Aproximace parciálních diferenciálních rovnic – Galerkinova metoda

Prezentace na téma: "Aproximace parciálních diferenciálních rovnic – Galerkinova metoda"— Transkript prezentace:

1 Aproximace parciálních diferenciálních rovnic – Galerkinova metoda
Obecná diferenciální rovnice, A – diferenciální operátor - přesné řešení – funkce f – libovolná funkce Přesné řešení je aproximováno lineární kombinací konečného počtu bázových funkcí – přibližné řešení je hledáno v konečném Hilbertově prostoru. (Mělo-li by v rámci dané aproximace hledané řešení odpovídat řešení přesnému, musel by prostor bázových funkcí být nekonečný). Aproximace nesplňuje diferenciální rovnici přesně Vzniká reziduum r, které je „váženo“ ortogonalizací vzhledem k nějaké váhové funkci w Podmínka ortogonality Obecný skalární součin

2 Aproximace parciálních diferenciálních rovnic – Galerkinova metoda
Aproximovaná funkce je tzv. slabým řešením Rovnice s váhovou funkcí splňuje výchozí diferenciální rovnici v integrálním – slabém smyslu pouze na dané oblasti Po dosazení aprox. funkce – rovnice má n neznámých u1, u2, …, un Pro řešení nutno napsat n rovnic – prostřednictvím váhových funkcí w1, w2, …, wn Galerkinova metoda používá jako váhové funkce přímo funkce bázové z prostoru H

3 Aproximace parciálních diferenciálních rovnic – řešení stacionárních problémů Galerkinovou metodou, resp. konečných prvků Metoda konečných prvků – integrální lokální oblast Ω odpovídá prostorovému prvku, který je konstruován pomocí bázových funkcí. Prvky vyplňují celou oblast řešení. Např. čtyřúhelníkový prvek

4 Aproximace parciálních diferenciálních rovnic – řešení stacionárních problémů Galerkinovou metodou, resp. konečných prvků Platí:

5 Aproximace parciálních diferenciálních rovnic – řešení stacionárních problémů Galerkinovou metodou, resp. konečných prvků

6 Aproximace parciálních diferenciálních rovnic – řešení časově závislých problémů metodou konečných prvků Nestacionární vedení tepla Diskretizace dle Galerkinovy metody – nový časový člen

7 Aproximace parciálních diferenciálních rovnic – řešení časově závislých problémů metodou konečných prvků Řešení časové závislosti jako problému vlastních čísel Tj. první činitel je závislý pouze na prostorově a druhý exp pouze na čase Po dosazení do diskretizované rovnice

8 Aproximace parciálních diferenciálních rovnic – řešení časově závislých problémů metodou konečných prvků