Matice přechodu.

Prezentace na téma: "Matice přechodu."— Transkript prezentace:

1 Matice přechodu

2 Matice přechodu od báze U k bázi V U  V
Báze U = u1, u2, u3 u1 = (1, 1, 1) u2 = (0, 1, 1) u3 = (0, 0, 1) xU = (1, 1, 1) Báze V = v1, v2, v3 v1 = (1, 0, 0) v2 = (0, 1, 0) v3 = (0, 0, 1) xV = ?

3 u1 = a1v1 + a2v2 + a3v3 u2 = b1v1 + b2v2 + b3v3 u3 = c1v1 + c2v2 + c3v3

4 u1 = a1v1 + a2v2 + a3v3 u2 = b1v1 + b2v2 + b3v3 u3 = c1v1 + c2v2 + c3v3 (1, 1, 1) = a1 (1, 0, 0) + a2 (0, 1, 0) + a3 (0, 0, 1) (0, 1, 1) = b1 (1, 0, 0) + b2 (0, 1, 0) + b3 (0, 0, 1) (0, 0, 1) = c1 (1, 0, 0) + c2 (0, 1, 0) + c3 (0, 0, 1)

5 (1, 1, 1) = 1 (1, 0, 0) + 1 (0, 1, 0) + 1 (0, 0, 1) (0, 1, 1) = 0 (1, 0, 0) + 1 (0, 1, 0) + 1 (0, 0, 1) (0, 0, 1) = 0 (1, 0, 0) + 0 (0, 1, 0) + 1 (0, 0, 1)

6 Změna souřadnic při změně báze

7 A je matice přechodu U  V
Známe-li souřadnice vektoru x vzhledem k bázi U, lze vypočítat jeho souřadnice vzhledem k bázi V

8 A je matice přechodu U  V
Známe-li souřadnice vektoru x vzhledem k bázi V, lze vypočítat jeho souřadnice vzhledem k bázi U

9 Determinanty

10 Každé čtvercové matici A řádu n lze jednoznačně přiřadit
reálné číslo det(A), které nazýváme determinant matice A

11 Determinant matice A je součet n! členů, včetně znaménka
Člen determinantu je součin n činitelů, z nichž žádné dva nejsou z téhož řádku ani z téhož sloupce

12

13 Sarrusovo pravidlo

14 Přiřaďte členům znaménka podle počtu inverzí:
c11c22c33 c12c21c33 c11c23c32 c13c22c31 c12c23c31 c13c21c32 (1 2 3) (2 1 3) (1 3 2) (3 2 1) (2 3 1) (3 1 2) 1 3 2 + -

15 Vypočítejte determinant
p = 1 det(A) = –12

16 Vypočítejte determinant
p = 0 det(B) = 6

17 Vypočítejte determinant
p = 6 det(C) = 8

18 Pravidla pro výpočet determinantů
Obsahuje-li matice nulový řádek nebo nulový sloupec, je hodnota determinantu rovna nule. det(A) = 0

19 Pravidla pro výpočet determinantů
det(A) = det(AT) Všechna pravidla, která vyslovíme pro řádky matice platí i pro sloupce matice.

20 Zaměníme-li dva řádky v matici, determinant změní znaménko.
Záměna dvou řádků Zaměníme-li dva řádky v matici, determinant změní znaménko. Obsahuje-li matice dva stejné řádky, je determinant roven nule. det(A) = – det(A) = 0

21 Vynásobení řádku reálným číslem
Vynásobíme-li řádek matice číslem c, determinant se zvětší c-krát.

22 Přičtení násobku jiného řádku
Přičteme-li k jednomu řádku matice c násobek jiného řádku, determinant se nemění.

23 Subdeterminant Aij matice A příslušným k prvku aij nazýváme determinant matice, která vznikne z matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce

24 Algebraický doplněk Dij
příslušný k prvku aij nazýváme výraz Dij = (–1)i+j Aij

25 det(A) = ai1Di1 + ai2Di2 + ainDin
Rozvoj determinantu Determinant se rovná součtu součinů prvků libovolného (i-tého) řádku a k nim příslušných algebraických doplňků. det(A) = ai1Di1 + ai2Di2 + ainDin

26

27 Praktický výpočet determinantů:
Rozvoj determinantu provádíme podle řádku (sloupce), kde je nejvíce nul. Nejsou-li v žádném řádku (sloupci) nuly, můžeme determinant upravit tak, abychom v určitém řádku (sloupci) získali všechny prvky s výjimkou jednoho nulové.

28 Singulární matice Čtvercová Závislé řádky a sloupce
Neexistuje inverzní matice Determinant je roven nule

29 Regulární matice Čtvercová Nezávislé řádky a sloupce
Existuje inverzní matice Determinant nenulový

30 Inverzní matice k regulární matici je regulární matice.
Pro determinant matice inverzní k matici A platí:

31 Adjungovaná matice každý prvek aij nahradíme jeho algebraickým doplňkem Dij a takto vzniklou matici transponujeme

32 Buď A regulární matice. Potom matice k ní inverzní
Inverzní matice Buď A regulární matice. Potom matice k ní inverzní

33 Určete inverzní matici
det(A) = = – 3 – 20 – 18 = = 1  0  A-1 existuje

34

35