydrodynamika Doc. Miloš Steinhart, UPCE."— Transkript prezentace:

1 09. 04. 20121 FIFEI-08 Hydrostatika a hydrodynamika http://stein.upce.cz/msfei12.html http://stein.upce.cz/fei/fIfei_08.html Doc. Miloš Steinhart, UPCE 06 036, ext. 6029

2 09. 04. 20122 Hlavní body Úvod do hydrostatiky ideálních kapalin Archimédův zákon. Úvod do hydrodynamiky ideálních kapalin Popis proudící kapaliny – zákony zachování Množství Hybnosti Energie – Bernoulliho rovnice. Exkurze do problematiky reálných kapalin Newtonovské kapaliny - viskozita ne-Newtonovské kapaliny, viskoelastické chování

3 09. 04. 20123 Tlak v kapalině I Pascalův zákon V důsledku neexistence tečných napětí působí v každém bodě pouze tlak (=normálové napětí) a je stejný ze všech směrů. Na tomto principu je založena např. hydraulika. Můžeme-li zanedbat vlastní tíhu kapaliny, je tlak v ní všude stejný a na různě velké plochy tedy působí různě velká síla: F 1 /S 1 = p 1 = p 2 = F 2 /S 2

4 09. 04. 20124 Tlak v kapalině II Předpokládejme gravitační pole v blízkosti povrchu Země.  = gz osa z je svislá a její kladná část míří vzhůru. Obecně musíme připustit závislost hustoty na z, potom :

5 09. 04. 20125 Tlak v kapalině III Průběh tlaku v kapalině je lineární U těžko stlačitelných kapalin lze hustotu považovat za konstantní a tedy : Integrace vede na lineární pokles tlaku s výškou : Často uvažujeme naopak vzrůst s hloubkou pod hladinou:

6 09. 04. 20126 Tlak v kapalině IV Průběh tlaku v atmosféře je exponenciální Předpokládejme izotermickou atmosféru, stlačitelnou podle Boyle-Marriotova zákona Potom : Diferenciální rovnici řešíme integrací po separaci proměnných a po odlogaritmování:

7 09. 04. 20127 Archimédův zákon I Těleso ponořené do tekutiny je nadlehčováno silou, která se rovná tíze tekutiny tělesem vytlačené. Nadlehčování je způsobeno tlakovými silami, které se snaží tekutinu “vrátit”, do míst, odkud byla tělesem vytlačena nebo kam se může alespoň principiálně dostat. Protože tlak roste s hloubkou, lze očekávat, že výslednice sil bude směřovat vzhůru.

8 09. 04. 20128 Archimédův zákon II Archimédův zákon úzce souvisí s růstem tlaku s hloubkou lze ilustrovat na tělese speciálního tvaru nebo dokázat obecně jako rovnováhu objemových a povrchových sil. Druhý důkaz nepožaduje konstantní hustotu, čili nezávisí na možné stlačitelnosti tekutiny a platí tedy i pro plyny a také tělesa, která mohou být v několika prostředích, např. neúplně ponořená.

9 09. 04. 20129 Archimédův zákon III Mějme rotační válec o výšce h a podstavě S v ideální kapalině o hustotě  0. Tlakové síly na plášť se v každé hloubce vyrovnají. Nevykompenzovaná zůstane pouze tlaková síla působící na spodní podstavu a tedy vzhůru, protože tato podstava je hlouběji o výšku válce než podstava horní: F = Sh  0 g. To je ale přesně tíha vytlačené kapaliny.

10 09. 04. 201210 Archimédův zákon IV V kapalině, která je v rovnováze si mysleme její určitý objem libovolného tvaru. Tento objem má svoji hmotnost, a tíha směřuje svisle dolů. Na povrch objemu působí tlakové síly. Protože je objem v rovnováze, musí jejich výslednice vykompenzovat tíhu, čili musí směřovat svisle vzhůru a její velikost se musí rovnat tíze myšleného objemu.

