Doc. Miloš Steinhart, UAFM UPCE EA , tel (026)

Prezentace na téma: "Doc. Miloš Steinhart, UAFM UPCE EA , tel (026)"— Transkript prezentace:

1 Doc. Miloš Steinhart, UAFM UPCE EA 06 036, tel. 466 036 029 (026)
FIIFEI_12 Úvod do moderní fyziky Co předcházelo kvantové fyzice Základní myšlenky kvantové fyziky Doc. Miloš Steinhart, UAFM UPCE EA , tel (026)

2 Hlavní body Částicové vlastnosti vln Vlnové vlastnosti částic
Záření černého tělesa – Planckův zákon Fotoelektrický jev Comptonův jev Vlnové vlastnosti částic DeBrogliovy vlny Elektronová difrakce Představy o stavbě atomu, Rentgenovo záření, Laser Hlavní myšlenky kvantové fyziky

3 Pád klasické fyziky Na přelomu 19. a 20. století se nahromadily experimenty, které ukazovaly na principiální odlišnosti mikrosvěta a světa makroskopického. Nejzávažnější výsledky ukazovaly na dualismus vln a částic a s ním související kvantování mikroskopických veličin. Popis, který si mikrosvět vyžádal je bohužel daleko od běžných zkušeností a selského rozumu. Klasická fyzika je v makrosvětě zpravidla dobrou aproximací, ale kvantové jevy zasahují i nutně sem. Tedy existují makroskopické jevy, jejichž výsledek je způsoben kvantovým chováním.

4 Záření černého tělesa I
Ze zkušenosti víme, že jsme schopni cítit sálání blízkého teplého tělesa. Kromě kondukce a konvekce se totiž tepelná energie přenáší i EMA zářením - radiací. Při teplotách do cca 700° C je záření hlavně v infračervené oblasti. Při teplotách vyšších se objevuje výrazněji i jeho viditelná složka. Musíme si uvědomit význam přenosu energie radiací: Existence života na Zemi je téměř zcela založená na získávání radiační energie od Slunce.

5 Záření černého tělesa II
Při studiu tepelného záření je nutné jej oddělit od záření odraženého. Používáme idealizaci a mluvíme o dokonale černém tělese, jehož veškeré vyzařování je tepelné. Kromě schopnosti vyzařovat má každé těleso schopnost též záření absorbovat. Gustav Robert Kirchhoff ukázal, že tyto schopnosti jsou úměrné a když těleso dobře absorbuje, musí též dobře emitovat.

6 Záření černého tělesa III
V roce 1879 objevil Josef Stefan zákon, který by později (1884) teoreticky odůvodněn Ludwigem Boltzmanem : Z plochy S z materiálu s emitivitou  o teplotě T odchází radiací tepelný výkon konstanta  = Wm-2K-4 Je tedy zřejmé, že odvod tepla můžeme ovlivnit emitivitou povrchu. Pro studium vlastností zářiče je ale vhodné, aby záření bylo blízké záření černého tělesa. Koncem 19. století byl objeven systém zářící, jako d.č.ť.

7 Záření černého tělesa IV
Záření dopadající z vnějšku je dokonale pohlceno. (Podobně jako u oka) Spektrum vycházejícího záření závisí pouze na teplotě tělesa.

8 Záření černého tělesa V
Nepřekonatelnou obtíž však s sebou přinášely pokusy o popis spektrálního chování teplotní závislosti intenzity záření černého tělesa. Dílčího úspěchu dosáhl v roce 1896 W. Wien, který formuloval empirický zákon, podle něhož se chovají maxima spektrálního rozdělení : m je vlnová délka odpovídající maximu rozdělení

9 *Záření černého tělesa VI
Na přelomu 19. a 20. století ještě vznikla teorie Rayleigh-Jeansova, která popisovala dobře dlouhovlnnou oblast spektra. Neexistovala ale teorie, která by dokázala popsat celé chování. Průlomem byl až (zpočátku empirický) vztah Maxe Plancka ( ) (nyní Planckův zákon): k = J/K je Boltzmanova konstanta a h = J s = eV s je Planckova konstanta

10 Záření černého tělesa VII
Planckův zákon byl průlomem nejen proto, že vysvětloval záření černého tělesa, ale předpokládal systém skládající se z malých oscilátorků, jejichž energie nemohou dosáhnout libovolné hodnoty, ale jsou diskrétní : M. Planck považoval diskrétnost energií za pomůcku, díky níž bylo možné interpretovat data. Revolučnost myšlenky, že energie v mikrosvětě je kvantovaná veličina, rozeznal až Albert Einstein v roce 1905.

11 Záření černého tělesa VIII
Záření černého tělesa a jeho rozuzlení Planckův zákon jedním z jevů, které si vyžádaly vznik nového popisu mikrosvěta – kvantové teorie. Kromě toho lze použít k velmi praktickým účelům, jako je bezkontaktní měření teploty od vysokých teplot v tavných pecích po teploty hvězd nebo reliktní záření v kosmu…

12 Pyrometr s mizejícím vláknem – měření teploty
Záření černého tělesa IX Pyrometr s mizejícím vláknem – měření teploty oko

13 Fotoelektrický jev I Jak název napovídá, spočívá fotoelektrický jev ve vyrážení elektronů z pevných látek následkem ozáření elektromagnetickým zářením (VIS, UV). Umístíme-li do blízkosti ozářené elektrody elektrodu další, vytvoří se mezi nimi (téměř okamžitě) rovnovážné napětí U, které odpovídá maximální kinetické energii, jakou mají elektrony vyražené za příslušných podmínek :

14 Fotoelektrický jev II Ukazuje se, že Ekmax nezávisí na intenzitě ale je lineární funkcí jeho frekvence. Jev ale existuje až za jistou prahovou frekvencí. Ta odpovídá minimální výstupní práci Wo, která je potřebná pro uvonění elektronů z látky a je materiálovým parametrem : To opět podporuje představu kvant záření.

