MATEMATIKA Obsah přednášky Funkce. 3. Limita funkce

Prezentace na téma: "MATEMATIKA Obsah přednášky Funkce. 3. Limita funkce"— Transkript prezentace:

1 MATEMATIKA Obsah přednášky. - 2. Funkce. 3. Limita funkce
Derivace funkce Průběh funkce 1 proměnné, motivační příklady Lineární algebra Klasifikace u zkoušky: klasifikace: x je dosažené procento úspěšnosti: x < 55, známka 4 55  x < 65, známka 3 65  x < 70, známka 2- 70  x < 80, známka 2 80  x < 90, známka 1- x  90, známka 1

2 Literatura. Dostálková I. Matematika 0, BF JU, Č. Budějovice,1992. Bušek I., Calda E. Matematika pro gymnázia. Základní poznatky, 2008 Charvát J., Zhouf J. Matematika pro gymnázia. Rovnice a nerovnice, 2008 Hrubý D, Kubát J. Matematika pro gymnázia. Diferenciální a integrální počet, 2008 Kočandrle M., Boček L. Matematika pro gymnázia. Analytická geometrie, 2008 Odvárko O. Matematika pro gymnázia. Funkce, 2008 Odvárko O. Matematika pro gymnázia. Goniometrie, 2008 Internetové odkazy.

3 OPAKOVÁNÍ toho, co byste měli umět.
výroky, množiny operace s reálnými čísly absolutní hodnoty, relace mezi nimi Výroky, množiny. Výrok je sdělení, u něhož mohou nastat pouze 2 možnosti: pravda, nepravda. Množina je soubor prvků určité vlastnosti. Výroky. V1 je zataženo V2 prší Operace s výroky. je zataženo a současně prší  konjunkce  (V1  V2) = (V1 a V2) = (V1 and V2) je zataženo nebo prší  alternativa  (V1  V2) = (V1 nebo V2) = (V1 or V2) když je zataženo, prší  implikace  (V1  V2) zataženo je právě, když prší  ekvivalence  (V1  V2) neprší  negace  ( V1) = (V1’) = (not V1)

4 Tabulky pravdivostních hodnot.
V1 … mléko obsahuje vápník V2 … mléko obsahuje chlorofyl V1 ˄ V2 …mléko obsahuje vápník a chlorofyl Výrok je nepravdivý. V1 ˅ V2 …mléko obsahuje vápník nebo chlorofyl Výrok je pravdivý. Jestliže mléko obsahuje chlorofyl, pak obsahuje vápník. Výrok je pravdivý. Jestliže mléko obsahuje vápník, pak obsahuje chlorofyl. Výrok je nepravdivý.

5 Krávy létají jen tehdy, když kapr je savec.
Výrok je pravdivý. ¬ V1 … mléko neobsahuje vápník Výrok je nepravdivý. ¬ V2 … mléko neobsahuje chlorofyl Výrok je pravdivý. Příklad. Negace konjunkce výroků V1 a V2. tautologie V1 V2 V1  V2 (V1  V2)/ (V1/  V2 / )  (V1  V2)/ p n

6 Příklad. Negace implikace mezi výroky V1 a V2. tautologie V1 V2 V1  V2 (V1  V2)/ (V1 ˄ V2 / )  (V1  V2)/ p n Příklad. Negace ekvivalence mezi výroky V1 a V2.

7 Množiny. Způsoby definice množiny M: M = {0, 2, 4, 6, 12} konečná množina zadaná výčtem prvků M = {0, 1, 2, 3, ...} nekonečná množina M = {x splňující určité vlastnosti} množina zadaná vlastnostmi prvků x  M x patří do množiny M 0  {0, 2, 4, 6, 12} x  M x nepatří do množiny M 1  {0, 2, 4, 6, 12} A  M A je podmnožinou množiny M {0, 2}  {0, 2, 4, 6, 12} A  M A není podmnožinou množiny M {1, 3} {0, 2, 4, 6, 12} Definice. Nechť A a B jsou množiny. Pak A  B právě, když pro každý prvek množiny A platí, že je prvkem množiny B. A = B právě, když A je podmnožinou B a současně B je podmnožinou A. Struktura definice. předpoklad (za jakých podmínek platí) závěr (čeho se definice týká)