11 09. 04. 201211 Povrchové napětí I Částice kapaliny blízko rozhraní mají ve svém okolí prostředí dvojího druhu. To obecně vede k nesymetrii působících sil, jak dovedeme vysvětlit opět pomocí potenciálové jámy. Takový efekt existuje i na rozhraní dvou pevných látek. Jak jsme poznali, rozhraní kapaliny se vyznačuje tím, že zaujímá v každém bodě směr kolmo k působící síle.

12 09. 04. 201212 Povrchové napětí II ΔxΔx l F Práce vykonaná při zvětšení blány o plochu ΔS: Mýdlová blána (2 povrchy) Proč se mince položená opatrně na povrch vody nepotopí? ΔW = 2σ l Δx Povrchové napětí je Energie na jednotku plochy : ΔW/2 l Δx = σ [σ] = N.m -1 = J.m -2

13 09. 04. 201213 Povrchové napětí III Například na rozhraní kapalina – plyn působí síly směřující do kapaliny. Výsledkem je, že se rozhraní snaží zaujímat minimální povrch, např. se tvoří kapky. Na rozhraní kapalina – pevná látka mohou síly směřovat : do kapaliny - kapalina látku nesmáčí z kapaliny ven - kapalina látku smáčí.

14 09. 04. 201214 Kapilární elevace a deprese

15 09. 04. 201215 Úvod do hydrodynamiky Popsat tekutiny v pohybu patří mezi nejobtížnější problémy, které v klasické fyzice existují. Pro jednoduchost vyjdeme ze zákonů zachování, které platí pro pomalé proudění neviskózní a nestlačitelné kapaliny. Později podrobněji popíšeme chování nejjednodušší viskózní, tzv. Newtonovské kapaliny a ukážeme příklady chování některých ne-Newtonovských kapalin.

16 09. 04. 201216 Hydrokinematika I Proudící kapalinu lze popsat pomocí : Trajektorií, křivek, po nichž se částice pohybují v čase. Částicí se zde rozumí makroskopicky malý ale mikroskopicky velký objem kapaliny. Proudnic, křivek tečných v každém bodě k vektorům rychlosti. Proudnice tvoří proudové trubice, jejichž stěnami kapalina neprochází. Jejich vnitřek se nazývá proudová vlákna.

17 09. 04. 201217 Zákony zachování U ideálních kapalin lze jednoduše využít zákonů zachování. Zachovávají se : Množství – rovnice kontinuity Hybnost Energie – Bernoulliho rovnice

18 09. 04. 201218 Rovnice kontinuity Časový objemový průtok Q kapaliny určitou proudovou trubicí se zachovává. Jinak by se kapalina musela někde objevovat nebo mizet. Má-li proudová trubice u nestlačitelné kapaliny v jednom místě průřez S 1 a v druhém S 2, platí : S 1 v 1 = Q 1 = Q 2 = S 2 v 2 U stlačitelných tekutin je konstantní průtok hmotnostní a platí : S 1 v 1  1 = S 2 v 2  2

19 09. 04. 201219 Zachování hybnosti Ke změně směru proudové trubice může dojít jen v případě existuje-li impuls síly, který příslušnou změnu hybnosti umožní v čase : Proudnice musí často podpírat navíc i rozdíl sil tlakových. Změna rychlosti každopádně vede k nové rovnováze.

20 09. 04. 201220 Zachování energie Bernoulliho rovnice vyjadřuje zákon zachování hustoty energie : V praxi se vyjadřuje několika způsoby, například v rozměrech délkových :

21 09. 04. 201221 Odvození Bernoulliho rovnice I Uvažujme dvě různá místa, ohraničující určitý úsek jedné proudové trubice, která jsou popsána rychlostí v i, tlakem p i a výškou h i. Působením tlakových sil se určitý objem  V se přemístí za čas  t z prvního místa do druhého. Na oba objemy působí z vnějšku úseku tlakové síly opačné orientace F i = S i p i. Práce, kterou vykonají tyto síly za  t se musí rovnat přírůstku celkové energie daného objemu.

