polynom proměnné x f = anxn + an-1xn-1 + ……. + a0

Prezentace na téma: "polynom proměnné x f = anxn + an-1xn-1 + ……. + a0"— Transkript prezentace:

1 polynom proměnné x f = anxn + an-1xn-1 + ……. + a0
např.: f = 2x5 – 3x2 + 5x + 1

2 f = anxn + an-1xn-1 + ……. + a0 akxk členy a0 absolutní člen
ak koeficienty an vedoucí koeficient n  N0 stupeň polynomu

3 vedoucí koeficient an = 1
normovaný polynom vedoucí koeficient an = 1 f =  xn  + an-1xn-1 +  ……. + a0   např.: f =  x3  +  4x2 – 5

4 nulový polynom a polynom stupně nula
konstantní polynom nulový polynom a polynom stupně nula f = 0 f = a0

5 lineární polynom polynom stupně 1 f = a1x + a0 f = 5x + 1

6 kvadratický polynom polynom stupně 2 f = a2x2 + a1x + a0
f = 3x2 + 5x + 1

7 kubický polynom polynom stupně 3 f = a3x3 + a2x2 + a1x + a0
f = 2x3 + 3x2 + 5x + 1

8 uspořádaná n-tice f = (an, an-1, …, a0) f =  anxn  + an-1xn-1 +  ……. + a0

9 rovnost polynomů f = (an, an-1, …, a0) a g = (bn, bn-1, …, b0)
f = g   ai = bi pro i = 0, 1, …, n

10 součet polynomů f + g f = 2x3 + 3x2 – 5x + 2 g = 2x2 + x – 4 f + g =

11 rozdíl polynomů f – g f = 2x3 + 3x2 – 5x + 2 g = 2x2 + x – 4 f – g =

12 součin polynomů f.g f = x – 4 g = x2 – 5x + 2 f.g =
= x.(x2 – 5x + 2) – 4.(x2 – 5x + 2) = = x3 – 5x2 + 2x – 4x2 + 20x – 8 = = x3 – 9x2 + 22x – 8

13 Dělení polynomu f polynomem g
st(f) = n st(g) = m Pak existují právě jeden polynom d a právě jeden polynom z takové, že x  C platí: f = g.d + z  st(z) < st(g) d podíl z  zbytek

14 Dělte polynomy: (2x3 + 3x2 – x + 2) : (x + 3) = 2x2 – 3x + 8 2x3 + 6x2
– 22

15 polynom g je dělitelem polynomu f značíme g  f
f = g.d + z polynom g  0 dělí polynom f právě tehdy, když zbytek z je roven nule tedy: f = g d polynom g je dělitelem polynomu f značíme g  f

16 Pomocná tvrzení Polynom g nultého stupně je dělitelem každého polynomu. (2x3 + 3x2 – x + 2) : 4 = ½x3 + ¾x2 – ¼x + ½ Jestliže g  f, f  0, pak st g  st f. f = g d st f = st g + st d 0  st g a 0  st d st g  st f

17 Pomocná tvrzení Jestliže h  g a g  f, pak h  f.
Jestliže g  f, pak c.g  f, kde c je libovolné nenulové číslo.

18 Společný dělitel dvou polynomů
Polynom, který dělí dva dané polynomy se nazývá jejich společným dělitelem.

19 Polynom nultého stupně je dělitelem každého polynomu.
Polynom nultého stupně je společným dělitelem libovolných dvou polynomů. Nesoudělné polynomy nemají již žádného dalšího společného dělitele Každé dva polynomy mají společného dělitele.

20 Největší společný dělitel
Společný dělitel d polynomů g a f se nazývá jejich největším společným dělitelem právě tehdy, když je dělitelný libovolným společným dělitelem polynomů g a f. Symbolicky: 1. d  f a d  g 2. e  f a e  g  e  d

21 Jestliže g  f, pak c.g  f, kde c je libovolné nenulové číslo.
d = NSD (g, f)  c.d = NSD (g, f), kde c  0 Ten, jehož vedoucí koeficient je 1 nazveme NSD(g, f).