8 A = B právě, když A je podmnožinou B a současně B je podmnožinou A.
Příklad. A = B právě, když A je podmnožinou B a současně B je podmnožinou A. Z negace konjunkce plyne, že A ≠B právě, když (A není podmnožinou B) NEBO (B není podmnožinou A). Speciální množiny.  prázdná množina = množina neobsahující žádný prvek N množina přirozených čísel = {1, 2, 3, 4, ...} Z množina celých čísel = {...,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} Q množina racionálních čísel = {p/q, kde p Z, q  N } R množina reálných čísel = všechny “body přímky“. Kvantifikátory.  pro každý “pro každý prvek množiny A platí, že je prvkem množiny B.“  existuje “existuje (alespoň jedno) číslo, které nepatří do množiny N.“ Poznámky.  prázdná množina {} množina obsahující 1 prvek, prázdnou množinu {x}  R jednoprvková množina je podmnožinou množiny reálných čísel x  R prvek množiny reálných čísel

9 Operace s množinami. Nechť A a B jsou množiny. Pak Průnik množin: A  B = {x; x A a současně x B }. Jestliže A B = , množiny se nazývají disjunktní. Sjednocení množin: A  B = {x; x A nebo x B }. Doplněk množiny A’ = {x; x  A} Rozdíl množin: A - B = {x; x A a současně x  B} A B AB = (A-B)(B-A)(AB), při tom (A-B)  (B-A) =  a současně (A-B)  (AB) =  a současně (B-A)  (AB) = . Říká se tomu disjunktní rozklad AB A-B AB B-A

10 Příklad. M A B C AC D AD AB = CB = DB = , množiny A, C, D jsou disjunktní s B D  C, současně však C  D, proto D  C.

11 Operace s reálnými čísly.
Nechť a, b, c  R. Sčítání a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) a + 0 = a komutativní zákon asociativní zákon jednotkový prvek Násobení ab = ba (ab)c = a(bc) a.1 = a , a.(-1) = -a (a + b)c = ac + bc distributivní zákon Relace mezi reálnými čísly. ab > 0  [(a > 0)  (b > 0)]  [(a < 0)  (b < 0)] (x+1)(x+2)>0 [(x > -1)  (x > -2)]  [(x < -1)  (x < -2)]  (x < -2)  (x > -1) ab < 0  [(a > 0)  (b < 0)]  [(a < 0)  (b > 0)] (x+1)(x+2)>0 [(x > -1)  (x < -2)]  [(x < -1)  (x > -2)]  -2 < x < -1 ab = 0  (a = 0)  (b = 0) (x+1)(x+2)= 0  (x = -2)  (x = -1) a / b > 0, b  0  [(a > 0)  (b > 0)]  [(a < 0)  (b < 0)] a / b < 0, b  0  [(a > 0)  (b < 0)]  [(a < 0)  (b > 0)] a / b = 0, b  0  (a = 0) a > 0  - a < 0.

12 Příklad. Pro která reálná r, s platí Příklad. Pro která reálná r, s platí

13 Intervaly. R = (-, + ) = {x; - < x < +  } (a, b) = {x  R; a < x < b } (a, b > = {x  R; a < x  b } Absolutní hodnoty. Nechť a  R. Absolutní hodnota čísla a je nezáporné číslo (| a |  0) definované takto: a, pro a  0 | a | = - a, pro a  0 Příklad. Řešme rovnici | x – 4 | = 2. Určíme “nulové body“ všech absolutních hodnot x – 4 = 0  x = 4. Pro x > 4 je x – 4 > 0, tedy | x – 4 | = x – 4, | x – 4 | = x – 4 = 2  x = 6. Pro x < 4 je x – 4 < 0, tedy | x – 4 | = - x + 4, | x – 4 | = - x + 4 = 2  x = 2. Rovnice má 2 řešení: x = 2 a x = 6.

14 Příklad. Řešme rovnici | x – 4 | = 2 na množině <5, + ). Určíme “nulové body“ všech absolutních hodnot x – 4 = 0  x = 4. Pro x > 4 je x – 4 > 0, tedy | x – 4 | = x – 4, | x – 4 | = x – 4 = 2  x = 6. Pro x < 4 je x – 4 < 0, tedy | x – 4 | = - x + 4, | x – 4 | = - x + 4 = 2  x = 2. Na množině <5, + ) má rovnice 1 řešení: x = 6. Příklad. Řešme nerovnici | x – 4 |  2. Určíme “nulové body“ všech absolutních hodnot x – 4 = 0  x = 4. Nulový bod rozdělí reálnou osu na 2 intervaly: (- , 4 >, < 4, + ). x – 4 ≤ 0 pro x  (- , 4>, tedy | x – 4 | = 4 – x  2  2  x. Tedy x  (- , 4>  < 2, + ) = < 2, 4>. x – 4 ≥ 0 pro x  <4, + ), tedy | x – 4 | = x - 4  2  x  6. Tedy x  (- , 6 >  <4 , + ) = <4, 6 >. Řešením nerovnice je tedy interval < 2, 4>  <4, 6 > = <2, 6>.