22 09. 04. 201222 Odvození Bernoulliho rovnice II Tedy : Po dosazení : Aplikujme rovnici kontinuity :

23 09. 04. 201223 Odvození Bernoulliho rovnice III Tento vztah, vyjadřující zachování energie, bývá zvykem vztáhnout ke jednotkovému objemu, tedy vydělit  V a přeskupit podle uvažovaných míst : Vztah odvodil Švýcar Daniel Bernoulli 1700-1783 Celková energie proudící kapaliny má tedy tři složky : tlakovou, kinetickou a potenciální.

24 09. 04. 201224 Použití Bernoulliho rovnice I Bernoulliho rovnice lze použít jako prvního přiblížení při řešení řady praktických problémů. Uvažujme například výtok kapaliny ze široké (nebo doplňované) nádoby malým otvorem umístěným v hloubce h pod hladinou. V Bernoulliho rovnici můžeme udělat několik úprav a zanedbání :

25 09. 04. 201225 Použití Bernoulliho rovnice II Oba tlaky jsou atmosférické : p 1 = p 2. Vyjádříme hloubku: h = z 1 – z 2 Rychlost v 1 můžeme zanedbat. Po zkrácení  a úpravě : Je zajímavé, že tento tzv. Torrichellio vzorec byl znám již sto let před Bernoullim.

26 09. 04. 201226 Použití Bernoulliho rovnice III Není-li možné rychlost v 1 zanedbat, použijeme rovnici kontinuity v 1 = v 2 S 2 /S 1 : Po zkrácení , zavedení hloubky a úpravě : (výraz má zjevně smysl jen pro S 1 > S 2 )

27 09. 04. 201227 Použití Bernoulliho rovnice IV Uvažujeme-li místa o stejné výšce je z Bernoulliho rovnice patrná zajímavá vlastnost proudících tekutin a to, že v místech s větší rychlostí je nižší tlak. Na tomto principu je založena řada jevů od bouchání dveří v průvanu, přes střílení rohového kopu ve fotbale, po létání letadel. Protože jsou důsledky na první pohled překvapivé, je tento jev znám jako hydrodynamický paradoxon. Významné je jeho využití při měření rychlosti.

28 09. 04. 201228 Použití Bernoulliho rovnice V Pitotova trubice (fajfka) : do měřené kapaliny jsou vnořeny dvě trubice, ústí jedné je kolmo, ústí druhé rovnoběžně s jejím proudem (fajfka) v 2 = 0. v i-té trubici vystoupí kapalina do výšky z i, odpovídající tlaku p i =  gz i při jejím ústí ve vztahu vystupuje pouze rozdíl výšek z i. Používá se k měření rychlosti malých letadel.

29 09. 04. 201229 Použití Bernoulliho rovnice VI Venturiho trubice (potřebuje zúžení) : do měřené kapaliny jsou kolmo vnořeny dvě trubice, jedna v místě s průřezem S 1, druhá S 2. v i-té trubici vystoupí kapalina opět do výšky z i, odpovídající tlaku p i =  gz i při jejím ústí

30 09. 04. 201230 Použití Bernoulliho rovnice VII Z obou rovnic : Pro rychlost v 1 a průtok Q platí po úpravě :

31 09. 04. 201231 Viskózní kapaliny I Při proudění reálných tekutin se sousední vrstvy ovlivňují tečným napětím, které závisí na vzájemné rychlosti vrstev a viskozitě tekutiny. Mějme tekutinu proudící ve směru osy x. Potom pro tečné napětí, čili napětí působící ve směru proudění, platí Newtonův zákon:

32 09. 04. 201232 Viskózní kapaliny II Pro přesné pochopení fyzikálního významu viskozity uvažujme například válcovou nádobu s míchadlem a tento vztah ve tvaru : Má-li se míchadlo točit stejnou rychlostí je pro viskóznější kapalinu potřeba většího momentu síly a tedy i výkonu motoru. Chceme-li pro danou kapalinu zvýšit rychlost míchání je opět potřeba většího momentu síly.