15 Fotoelektrický jev III
Vlnové představě odporuje i kvantitativní rozbor rychlosti děje: Kdyby byl výkon záření rozdělen rovnoměrně v průřezu paprsku, trvalo by naakumulování energie, potřebné pro uvolnění elektronu v blízkosti průměrného atomu o mnoho řádů déle než je tomu u skutečného experimentu. S energií fotonů souvisí řada jevů od používání červené žárovky při vyvolávání fotomateriálů v temné komoře po důvod, proč jsou listy fotosyntézujících rostlin zelené. Měření rozdělení energií fotoelektronů = fotoemisní spektroskopie je důležitým principem metod měření povrchových vlastností látek, např. nanoESCA.

16 Comptonův jev I V roce 1923 zjistil A. Compton, že vlnová délka rozptýleného rtg. záření je větší než vlnová délka záření dopadajícího a navíc silně závisí na úhlu rozptylu. Z rozboru plyne, že jev je způsoben nepružnými srážkami elektronů a fotonů, kterým je nutné kromě energie přisoudit i hybnost. Příklad:

17 Comptonův jev II Elektron v pohybu po nárazu fotonu Dopadající foton Θ
E2 = hf2; E2 < E1 E1 = hf1 Foton po srážce s elektronem Elektron hmotnosti m v klidu před nárazem fotonu (5)

18 De Broglieho hypotéza I
Nejzávažnější výsledky ukazovaly na kvantování mikroskopických veličin a na dualismus částic a elektromagnetických vln. De Broglie vyslovil (na svou dobu a vzhledem k svému mládí odvážnou) hypotézu, že dualismus vln a částic je v mikrosvětě normální vlastnost. Vlny se tedy za určitých okolností projevují jako částice a naopak částicím majícím hybnost lze přiřadit vlnovou délku :

19 De Broglieho hypotéza II
Vychází se z analogie s fotony, u kterých E = hf a m0 = 0, což z STR vede na E = cp = hf . Je zřejmé, že vlny odpovídající makroskopickým tělesům jsou (zatím?) neměřitelně krátké, ale v mikrosvětě je tomu jinak : Běžící člověk (100 kg, 10 m/s)   m Brouk Pytlík (0.001 kg, 1 cm/s)   m Elektron ( kg, m/s)   m

20 De Broglieho hypotéza III
Obvod každé dráhy v Bohrově modelu je roven celistvému násobku De Broglieho vln. Další objevy daly De Brogliemu zapravdu. Brzy po vyslovení jeho hypotézy byla například objevena difrakce elektronů. Protože De Broglieho vlnová délka elektronů je opět srovnatelná s meziatomovými vzdálenostmi jedná se opět o významnou metodu strukturní analýzy. S vlnovými vlastnostmi elektronů je nutné také počítat při konstrukci elektronových mikroskopů a urychlovačů.

21 Difrakce elektronů na krystalu a tenké vrstvě
Zdroj elektronů Detektor Fólie Krystal Průsečnice kuželů s rovinou stínítka

22 Vlnová délka pro elektronový paprsek:
Difrakce elektronů na krystalu a tenké vrstvě Vlnová délka pro elektronový paprsek:

23 Bohrův model atomu I Jiným problémem bylo vysvětlit existenci diskrétních čar v atomových spektrech. Vlnočet u první známé (Balmerovy) serie spektrálních čar vodíku vyhovoval vztahu : n = 3, a R = m-1 je tzv. Rydbergova konstanta.

24 Bohrův model atomu II Později byly objeveny další serie čar a všechny se daly popsat jednou rovnicí : n = k+1, k+2, k+3 ... V UV oblasti k = 1 Lymanova V VIS oblasti k = 2 Balmerova V IR oblasti k = 3 Pashenova

25 Bohrův model atomu III V této době již byly známy elektrony a atomové jádro a existoval i planetární model. Jeho vadou byla ale skutečnost, že pohyb po uzavřené dráze je nutně pohybem zrychleným a elektrony by rychle vyzářily svou energii a za několik pikosekund spadly na jádro. Bohr skloubil planetární model s Planckovou kvantovou hypotézou.

26 Bohrův model atomu IV Postuloval, že elektrony mohou být trvale jen v určitých stacionárních energetických, stavech a vyzařují nebo přijímají energii pouze při přechodech mezi stavy podle : Energetické hladiny, ke kterým takto dospěl souhlasily se spektry i u některých dalších atomů (Z): Energie -E1 = eV je energie základního stavu H

27 Rentgenovo záření I V roce 1895 byl W. Röntgenem objeven i jev opačný k jevu fotoelektrickému : Při dopadu urychlených elektronů je z látek emitováno elektromagnetické záření s vlnovou délkou řádově m. Toto záření má složku spojitou (bílou), způsobenou zabržděním elektronů a složku charakteristickou, která odpovídá emisnímu spektru látky v rtg. oblasti.

28 Rentgenovo záření II Rtg. záření má vlnovou délku srovnatelnou s meziatomovými vzdálenostmi v molekulách a pevných látkách a proto má obrovský význam při studiu struktury látek metodami rtg. difraktometrie. Důležité jsou i metody rtg. spektroskopie, které zkoumají emisní a absorpční spektra látek a řada speciálních metod (EXAFS…).

29 Laser I Obrovský průlom do mnoha oblastí vědy byl objev laserového záření. Lasery jsou zdroje (IR, VIS, UV… ) záření, které je nebo může být : kolimované má malou rozbíhavost monochromatické intensivní koherentní

30 Laser II Laser je založen na jevu stimulované emise. Při ní vyvolá vhodný foton při interakci s excitovaným atomem další foton, který je jeho přesnou kopií. Volbou vhodných materiálů je možné dosáhnout inverzní populace excitovaných elektronů v nějakém metastabilním stavu na dostatečně dlouhou dobu a vhodným způsobem se spustí emise.

31 Laser III Laser bývá podlouhlého tvaru a jeho konce jsou částečná nebo úplná zrcadla, rovinná nebo dutá. Díky zrcadlům se fotony mnohonásobně vrací zpět do excitovaného media. Tím se vyvolá lavinový efekt právě v ose laseru a zúží jeho spektrum. Mediem laseru může průhledný krystal nebo plyn, jak je tomu např. u HeNe laseru. Excitace se vytváří zářením nebo chemicky. V poslední době se rychle rozvíjejí polovodičové lasery s důležitým použitím.