15 Příklad. Zjednodušte. Příklad. Řešte nerovnici. (- , -3>
<-3, -2> <-2, 2> <2, 3> <3, + ) + -

16  řešení neexistuje  řešení neexistuje  řešení neexistuje Úloha nemá řešení v oboru reálných čísel.

17 FUNKCE. Závislost délky vegetační sezóny na nadmořské výšce Přímka naznačuje, že závislost je lineární a čím větší je nadmořská výška, tím kratší je vegetační sezóna.

18 Definice funkce f. Nechť A, B  R. Předpis, kterým se každému x  A přiřadí nejvýše jedno y  B, y = f (x ) se nazývá reálná funkce f jedné reálné proměnné z množiny A do množiny B. D(f) = {x  R; existuje y  R tak, že y = f (x ) } je definiční obor funkce f. R(f) = H(f) = {y  R; existuje x  D(f) tak, že y = f (x ) } je obor hodnot funkce f. Poznámka. Nechť A, B  R. Kartézským součinem A x B rozumíme A x B = { [x, y], kde x  A a y  B}. Záleží na pořadí prvků ve dvojici!! Grafem funkce f rozumíme G(f) = { [x, y] A x B, kde y = f (x)}. Nechť [x, y], [m, n] A x B. [x, y] = [m, n] právě, když x = m a současně y = n.

19 Příklady. y2 Nejedná se o graf funkce. Existuje x takové, že k němu existují y1 a y2 tak, že y1 y2 . y1 1 [0,0] 1 x y1 Jedná se o graf funkce. Definiční obor funkce je D( f ) = R – (x1 , x2 ). 1 [0,0] x1 1 x2

20 Speciální typy funkcí. Nechť A, B  R. Funkce f je funkcí na množině A, jestliže D (f) = A. Funkce f je funkcí na množinu B, jestliže R (f) = B. Funkce f je funkce prostá na množině A, jestliže A  D (f) a současně pro každé dva body x1 , x2 A, x1  x2 platí f (x1)  f ( x2). Nechť f je funkce definovaná na množině A, g je funkce definovaná na množině B. Nechť f (A)  B  . Pak definujeme funkci h na množině A tak, že h( x ) = g(f( x )). f -1 se nazývá inverzní funkcí k funkci f na A  D (f), jestliže f je prostá na A  D (f) D(f -1 ) = f (A)  R( f ) a R(f -1 ) = A  D (f) [x, f(x)] = [f -1 (y), x] pro každé x  A  D (f). Poznámka. Speciálně funkce identita I ( x ) = x, x  A  R. Nechť f je funkce prostá na množině A  D (f). Označíme g = f -1. D(f -1 ) = f (A), R(f -1 ) = A. Odtud f (A)  D (g)  , g (A)  D (f)   a lze provést f -1 (f) = f (f -1) = I.

21 Příklad. f ( x ) = x ½, D( f ) = <0, +), R ( f ) = <0, +), g ( x ) = x 2 + 1, D( g ) = R, R ( g ) = <1, +). f ( g (x)) = (x 2 + 1)1/2 , pokud R ( g )  D( f ) . To je ale pravda. g (f (x)) = (x½) = x + 1, pokud R ( f )  D( g ) . To je ale pravda. Avšak f ( g (x))  g (f (x)) !!! Příklad. f ( x ) = x ½, D( f ) = <0, +), R ( f ) = <0, +), g ( x ) = - x 2 - 1, D( g ) = R, R ( g ) = (- , -1>. f ( g (x)) = ( - x 2 - 1)1/2 . R ( g )  D( f ) = (- , -1>  <0, +) = . Proto f ( g (x)) nelze provést !! g (f (x)) = - (x½) = - x – 1. R ( f )  D( g ) = <0, +)  R  . Proto f ( g (x)) lze provést !! Algebraické operace s funkcemi. (f + g )(x) = f ( x ) + g ( x ) , totéž pro odčítání, násobení a dělení. Při tom ale x  D ( f )  D( g ) !!!!!. f ( x ) = g ( x ) právě, když předpisy f a g se rovnají a současně D ( f ) = D( g ).