33 09. 04. 201233 Viskózní kapaliny III dynamická viskozita  (éta) – míra odporu tečení [  ] = kg m -1 s -1 = Nm -2 s = Pa s Starší jednotka Poise [P]=gcm -1 s -1 =0.1 Pa s Převrácená hodnota se nazývá tekutost:  = 1/  Často se používá viskozita vztažená na hustotu, tzv. kinematická viskozita (ný) =  /  D je gradient rychlosti rovný časové změně deformace ve střihu.střihu

34 09. 04. 201234 Viskózní kapaliny IV Dynamická a kinematická viskozita některých kapalin:  (éta) [Pa s] (ný) [m 2 /s] ETOH 1.2 10 -3 1.51 10 -6 rtuť 1.5 10 -3 1.16 10 -7 benzín2.9 10 -4 4.27 10 -7 olej0.262.79 10 -4 voda1.00510 -3 0.804 10 -6

35 09. 04. 201235 Viskózní kapaliny V Viskozita : snižuje průtok kapaliny (za daných podmínek) způsobuje, že rychlost v protékaném průřezu není konstantní, ale má určité rozložení, u krajů je minimální (nulová) a uprostřed maximální. Ukážeme, že v (proudové) trubici kruhového průřezu je rozložení rychlosti na vzdálenosti od osy parabolické.

36 09. 04. 201236 Viskózní kapaliny VI Mysleme si v laminárně a rovnoměrně proudící kapalině váleček o poloměru y. Na podstavy působí tlakové síly (p 1 > 0, p 2 < 0) plášť síla způsobená třením okolních vrstev. Pohybuje-li se válec rovnoměrně, musí být všechny síly na něj působící, tedy síly působící na podstavy plus na plášť v rovnováze :

37 09. 04. 201237 Výpočet objemu proteklé tekutiny potrubím při laminárním proudění r Směr pohybu tekutiny F1F1 F2F2 FtFt 2y2y p1p1 p2p2

38 09. 04. 201238 Viskózní kapaliny VIII Předpokládejme, že p 1 > p 2 a tedy kapalina se pohybuje ve směru růstu souřadnice x. Znaménko + by znamenalo, že by třecí síla měla směr rychlosti. Protože první člen je kladný, musí být třecí síla záporná, čili brzdící a rychlost klesá směrem od osy.

39 09. 04. 201239 Viskózní kapaliny IX Po zavedení  p = p 1 – p 2 a úpravě : Po integraci :

40 09. 04. 201240 Viskózní kapaliny X Uvažujeme-li trubici o poloměru r. Obdržíme hodnotu integrační konstanty k z okrajové podmínky v(r) = 0 : a celkově dostáváme parabolickou závislost :

41 09. 04. 201241 Viskózní kapaliny XI Důležitou a snadněji měřitelnou veličinou je průtok. Celkový průřez musíme rozdělit na mezikruží o poloměru y, v nichž je vždy rychlost konstantní: Celkový průtok obdržíme integrací : To je známá Hagen-Poiseuillova rovnice.

42 09. 04. 201242 Rozložení rychlosti při laminárním proudění potrubím kruhového průřezu r y v(y) v max

43 09. 04. 201243 Elegantní měření- pád kuličky ve viskózní kapalině G FVFV FSFS Působící síly: tíha, vztlak, odpor Koule nerovnoměrně zrychluje až do vyrovnání působících sil:

44 09. 04. 201244 Viskózní kapaliny XIV Stokesův zákon: Na kuličku o poloměru r, která se pohybuje malou rychlostí v v kapalině působí brzdící síla F = 6  rv  Kulička o hustotě  bude po ustálení rovnováhy padat v kapalině  0 konstantní rychlostí v t :

45 09. 04. 201245 Viskózní kapaliny XV Laminární proudění brzdící síla je úměrná rychlosti rychlost je úměrná r 2 střední rychlost vyplývající z H-P rovnice =Q v /S je také úměrná r 2 a tlakovému spádu Za mezí Stokesova zákona : Často je brzdící síla úměrná v 2 : F d = C d Sv 2 C d je parametr, který závisí na tvaru

46 09. 04. 201246 Viskózní kapaliny XVI Pro posouzení, zda je proudění ještě laminární se používá tzv. Reynoldsovo číslo. pro kuličku o poloměru r, pohybující se rychlostí v pro kapalinu pohybující se střední rychlostí v trubici o poloměru r platí : Pro R >1000 se považuje proudění za turbulentní (ve jmenovateli posledního výrazu je řecké (ný), tedy kinematická viskozita!)