32 Kvantová teorie I Pro zatím nejlepší teorii, která se snaží o vysvětlení mikrosvěta a sporů s klasickou fyzikou se vžil název kvantová mechanika. Spíš by se ale hodil název pravděpodobnostní mechanika, protože její nejzávažnější a nejobtížněji „stravitelnou“ vlastností je právě fakt, že ukazuje, že popis mikrosvěta je principiálně možný pouze pomocí pravděpodobností. S tímto faktem se například nikdy nesmířil A. Einstein, přestože sám stál u kolébky kvantové teorie. Tvrdil, že „Bůh nehraje v kostky“

33 Kvantová teorie II Kvantová teorie vysvětluje chování mikrosvěta. Její extrapolace do makroskopického (normálního) světa ale musí souhlasit s dobře ověřenou fyzikou klasickou. Existuje totiž jen jeden svět! Tomuto přirozenému požadavku se říká princip korespondence. Přes všechny nesporné úspěchy kvantové teorie nezavrhujeme v makroskopické praxi klasické teorie, např. Newtonovy zákony nebo geometrickou optiku, protože jejich použití je mnohem jednodušší a přitom poskytuje často dostatečně přesné výsledky. Ne ale pokaždé! Vždy je nutné vědět, kde mají klasické teorie své hranice.

34 Vlnová funkce I Stejně postupujeme i u jiných mikroskopických částic.
Experimentálně je nade vší pochybnost dokázáno, že fotony se nedělí. Změna intenzity světla tedy vede ke změně jejich počtu. Neexistuje teorie ani teoretická možnost určit, kam dopadne jeden konkrétní foton. Teprve až bude fotonů obrovské množství bude zobrazení vypadat tak, jak očekáváme v závislosti na analýze příslušného zobrazovacího systému. Tu bychom mohli učinit nejobecněji pomocí kvantové elektrodynamiky (QED), která popisuje základní interakci elektronu a fotonu. V praxi ji však provádíme vždy s využitím nejednoduššího modelu, který ještě splňuje požadavek dané přesnosti: užitím představy paprsků pokud postačuje model geometrické optiky nebo pomocí skládání vln u difrakčních experimentů. Stejně postupujeme i u jiných mikroskopických částic.

35 Vlnová funkce II Provedeme-li s částicemi například vhodně navržený experiment s dvojitou štěrbinou, dostáváme obdobné výsledky jako s monochromatickým vlněním (světlem). Není tedy překvapivý předpoklad, že v pozadí existence částic je jakási hmotnostní nebo pravděpodobnostní vlna. V současné době se nazývá vlnová funkce. V analogiích lze pokračovat : Jak známo, intenzita světla v jistém bodě zobrazení je úměrná druhé mocnině intenzity elektrického pole EMA záření. Budeme-li ale zobrazovat foton po fotonu, můžeme intenzitu světla chápat jako pravděpodobnost dopadu fotonu do daného místa.

36 Vlnová funkce III Analogicky požadujeme, aby druhá mocnina amplitudy vlnové funkce byla rovná hustotě pravděpodobnosti výskytu příslušné částice v daném bodě a čase. Jedná se o komplexní veličinu, protože musí popsat i fázové posuny. Tedy vlnová funkce podobně jako amplituda elektrické intenzity EMA vlny závisí na poloze a na čase a sama o sobě není přímo měřitelnou veličinou. Uvědomme si, že například při difrakci EMA vln neumíme přímo měřit intenzitu elektrické ani magnetické složky EMA pole, ale jen intenzitu záření. Neznáme tedy fázi příchozích vln. To je obtíž například ve strukturní analýze, kde zkoumáme, strukturu ‘difrakční mřížky’. Nazývá se fázový problém.

37 Vlnová funkce IV Vlnovou funkci lze nicméně za příznivých okolností nalézt a vypočítat příslušné pravděpodobnosti. Aby to bylo co nejjednodušší musí být vlnová funkce zpravidla normovaná. Rozličné fyzikální veličiny lze získat působíme-li na vlnovou funkci vhodnými operátory. Například je operátor celkové energie a je operátor hybnosti.

38 Heisenbergův princip neurčitosti I
V klasické fyzice předpokládáme, že každé měření je zatíženo určitou chybou, ale zlepšováním přístrojů a metod lze tuto chybu neustále zmenšovat. V mikrosvětě se ale ukazuje, že výskyt určitých “chyb“ je principiální vlastností přírody, která nesouvisí přímo s vlastním měřením. Tento fakt musí kvantová mechanika respektovat. Pomocí měření se ale princip neurčitosti nejsnáze a nejčastěji vysvětluje. To vede sice k názorným ale často ne úplně správným představám.

39 H. princip neurčitosti II
Jedno z vyjádření Heisenbergova principu neurčitosti lze psát ve formě : Princip neurčitosti platí pro různé, tzv. nekompatibilní (nebo nekomutativní) dvojice veličin. Kromě souřadnice a odpovídající složky hybnosti mezi ně patří i čas a energie : Kompatibilní dvojice, např. x a py však společně ostrou hodnotu mít mohou. Neurčitosti vyplývající z Heisenbergova principu lze jistý jev chápat jako mezní dosažitelné.

40 Determinizmus versus pravděpodobnost I
Klasická mechanika je determistická – známe-li pohybové rovnice určitého tělesa a okrajové podmínky, jsme principiálně schopni určit její polohu a hybnost v libovolném čase v minulosti i budoucnosti. Mikrosvět deterministický není. Je to vidět třeba na předchozím příkladu zobrazování s použitím jednotlivých fotonů, kdy fotony vychází z jednoho zdroje, prochází stejným optickým systémem, ale každý dopadne někam a předem nelze určit kam. Kvantová teorie musí tuto principiální vlastnost mikrosvěta odrážet. Proto je založena na pravděpodobnostech.

