Galoisova tělesa Bakalářská práce , Brno

Prezentace na téma: "Galoisova tělesa Bakalářská práce , Brno"— Transkript prezentace:

1 Galoisova tělesa Bakalářská práce 23. 11. 2014, Brno
Připravil: Martin Horák Galoisova tělesa Bakalářská práce

2 Vytvoření výukové aplikace pro Galoisova tělesa
Kapitola 1 Cíl práce Vytvoření výukové aplikace pro Galoisova tělesa Generování prvků Matematické operace s prvky Vysvětlení procesů v aplikaci Využití Galoisových těles v praxi (AES)

3 Galoisova tělesa Galoisovo těleso = alespoň dvouprvková množina F, spolu se dvěma operacemi (sčítání, násobení) Sčítání komutativní, neutrální prvek 0 Násobení komutativní, neutrální prvek 1 Označení GF(pm) Základem je generujicí ireducibilní polynom (stupně m)

4 Galoisova tělesa - prvky
Generování prvků První prvek 0, druhý 1, Další prvek = předchozí prvek * x Pokud stupeň nového polynomu >= stupeň řídícího polynomu → dělení Nový prvek = zbytek po dělení Počet prvků je pm

5 Galoisova tělesa - operace
Sčítání –koeficienty stejného řádu s = (a + b) mod soustava Odčítání – sčítání s inverzním prvkem s = x – y → s = x + inv(y) Násobení – násobení polynomů, násobení koeficientů Dělení – násobení inverzním prvkem s = x / y → s = x * inv(y)

6 Využití v kryptografii Eliptické křivky
Algoritmus ECDSA (DSA), standard pro digitální podpis AES Celosvětově rozšířená, WIFI (WPA2) Využíváno GF(28)

7 Aplikace Požadavky Řešení Zadání řídicího polynomu
Výběr číselné soustavy Generování prvků + operace (Cíl práce) Řešení Webová aplikace (dostupnost, software) PHP

8 Chod aplikace Zadání řídicího polynomu (popř. změna soustavy) Kontrola nulový polynom, ireducibilita Generování prvků Výpis prvků (včetně vysvětlení) Možnost matematických operací (včetně popisu)

9 Aplikace Zadání Popis procesu generování

10 Aplikace Prvky Matematické operace

11 Závěr Navržena aplikace pro Galosiova tělesa Možnost o rozšíření dalších funkcí nad GF (AES)

12 Děkuji za pozornost