47 09. 04. 201247 *Dynamika krevního oběhu I Na základě práce Dr. J. Tulky Krevní oběh je udržován srdcem. Levá část síň -> komora pumpuje krev do velkého (tělního) oběhu a pravá část do malého oběhu (plic). Krev v aortě : = 0.3 ms -1 r = 0.01 m  = 1060 kg m -3  = 3.3 10 -3 Pa s R  970 proudění je těsně ještě laminární.

48 09. 04. 201248 * Dynamika krevního oběhu II Ve velkých žilách proudí krev pomaleji, jen rychlostí = 0.1 ms -1 a ve vlásečnicích dokonce jen rychlostí = 0.001 ms -1. Pomocí rovnice kontinuity můžeme odhadnout, že celkový průřez vlásečnic je 300 krát větší než průřez aorty velkých žil je 3 krát větší než průřez aorty

49 09. 04. 201249 * Dynamika krevního oběhu III Podle H-P zákona je tlakový spád nepřímo úměrný čtvrté mocnině poloměru trubice. K největšímu spádu tedy musí docházet v arteriální sekci : aortaplicnice systola16 kPa (120 torr)3.3 kPa diastola10.5 kPa (80 torr)1.3 kPa

50 09. 04. 201250 * Dynamika krevního oběhu IV Práce srdce bývá vyjadřována jako součet statické – objemové dodávající tlakovou energii kinetické – dodávající kinetickou energii odpovídající příslušné střední rychlosti : Pro střední hodnoty V = 70 ml a p = 13.3 kPa je W o = 0.93 J a W k = 0.003 J, tedy W = 0.94 J

51 09. 04. 201251 * Dynamika krevního oběhu V Práce pravé komory je asi jedna pětina práce komory levé. Celková mechanická práce srdce při jedné systole je tedy asi 1.13 J. Při tepové frekvenci 70 min -1 je výkon srdce přibližně 1.3 W. Tato hodnota představuje jen asi jednu desetinu celkového mechanického výkonu srdce. Převažující část se spotřebuje na udržování stálého napětí (tonusu) srdeční svaloviny.

52 09. 04. 201252 * Dynamika krevního oběhu VI Celkový srdeční výkon je tedy 13 W, což představuje přibližně 13% celkového klidového výkonu organismu. Srdce ale funguje nepřetržitě řadu let. Za 60 let života vykoná práci 2.5 GJ, což je : 3 s výkonu Chvaletické elektrárny Vyzdvižení 30 t břemene na Mt. Everest

53 09. 04. 201253 Základy reologie I Reologie se zabývá deformacemi látek za reálných podmínek Tyto deformace mohou být obecně velmi komplikované a záviset na mnoha faktorech. Proto je reologie velice rozsáhlá a otevřená oblast výzkumu. Zde uvedeme příklad chování některých ne- Newtonovslých kapalin a visko-elastického chování. S. Pirkl : “Reologie a reometrie kapalin”

54 09. 04. 201254 Základy reologie II Ideálně může být deformace elastická – při ní se těleso po odstranění napětí vrátí do původního stavu a nedochází ke ztrátám energie – modelujeme pružinou plastická – po odstranění napětí zůstává trvalá deformace a dochází ke ztrátám energie – modelujeme tělesem, které táhneme se třením viskózní tečení – trvalá deformace je velká – modelujeme nádobou s perforovaným pístem Reálné deformace jsou zpravidla jejich kombinací