41 Determinizmus versus pravděpodobnost II
Extrapolace mikrosvěta do makrosvěta vede ke zdánlivému determinismu. Kvantová teorie totiž přiřadí každému řešení jistou pravděpodobnost. U některých řešení je ovšem astronomicky malá. Tím může podpořit náš předchozí názor, že se jedná o řešení téměř nemožná. Předchozí postup sice připomíná metody klasické statistické fyziky, například u teorie plynů, ale ta ve skutečnosti předpokládá deterministické chování jednotlivých částic. Kvantové efekty se nemusí vyrušit ani pro velké množství částic. Ty potom bývají nerozlišitelné a chovají se podle neklasických kvantových statistik – Bose-Einstein / Fermi-Dirac.

42 1D Schrödingerova rovnice I
Schrödingerova rovnice umožňuje výpočet vlnové funkce na základě zákona zachování energie. Existuje několik verzí, z nichž nejdůležitější skupiny jsou časově proměnné SR, jejichž řešením jsou vlnové funkce systémů, které se mohou vyvíjet v čase nebo stacionární SR, jejichž řešením jsou stavy stacionární. Jím odpovídající vlnové funkce závisí samozřejmě již jen na poloze. Platnost SR musí ověřit experiment.

43 Kvantová teorie III Pro názornost si další jemnosti kvantové mechaniky ukážeme při řešení konkrétních jednoduchých problémů. Nejprve řešme případ volné částice. Nezajímá-li nás fáze, můžeme volnou částici určité hybnosti a energie reprezentovat harmonickou rovinnou vlnou, která se rozprostírá v celém prostoru. Podle principu neurčitosti totiž vede ostrá hodnota hybnosti k nekonečné neurčitosti v poloze : Lokalizovanou částici by bylo nutné reprezentovat souborem rovinných vln blízkých vlastností – tzv. vlnovým balíkem. Tím však dochází k rozmazání hybnosti.

44 Kvantová teorie IV Kvantování hybnosti a energie se objevuje při prostorovém omezení výskytu částice. Nejjednodušeji je to vidět u částice v nekonečně hluboké (vysoké) potenciálové jámě. Kvantované jsou hybnost, energie, vlnová funkce i hustota pravděpodobnosti. Protože je jáma nekonečně hluboká, je jich ale nekonečně mnoho, n=1, 2, 3 … Z hustoty pravděpodobnosti je patrné, že částice v základním stavu bude spíše v centru než na krajích. Ve vyšších stavech jsou místa pravděpodobného i nepravděpodobného výskytu pravidelně odměřena.

45 Kvantová teorie V Principiální novinkou, kterou přináší kvantová teorie, je existence nenulového základního energetického stavu : Tedy částice v nekonečně hluboké potenciálové jámě a tedy i jiná, prostorově lokalizovaná částice, má v základním stavu nenulovou energii a není tudíž v absolutním klidu ani při 0 K!

46 Kvantová teorie VI Uvažujme částici v hluboké potenciálové jámě nyní konečné hloubky U0. Kvantované jsou opět stejné veličiny jako u nekonečně hluboké jámy. Podstatný rozdíl ale je nenulová pravděpodobnost výskytu částice i vně jámy. Tento fakt zcela odporuje klasickým představám, protože odporuje zachování energie. Princip neurčitosti ovšem připouští na kratičkou dobu jistou neurčitost energie.

47 Kvantová teorie VII Případ konečně hluboké potenciálové jámy naznačuje princip tak zvaného tunelování, kdy částice může s jistou pravděpodobností projít barierou určité tloušťky a (energetické) výšky, přestože podobný průnik podle klasických představ odporuje zákonu zachování energie. Podobně jako v optice popisujeme schopnost projít bariérou transmitancí T a schopnost odrazit se reflektivitou R. Samozřejmě T + R = 1. Pro malé T platí : zjevně schopnost pronikat drasticky klesá s U0 a L.

48 Kvantová teorie VIII Tunelování je typická vlastnost vln a dochází k němu i u skutečných vln v optice. Díky tunelování dochází například též k rozpadu . Princip tunelování je využit u tunelových diod s tenkou vrstvou dělící p a n – umožňují přesnější řízení proudu napětím tunelové scanovací mikroskopie (STM) – zpětnovazební mechanismus udržuje konstantní proud mezi hrotem a vzorkem přibližováním nebo vzdalováním hrotu. Umožňuje laterární rozlišení 0.1 nm a vertikální dokonce 10-2 – 10-3 nm. Podobně funguje (ATM - atomic force microscopy) tam se ale udržuje konstantní síla.

49 Kvantová teorie IX I když jsme v případě konečně hluboké jámy nešli do podrobností, je patrné, že částice bude mít jen konečný počet diskrétních hladin energie, a to těch které odpovídají podmínce En < U0. Kdyby se například jednalo o elektron, mohl by takový systém absorbovat nebo emitovat jen fotony určitých diskrétních energií, čili by měl čárové spektrum.

50 Kvantové pasti I Ze vztahu pro energii u částice v nekonečné potenciálové jámě je patrné, že při zužování jámy konečné hloubky by rostla energie základního stavu a zmenšovala se ionizační energie. Jako skutečná past na elektrony může sloužit například zrno polovodičového materiálu a velikosti řádově nanometrů.

51 Kvantové pasti II Podobně funguje kvantová tečka nebo-li umělý atom, kde polovodičová vrstva je oddělena tenkou a podstatně tlustší vrstvou izolantu od přívodních elektrod. Tenčí vrstva umožňuje elektronům tunelovat do střední oblasti a případně nazpět v závislosti na řídícím napětí. Tímto způsobem je možné řídit počet elektronů uvězněných v jámě. Toto uspořádání se chová jako umělý atom, u kterého je možné řídit počet elektronů. Kvantové tečky uspořádané do 2D struktur mohou sloužit například jako paměti s velkou hustotou záznamu a rychlostí vybavování.

52 Kirchhoffův zákon I Platnost Kirchhoffova zákona (v jednodušší podobě) lze ověřit experimentálně: Mějme těleso s dvěmi různými plochami I a II. Do blízkosti plochy I dejme plochu II’ spojenou s teploměrem, stejnou jako je plocha II a obráceně do blízkosti plochy II dejme plochu I’ s teploměrem. Za jistou dobu se ustaví rovnováha a všechny plochy budou na stejné teplotě. Budou-li i emisní koeficienty a i koeficienty absorpční, musí platit: .