22 Monotonie funkcí. Nechť f je funkce definovaná na množině A. f je rostoucí na A  pro každé x, y A, x < y je f (x ) < f ( y ). f je klesající na A  pro každé x, y A, x < y je f (x ) > f ( y ). f je neklesající na A  pro každé x, y A, x < y je f (x )  f ( y ). f je nerostoucí na A  pro každé x, y A, x < y je f (x )  f ( y ).

23 Základní typy funkcí. Lineární funkce. y = ax + b a je směrnice přímky, určuje sklon přímky, b je posun po ose y.

24 Definiční obor i obor hodnot lineární funkce pro a 0 je R.
Definiční obor lineární funkce pro a = 0 (konstantní funkce) je R. Obor hodnot je {b}. Grafem lineární funkce je přímka. Lineární funkce je rostoucí  a > 0 klesající  a < 0 nerostoucí  a  0 neklesající  a  0. K sestrojení grafu lineární funkce stačí určit 2 body: Pokud b ≠ 0, a ≠ 0 pak stačí určit x takové, že ax + b = 0, [0, b]. Pokud b = 0, a ≠ 0, pak [0, 0] [x, ax], kde x je libovolné různé od 0. Pokud a = 0, grafem je přímka rovnoběžná s osou x a procházející bodem [0, b].

25

26 Funkce absolutní hodnota.
y = | ax + b | Pro ax + b > 0, a  0, je y = | ax + b | = ax + b, Pro ax + b < 0, a  0, je y = | ax + b | = - ax - b. y - ax - b ax + b x - b / a

27 Polynomy. y = a0 + a1x + a2 x an xn Pokud an  0, jedná se o polynom n – tého řádu. Definiční obor polynomu je R. Polynom 0. řádu – konstantní funkce. y = a0 Polynom 1. řádu – lineární funkce. y = a0 + a1x Polynom 2. řádu – kvadratická funkce. y = a0 + a1x + a2 x2, a2  0 Grafem kvadratické funkce je parabola s vrcholem v bodě x = - a1 / 2a2. Parabola je určena 3 body: [x , 0], [0 , y], [- a1 / 2a2, y], (pokud tyto body existují). Určit bod [x , 0] znamená vyřešit kvadratickou rovnici 0 = c + bx + a x2. Diskriminant D = b2 – 4ac. Reálné kořeny existují pouze pro D  0. x 1,2 = ( - b  D)/(2a)

28 Příklady.

29

30 Polynom 3. řádu. y = a0 + a1x + a2 x2 + a3 x3, a3  0 Příklady. Polynom stupně n může mít nejvýše n kořenů a (n – 1) vrcholů.

31 S rostoucím n pro pevné x:
klesají hodnoty polynomu y = x n k hodnotě 0 na intervalu (0, 1). rostou hodnoty polynomu y = x n do +  na intervalu (1, +  ).

32 Lineární lomená funkce.
y = (ax + b) / (cx + d), x  -d / c Grafem racionální funkce je hyperbola. Asymptoty hyperboly jsou x = - d / c, y = a / c

33 Mocninná funkce. y = x n Pro n  N se jedná o polynom. Pro – n  N se jedná o racionální lomenou funkci. n = p / q, například y = x ½.

34 S rostoucím n N pro pevné x:
klesají hodnoty polynomu y = x - n k hodnotě 0 na intervalu (1, + ), rostou hodnoty polynomu y = x - n do +  na intervalu (0, 1).

35 Příklad. Přírůstek populace, který závisí na populační hustotě a který je touto populační hustotou limitován, se často popisuje funkcí r ( N ) = aN / ( N + k ), N ≥ 0. Jedná se o lineární lomenou funkci s asymptotami N = - k, r = a.

36 1. Rozhodněte, zda se jedná o funkce, nebo ne. a) b)
Příklady k procvičení. 1. Rozhodněte, zda se jedná o funkce, nebo ne. a) b) c) , 2. Nakreslete grafy funkcí Definujte oblasti monotonie. 3. Jsou dány funkce f a g. Napište tvar funkcí h(x) = f(g(x)) a k(x)=g(f(x)). , a) f(x) = 1 – x2 g(x) = 2x b) f(x) = – x2