22 Euklidův algoritmus f a g jsou nenulové polynomy
f : g = d1 (z1) kde st z1 < st g g : z1 = d2 (z2) kde st z2 < st z1 z1 : z2 = d3 (z3) kde st z3 < st z2 . . . zk-2 : zk-1 = dk (zk) kde st zk < st zk-1 zk-1 : zk = dk+1 (0) st g > st z1 > st z2 > …. > 0 zk je poslední nenulový zbytek, tj. NSD(g, f)

23 Výpočet NSD pracujeme jenom se zbytky prováděných dělení
je jedno, zda k výpočtu použijeme daný zbytek nebo libovolný jeho nenulový konstantní násobek můžeme v kterémkoli kroku kteréhokoliv dělení v Euklidově algoritmu násobit kterýkoliv z polynomů libovolným nenulovým číslem při praktických výpočtech se vyhneme zlomkům, které by komplikovaly výpočet

24 Kořeny polynomu

25 Kořen cC polynomu f f = anxn + an-1xn-1 + ……. + a1x + a0  f(c) = 0
kořen algebraické rovnice anxn + an-1xn-1 + ……. + a1x + a0 = 0

26 Je c = –1 kořen polynomu x4 – 2x3 – 7x2 + 8x + 12?
(–1)4 – 2.(–1)3 – 7.(–1)2 + 8.(–1) + 12 = = – 7 – = 0 Algebraická rovnice x4 – 2x3 – 7x2 + 8x + 12 = 0 má kořen x1 = –1

27 kořen polynomu stupně 1 f = a1x + a0 c = –a0/a1 f = 5x + 3 c = –3/5

28 kořeny polynomu stupně 2
f = a2x2 + a1x + a0 má v C dva kořeny např.: x2 – 2x – 3 má kořeny x1 = 3 a x2 = –1

29 Nejjednodušší příklady
kořen nulového polynomu f = 0 cC kořen polynomu stupně nula f = a nemá žádný kořen

30 Podíl d je polynom stupně n –1 s vedoucím koeficientem bn-1 = an.
Bézoutova věta Číslo c je kořenem polynomu f = anxn + an-1xn-1 + ……. + a1x + a0  (x–c)f Podíl d je polynom stupně n –1 s vedoucím koeficientem bn-1 = an.

31 Podíl d je polynom stupně 5 s vedoucím koeficientem 1
f = x6 – 6x5 + 9x4 + 8x3 – 24x Dokažte, že c = 2 je kořenem polynomu f (x – 2) ( x6 – 6x5 + 9x4 + 8x3 – 24x ) ( x6 – 6x5 + 9x4 + 8x3 – 24x ) : (x – 2) = = x5 – 4x4 + x3 + 10x2 – 4x – 8 Podíl d je polynom stupně 5 s vedoucím koeficientem 1

32 x – 2 nazýváme kořenovým činitelem polynomu f.
Kořenový činitel ( x6 – 6x5 + 9x4 + 8x3 – 24x ) = (x – 2).(x5 – 4x4 + x3 + 10x2 – 4x – 8) 2 je kořen polynomu f, x – 2 nazýváme kořenovým činitelem polynomu f.

33 Vícenásobný kořen Číslo c se nazývá
k-násobný kořen polynomu f, jestliže (x–c)k dělí polynom f a (x–c)k+1 nedělí polynom f. Je-li k = 1, říkáme, že kořen c je jednoduchý.

34 c je k-násobným kořenem polynomu f
 (x–c)k f f = (x–c)k . g

35 Dělení daného polynomu f polynomem x–c.
f = (x–c) . g + f(c) ověřování, zda c je kořen polynomu f zjišťování násobnosti kořene c výpočet zbytku po dělení polynomu f polynomem x – c [je roven f(c)]

36 Hornerovo schéma f = x6 – 6x5 + 9x4 + 8x3 – 24x2 + 16
Dokažte, že c = 2 je kořenem polynomu f 1 –6 9 8 –24 16 2 1 –4 1 10 –4 –8 f = (x – 2).(x5 – 4x4 + x3 + 10x2 – 4x – 8)

37 Základní věta algebry. Každý polynom f stupně n  1 má
alespoň jeden komplexní kořen (tj. buď reálný, nebo imaginární).

38 D´Alembertova věta. Počítáme-li každý k-násobný kořen za k kořenů, má polynom f stupně n  1 právě n komplexních kořenů. Označíme-li tyto kořeny c1 … cn je možné polynom f rozložit na tvar f = an(x – c1)(x – c2) … (x – cn).

39 polynom f (st f  1) je reducibilní (rozložitelný)
právě tehdy když existují polynomy g, h (st g  1, st h  1) takové, že f = g.h. Jinak je polynom f ireducibilní (nerozložitelný). Polynomy g a h nazýváme faktory.

40 Příklady reducibilních a ireducibilních polynomů
Lineární polynom f = a1x + a0 = a1(x-c) (kde c je kořen) ireducibilní Kvadratický polynom f = a2x2 + a1x + a0 = a2(x-c1)(x-c2) reducibilní

41 Polynomy vyššího stupně než 2
f = anxn + an-1xn-1 + ……. + a1x + a0 jsou vždy reducibilní: f = an(x – c1)(x – c2) … (x – cn) (podle D´Alembertovy věty)