53 Kirchhoffův zákon II Je tedy vždy emisní koeficient úměrný koeficientu absorpčnímu: Je-li například plocha I černá a tedy má I  1 a plocha II částečně odráží II < 1, bude i I > II . Takto lze argumentovat dokonce pro absorpčí a emisní koeficienty pro každou vlnovou délku. Proto jsou například listy zelené!? . ^

54 Tepelné záření - příklad
Mějme keramickou konvici s  = 0.7 a nerezovou konvici s  = 0.1. V každé je 0.75 l čaje o 95° C. Odhadněte jaký výkon odchází z každé z nich do okolí o teplotě 20° C ? Předpokládejme, že každá konev je přibližně krychle o hraně 10 cm. Každá současně emituje i absorbuje. Keramická konvice tedy vyzařuje 21 W a nerezová (lesklá) jen 3 W. Proto vydrží čaj ve druhé konvici teplý déle. Zde ale bude ještě hrát ve skutečnosti roli vedení tepla! . ^

55 Wienův zákon – příklad I
Odhadněte teplotu na povrchu Slunce. Maximum jeho spektrální intenzity m  500 nm leží ve viditelné oblasti : ./. ^

56 Wienův zákon – příklad II
Teplota vlákna žárovek a náplň jejich baňky se navrhují podle užití: 2200 °C u vakuových do 25 W, 2600 °C u běžných, plněných směsí Ar & N2 a 3000 °C u speciálních halogenových, promítacích a fotografických. Wolfram je selektivní zářič, takže ve viditelné oblasti svítí více, než by odpovídalo jeho teplotě. Kde by leželo maximum vlnové délky u běžné žárovky, kdyby se chovala jako dokonale černé těleso? Maximum tedy leží v infračervené oblasti a do ní odchází i největší část vyzářené energie. Část spektra ale zasahuje do oblasti viditelné. Tepelné záření působí příjemně. ./. ^

57 Wienův zákon – příklad III
Jak bude vypadat hvězda, která má povrchovou teplotu K.? Maximum leží v ultrafialové oblasti a intenzita s rostoucí vlnovou délkou klesá. Hvězda se bude jevit jako modrobílá. . ^

58 Comptonův jev I RTG záření o vlnové délce 0.14 nm se comptonovsky rozptyluje na bločku uhlíku. Jaká bude vlnová délka záření rozptýleného pod úhlem 0°, 90°, a 180°? Pro vlnovou délku rozptýleného záření platí : Výraz má rozměr délky nazývá se Comptovona vlnová délka. Zde tedy platí: A tedy a) b) c) . ^

59 Comptonův jev II Při interakci fotonu s elektronem se zachovává energie a hybnost. Zachování energie lze vyjádřit : Vzhledem k získané rychlosti je nutno kinetickou energii elektronu Ek vyjádřit relativisticky:

60 Comptonův jev III Hybnost se zachovává v rovině rozptylu, tedy ve směru původního fotonu, ose x a ve směru kolmém, ose y : Na levou stranu rovnic přemístíme členy s relativistickou hybností, rovnice umocníme na druhou a sečteme : .

61 Comptonův jev IV Rovnici pro zachování energie umocníme na druhou : .

62 Comptonův jev V Zkrátíme E0 a dosadíme za druhou mocninu hybnosti : : Po úpravách dostáváme : .

63 Comptonův jev VI |Dosadíme za klidovou energii elektronu E0 = m0c2 a upravíme : A konečně dostáváme známý Comptonův vztah : . ^

64 Příklad - Fotoelektrický jev I
Cesiová vrstva s výstupní prací Wo = 1.93 eV, je ozařována ze vzdálenosti r = 3.5 m světlem sodíkové výbojky, kde nejsilnější čára má vlnovou délku  = 590 nm, s výkonem P=100 W. Rozměry elektronu zatím neznáme. Definují se ale účinné průřezy vzhledem k určitým jevů. Pro interakci s fotonem jej lze chápat jako kruhovou plošku o poloměru re = m. Za jak dlouho by elektron načerpal dostatečnou energii, aby mohl být emitován při izotropním toku energie ? Za jakou střední dobu proletí jeden foton účinným průřezem elektronu? Účinný průřez elektronu je :

65 Příklad - Fotoelektrický jev II
Energie emitovaného fotonu v J je: Energie emitovaného fotonu v eV je: Počet fotonů vyzářených výbojkou za jednotku času 1 s do všech směrů při 100% účinnosti:

66 Příklad - Fotoelektrický jev III
Intenzita, čili výkon procházející jednotkou plochy v místě vzorku je : Počet fotonů procházejících jednotkou plochy v místě vzorku za 1 s je :

67 Příklad - Fotoelektrický jev IV
Po vynásobení předchozích hodnot účinným průřezem elektronu do staneme energii protékají tímto účinným průřezem (a tedy absorbovanou) za jednotku času : a počet fotonů protékajících tímto účinným průřezem za jednotku času. : Nyní již snadno zjistíme, doba potřebné na naakumulování energie rovné výstupní práci, by byla asi 1 minuta :

68 Příklad - Fotoelektrický jev V
Střední doba než foton prolétne účinným průřezem elektronu je : Na první pohled se jedná o srovnatelné časy. Skutečná čekací doba je ale řádově 10-9 s. To lze vysvětlit jedině tak, že elektron nesaje energii postupně, ale pohltí ji celou naráz při srážce s fotonem. Střední doba, za kterou se jakýkoli foton srazí s jakýmkoli elektronem se zkracuje s velikostí vzorku, s počtem elektronů a celkovým účinným průřezem, který je součtem účinných průřezů jednotlivých elektronů. Dobu potřebnou pro sání energie, které by bylo postupné nijak zkrátit nelze! ^

69 Bohrův model atomu I Bohr připustil planetární model, ale jen v určitých stacionátních stavech, které lze charakterizovat kvantováním momentu hybnosti : Ze skutečnosti, že elektrická přitažlivá síla je rovna síle dostředivé plyne s dosazením za v2 ve jmenovateli z předchozího :

70 Bohrův model atomu II Po úpravě zjistíme, že poloměr jakékoli dráhy, jakéhokoli atomu lze vyjádřit pomocí Bohrova poloměru, což je nemenší poloměr u vodíku. Podobně lze vyjádřit každou energii pomocí energie elektronu vodíku na dráze nejbližší jádru.