55 09. 04. 201255 neNewtonovské kapaliny – vliv proudění Klid Proudění Změna orientace Napřímení Deformace Rozmělnění

56 09. 04. 201256 Typy ne-Newtonovských kapalin Pseudoplastické - viskozita klesá s rostoucím gradientem rychlosti Dilatantní - viskozita roste s rostoucím gradientem rychlosti Binghamské – k toku dochází po překročení určitého smykového napětí Newtonovská dv/dx τ Tokové křivky

57 09. 04. 201257 Základy reologie III Zdánlivá viskozita může záviset také na době namáhání. Tokové křivky mají potom hysterezní chování. Příkladem jsou látky: tixotropní – u nichž viskozita s časem klesá reopektické – u nichž viskozita s časem roste

58 09. 04. 201258 Základy reologie IV Visko-elastické chování se často měří při namáhání látky harmonickým napětím. Odezva bude také harmonická, ale následkem ztrát fázově zpožděná. Můžeme ji tedy charakterizovat komplexním modulem. Jeho reálná část odpovídá elastickému chování a imaginární ztrátám. Existuje také např. visko-plastické chování.

59 09. 04. 201259 Deformace Odezva látek je vždy úměrná rozměru před deformací, proto je užitečné ji k tomuto původním rozměru vztáhnout. Podle typu deformace používáme například relativní prodloužení Střih dx dy stlačení v

60 Skalární součin Ať Definice I (ve složkách) Definice II Skalární součin je součin velikosti jednoho vektoru krát průmět velikosti vektoru druhého do jeho směru. ^

61 Příklad - potenciál I Spočítejme práci, kterou musíme (jako vnější činitel) dodat pro přemístění hmotnosti m z r A do r B v centrálním poli jisté hmotnosti M. Závisí jen na vzdálenostech od tělesa a práci musíme dodávat jen při zvětšování r, protože působíme proti přitažlivé síle.

62 Příklad - potenciál II Tuto práci chápeme jako přírůstek potenciální energie srovnáním

63 Příklad - potenciál III Práce dodaná tělesu vnějším činitelem zvýší jeho potenciální energii. Tu obecně definujeme včetně integrační konstanty C, dané kalibrací: Často předpokládáme, že potenciální energie v nekonečnu je nulová, což odpovídá C=0 : ^

64 Gradient I Je vektor sestrojený z diferenciálů funkce f ve směrech jednotlivých souřadných os. Je používán k odhadu změny funkce f provedeme-li elementární posun.

65 Gradient II Změna je druhý člen. Je to skalární součin. K největší změně dochází, je-li elementární posun paralelní ke směru gradientu. Jinými slovy má gradient směr největší změny funkce f ! ^

66 První kosmická rychlost pro Měsíc Takové rychlosti může dosáhnout speciální střela a rozhodně také molekuly plynu, který by tvořil atmosféru Měsíce. Proto Měsíc atmosféru nemá a ani by se ji tam nepodařilo vytvořit. ^

67 Relativistické efekty při urychlování elektronu Relativistické efekty se začínají výrazněji projevovat, dosáhne-li rychlost c/10= 3 10 7 ms -2. Jaké urychlovací napětí je potřebné k dosažení této rychlosti ? Ze zachování energie : mv 2 /2 = q U U=mv 2 /2e=9 10 14 /4 10 11 = 2.5 kV ! ^

68 Dvě 1 g Fe kuličky, 1 m od sebe se přitahují silou 10 N. Jaký je jejich přebytečný náboj? Přebytečný náboj : ^ Celkový a přebytečný /celkový náboj :

69 Korekce g na rotaci Země I Srovnejme tíhu tělesa na pólu a na rovníku : ^

70 Korekce g na rotaci Země II Přesný výpočet vyžaduje vzít v úvahu zploštění Země, na rovníku cca 21 km. V zeměpisných šířkách mezi rovníkem a pólem je nutno vzít v úvahu i fakt, že odstředivé zrychlení působí kolmo k ose otáčení, takže výsledné tíhové zrychlení nesměřuje přesně do středu Země. ^