71 Bohrův model atomu III ^
Vypočítejme dráhy a energie prvních 4 orbitalů: n rn [pm] En [eV] Pro určitý atom se poloměr dráhy se kvadraticky zvětšuje. Poloměr odpovídající dráhy atomu s vyšším Z je menší. Energie vázaných elektronů je vždy záporná. Pro ionizaci je tedy třeba energii dodat. Energetické hladiny vázaných elektronů se kvadraticky zhušťují směrem k nulové energii. Energie absorbovaných nebo emitovaných fotonů musí odpovídat jen přechodům mezi těmito energetickými stavy. ^

72 Bohrův model atomu IV ^ Úpravy které vedou na vztah pro En :
Dosadíme za mev2 do celkové energie : A sem dosadíme za 1/rn : ^

73 vlnové (elektromagnetická vlna) Vlastnosti záření částicové (foton)
Comptonův jev vlnové (elektromagnetická vlna) Vlastnosti záření částicové (foton) Každý foton má svoji energii E = hν a hybnost p = h/λ. Dojde-li ke srážce fotonu pohybujícího se rychlostí c s elektronem, jehož rychlost je zanedbatelná vůči c (je možné ji považovat za nulovou), lze použít klasické zákony zachování energie a hybnosti. Elektron se dá do pohybu - získá hybnost a kinetickou energii a energie fotonu se sníží. To se projeví poklesem frekvence, resp. vzrůstem vlnové délky záření.

74 Laser – optický kvantový generátor
Zdroj koherentního záření v rozsahu od IČ do UV; výkon: 1mW až 1 kW; speciální lasery pracují v rozsahu od vlnové délky zlomků milimetru až do oblasti rentgenového či g záření; výkon: 1 kW – 1013 kW. Základní rysy: úzká spektrální čára i možnost ladění v určitém rozsahu vlnových délek, koherence, vysoká směrovost, vysoká hustota energie. Zářičem (aktivním prostředím) může být: pevná látka, kapalina, plyn. Součásti: aktivní prostředí, optický rezonátor, zdroj budící energie (výbojka, elektrický výboj v aktivním prostředí, chemická reakce).

75 Předpoklad činnosti: 1) Dosažení inverze populace energetických hladin t.j. situace, kdy počet elektronů na jednotlivých hladinách neodpovídá rovnovážnému rozdělení - obsazení vyšší hladiny je vyšší než hladiny nižší. Tohoto stavu lze dosáhnout intenzivním buzením a vhodným rozdělením energetických hladin (buzení výbojem, zářením, …) 2) Stimulovaná emise - děj, při kterém je vzbuzený atom na energetické úrovni E2 interakcí s fotonem energie hν převeden na energetickou úroveň E1 za současného vyslání dvou fotonů původní energie, tj.

76 Plynový laser, aktivní prostředí je směs helia a neonu
Helium - neonový laser Plynový laser, aktivní prostředí je směs helia a neonu Zrcadlo Elektrody pro zapálení výboje Polopropustné zrcadlo

77 Energetické přechody při činnosti He - Ne
3s - 3p ….3,391 μm 3s - 2p ….0,633 μm 2s - 2p ….1,152 μm 3p 2s 2p 1s Ne

78 Nerovnovážný stav po exotermické chemické reakci typu
Chemický laser: Nerovnovážný stav po exotermické chemické reakci typu Příklad: λ = 4,1 - 4,3 μm λ = 3,7 - 4,0 μm λ = 2,8 - 3,0 μm Inverze populace mezi vibračně - rotačními hladinami, pracuje impulsně i kontinuálně, výkony až desítky kW.

79 Zákony záření černého tělesa
Definice absolutně černého tělesa: Je to těleso, absorbující veškeré dopadající záření bez ohledu na jeho vlnovou délku. V tepelné rovnováze s okolím je dopadající energie za jednotku času na jednotku plochy rovna energii vyzářené. Spektrální zářivost: R(λ,T) je energie, vyzářená jednotkou plochy za jednotku času, vztažená na jednotkový interval vlnových délek při teplotě T. Zářivost: (9)

80 Stefanův - Boltzmannův zákon:
Kirchhoffův zákon: Poměr spektrální zářivosti ku spektrální pohltivosti je funkcí teploty a vlnové délky. Nezávisí na materiálu zářiče. Stefanův - Boltzmannův zákon: (10) Wienův zákon: (11) Vztah (2) nerespektuje teplotu okolí a předpokládá jednotkovou emisivitu!

81 Rayleigh - Jeansův zákon:
Energie vztažená na jednotkový objem dutiny černého tělesa a na jednotkový interval frekvencí vypočítaná na základě klasické teorie (spojité vyzařování) je určena vztahem (12) (13) Rayleigh - Jeansův zákon: Vyzařovaná energie na jednotkový interval frekvencí roste s druhou mocninou frekvence do nekonečna. To je nereálné! nutnost revize klasické elektromagnetické teorie.

82 Planckův vyzařovací zákon
Energie vyzářená z jednoho m2 za jednotku času vztažená na jednotkový interval frekvencí: (14) Dokažte! (15) Energie vyzářená z jednoho m2 za jednotku času (tj. vyzařovaný výkon z jednoho m2 ) vztažená na interval frekvencí dυ:

83 De Broglieho hypotéza ^
Vychází se ze známé Einsteinovy rovnice pro celkovou energii. De Broglieho přínos je odhad, že to, co platí pro fotony, platí i pro ostatní mikročástice : ^

84 Písemná práce Nádobu (Papinův hrnec) o objemu 0.05 m3 uzavřeme za běžných podmínek 105 Pa a 30° C pevným víkem s manometrem a ohřejeme na 90° C. Vysvětlete, jaké veličiny se musely změnit uvnitř nádoby a jak? Jaký tlak naměříme? Měděným drátem o průřezu 3 mm2 teče proud 20 A. MCu = 63.5 g/mol a Cu = 8.95 g/cm3. Předpokládáme, že volnými nosiči jsou elektrony a každý atom přispívá jedním. Co dělá vodič vodičem a proč přispívá každý atom Cu právě jedním elektronem? Jakou mají volné nosiče náboje hustotu a driftovou rychlost? Máme k dispozici několik spojných čoček dvojího typu o f1 = 5 cm a f2 = 2 m. Sestavte z libovolného množství čoček co nejjednodušší dalekohled, popište ho a nakreslete. Jaké bude mít zvětšení a bude obraz přímý nebo převrácený? Máme deskový kondenzátor C = 1 pF nabitý na 100 V. Po odpojení zdroje k němu připojíme kvalitní voltmetr. Potom mezi desky vložíme dielektrickou destičku o relativní permitivitě r = 100. Co očekáváme, že ukáže voltmetr a proč? Jak se změní energie kondenzátoru? Bude nutné vkládat destičku do kondenzátoru silou nebo tam bude vtažena? Odůvodněte!

85 Relace neurčitosti I Hledáme-li ve tmě pingpongový míček, můžeme se snažit ho nahmátnout nebo si posvítit. Při nahmatávání do míčku zpravidla nechtě strčíme, ale potom nevíme přesně, kde míček původně byl. Když si posvítíme běžným světelným zdrojem, polohu míčku určíme, protože tlak fotonů jej nedokáže uvést do pohybu. Posvítíme-li si ovšem na mikroskopickou částici, do pohybu ji uvést můžeme a to podle energie použitého světla. Neurčitost změření souřadnice tedy závisí na vlnové délce použitých fotonů :

86 Relace neurčitosti II DeBroglieho vlnové délce takového fotonu odpovídá hybnost : Neurčitost hybnosti odhadneme jako srovnatelnou : Součin neurčitostí souřadnice a hybnosti tedy je : Přesnější výpočet vede na :

87 Relace neurčitosti III
Vidíme, že neurčitost souřadnice a neurčitost hybnosti si konkurují: Budeme-li například chtít, aby hybnost fotonů byla malá a tedy malá byla i jejich interakce se sledovanou částicí, musíme použít fotony s velkou vlnovou délkou, což ale vede k větší neurčitosti v určení souřadnice. Není ale hyperbola jako hyperbola. Kdyby bylo h = 1 projevovaly by se relace neurčitosti i v makrosvětě, jako je tomu v knížce Pan Tomkins v říši divů. Vzhledem k velikosti Planckovy konstanty tomu tak ale není! ^

88 Relace neurčitosti IV ^ Příklad 1.:
Basebalový míček o hmotnosti 150 g je hozen rychlostí v = 42 m/s, s neurčitostí 1 m/s. S jakou maximální přesností by mohla být změřena souřadnice? Neurčitost hybnosti míčku je p = 0.15 kg m/s. Tedy : Neexistuje metoda, která by měřila s takovou přesností. Relace neurčitosti neznamenají pro současné určení souřadnic i hybnosti makroskopických těles žádné faktické omezení. Jinak by tomu bylo, kdyby bylo např. h = 1! ^

89 Relace neurčitosti V ^ Příklad 2.:
Elektron se pohybuje rychlostí v = m/s, která byla změřena s přesností 0.1 %. S jakou maximální přesností by mohla být změřena souřadnice? Odpovídající hybnost elektronu je p = kg m/s a její neurčitost p = kg m/s. Tedy : To je asi tisícinásobek velikosti atomu! ^

90 Relace neurčitosti VI ^ Příklad 3.:
Bylo zjištěno, že mezon J/, objevený v roce 1974 má střední hmotnost 3100 MeV/c2 s rozpětím 63 keV/c2. Toto rozpětí souvisí s dobou života mezonu. Odhadněte tuto dobu pomocí relací neurčitosti? Neurčitost energie mezonu je E = = 1.01 Jkg. Tedy : Takto krátké doby života je velice obtížné měřit přímo. ^

91 Filosofie vlnové funkce I
Lineárně polarizovanou, rovinnou EMA vlnu, šířící se ve směru, vlnového vektoru, lze popsat jako časoprotorovou závislost její magnetické indukce nebo elektrické intenzity: Úhlovou frekvenci  lze vyjádřit pomocí celkové energie. Pro fotony s nulovou klidovou hmotností m0 = 0 :

92 Filosofie vlnové funkce II
Podobně velikost vlnového vektoru k lze vyjádřit pomocí velikosti vektoru hybnosti p. Stejný vztah platí i mezi jednotlivými složkami a tedy i celými vektory. Vektory a jsou podle očekávání rovnoběžné :

93 Filosofie vlnové funkce III
Popis naší známé EMA vlny tedy lze upravit na : Analogicky definujeme kvantově mechanickou vlnovou funkci :

94 Filosofie vlnové funkce IV
Fyzikální veličiny vyjadřujeme z vlnové funkce zpravidla vhodným derivováním. Derivujme ji například parciálně podle času : Po úpravě platí :

95 Filosofie vlnové funkce V
Působením výrazu na vlnovou funkci tedy dostáváme energii. Proto tento výraz nazýváme operátorem celkové energie.

96 Filosofie vlnové funkce VI
Podobně můžeme vlnovou funkci parciálně derivovat například podle souřadnice y a máme: operátor y-ové složky hybnosti :

97 Filosofie vlnové funkce VII
Kdybychom takto postupovali pro všechny složky: nalezneme operátor vektoru hybnosti : Pokud je známa vlnová funkce lze jeho působením určit hybnost, i odvodit fundamentální rovnici kvantové mechaniky tzv. Schrödingerovu rovnici. ^

98 Schrödingerova rovnice I
Odvodíme stacionární Schrödingerovu rovnici pro jednorozměrný případ. Vyjdeme ze zákona zachování energie : Hybnost a potenciální energii nahradíme příslušnými operátory a budeme působit na vlnovou funkci : ^

99 Schrödingerova rovnice II
Jak jsme dospěli k předchozímu závěru? Upravme vztah pro energii : Derivujme dvakrát naší předchozí vlnovou funkci : Nyní stačí výsledek rozšířit výrazem : ^

100 Volná částice I Mějme částici, která se může pohybovat ve směru osy x a nepůsobí na ní žádná síla, čili Ep = 0 . Napišme SR : S diferenciální rovnicí 2. řádu jsme se setkali např. při studiu harmonického oscilátoru. Její obecné řešení je rovinná prostorová vlna: zde k ale není tuhost pružiny, ale vlnové číslo (vektor) :

101 Volná částice II Docházíme k závěru, že hybnost a energie volné částice mohou dosahovat libovolných hodnot a nejsou tudíž kvantovány. Vlnová funkce volné částice může být reprezentována rovinnou harmonickou vlnou. Pokud nás nezajímá fáze, můžeme položit například B = 0 a dostáváme jednoduchou sinusoidu. U takovéto částice by ale byl problém s normalizací. V reálných případech by se volná částice vyskytovala v možná velkém, ale ne nekonečném prostoru. Vlnová funkce by potom byla normalizovatelná. Dostali bychom ovšem kvantování, které by ale mohlo být nerozlišitelně jemné. ^

102 Částice v nekonečné p. jámě I
Mějme částici, která se může pohybovat ve směru osy x, ale je umístěna v nekonečně hluboké potenciálové jámě délky L. Potenciální energii můžeme napsat jako : Schrödingerovu rovnici i její obecné řešení předpokládejme stejné jako v případě volné částice :

103 Částice v n. potenciálové jámě II
Částice se může vyskytovat pouze v jámě. Vně by musela mít nekonečnou potenciální energii! Vlnová funkce vně jámy tedy bude identicky rovna nule. Z požadavku její spojitosti musí tedy platit okrajové podmínky ve tvaru : Vlnová funkce je tedy stojatá vlna s uzly na okrajích jámy.

104 Částice v n. potenciálové jámě III
První podmínka vede na zjednodušení vlnové funkce : a druhá, díky periodicitě funkce sinus, na kvantování vlnového vektoru, hybnosti a energie :

105 Částice v n. potenciálové jámě IV
Konstantu A získáme z normalizační podmínky : Celkově tedy lze vlnovou funkci pro určité n vyjádřit :

106 Částice v n. potenciálové jámě V
Tedy máme-li volnou částici o přesně známé energii E nebo hybnosti p, může se vyskytovat kdekoli na ose x. To je v dokonalém souladu s principem neurčitosti. Omezení výskytu částice v prostoru vede na kvantování hybnosti, energie atd. i obecně. Z něj také vyplývá existence energetických hladin v atomech, která vedla k formulaci Bohrova modelu. ^

107 Částice v konečné p. jámě I
Mějme částici, která se může pohybovat ve směru osy x, ale je umístěna v konečně hluboké potenciálové jámě délky L. Potenciální energii můžeme napsat jako : Schrödingerova rovnice má nyní tvar :

108 Částice v konečné p. jámě II
Ve vlastní jámě předpokládejme řešení Schrödingerovy rovnice opět stejné jako v předchozích případech : Okrajové podmínky nyní ale budou jiné. Předpokládejme, že částice je (alespoň v klasickém slova smyslu) uvězněna v jámě, tedy E < U0. Zaveďme nejprve konstantu G a vložme ji do rovnice:

109 Částice v konečné p. jámě III
Obecné řešení této rovnice lze napsat : V oblasti I je x < 0 proto musí být D = 0 . Podobně v oblasti III musí být C = 0. Tedy:

110 Částice v konečné p. jámě IV
jako okrajové podmínky požadujeme spojitost vlnové funkce a její první derivace ( tzv. hladkost). Na stěnách jámy tedy platí : Na levém okraji tedy platí : Další podmínky bychom dostali na pravém okraji a z normalizace. Pro E > U0 obdržíme stojaté vlny. ^

111 Částice v konečné p. jámě V
Příklad : Mějme elektron v základním stavu potenciálové jámy dlouhé 100 pm a vysoké 30 eV. a) Jaké by bylo spektrum tohoto systému? b) Jaký foton by dokázal uvolnit tento elektron? c) Může tento elektron absorbovat foton s  = 100 nm? Jaký foton by dokázal uvolnit tento elektron? a) Podrobný výpočet ukazuje, že systém má tři diskrétní hladiny energie E1 = 2.9 eV, E2 = 11.6 eV a E3 = 24.5 eV. Další hladina by již byla výše než je hloubka jámy. Elektron v základním stavu může v důsledku absorpce fotonu přejít buď do druhé nebo třetí hladiny. Ve spektru by ještě existovala čára odpovídající přechodu z druhé do třetí hladiny.

112 Částice v konečné p. jámě VI
Pro vlnové délky tedy platí : Bude tedy 12 = 143 nm, 13 = 57.5 nm a 23 = 96.2 nm. Všechny čáry budou v UV oblasti. b) Foton, schopný elektron uvolnit, musí mít energii rovnou minimálně rozdílu výšky jámy a energii základního stavu. Z předchozího vztahu 1U0 = 45.9 nm. Při absorpci energetičtějšího fotonu bude mít uvolněný elektron i příslušnou kinetickou energii. c) Foton o vlnové délce  =100 nm má energii nižší než ionizační, která ale neodpovídá žádnému přechodu. Proto nemůže být absorbován. ^

113 Tunelování bariérou I ^
Příklad : Jaká je pravděpodobnost, že elektron s energií 50 keV projde bariérou s výškou 70 keV, bude-li její tloušťka a) 1 nm, b) 0.1 nm? Najděme příslušné exponenty pro T ~ exp(-GL): U0 - E = 20 keV = J. a) 2GL = 46 a T  exp(-46) = b) 2GL = 4.6 a T  exp(-4.6) = 0.01 Ztenčení bariéry desetkrát zvýší pravděpodobnost průniku 1018 krát! ^