Množiny.

Prezentace na téma: "Množiny."— Transkript prezentace:

1 Množiny

2 Množina soubor určitých objektů, prvků

3 určení množiny umíme-li o každém objektu jednoznačně rozhodnout, zda do množiny patří nebo nepatří a  M b  M

4 podle počtu prvků prázdná  konečná nekonečná

5 Množinu můžeme určit: charakteristickou vlastností výčtem prvků
např.: množinu všech reálných čísel x, která splňují nerovnost 3 < x < 7 lze zapsat {x  R 3 < x < 7 } výčtem prvků např.: množinu všech čísel, které mohou „padnout“ při hodu kostkou lze zapsat {1, 2, 3, 4, 5, 6}

6 a b c {a, b, c} = {b, a, c} = {c, a, b} = ... nezáleží na pořadí

7 Uspořádaná dvojice prvků a, b  M
značíme (a, b) platí (a, b)  (b, a) pro a  b definujeme jako množinu {{a}, {a, b}} obdobně uspořádaná n-tice množina prvků, u níž záleží na pořadí prvků

8 Intervaly množina a  x  b a < x < b a  x < b a < x  b
označení a, b (a, b) a, b) (a, b a, +) (a, +) (–, b (–, b) znázornění

9 Maximum a minimum označení a, b (a, b) a, b) (a, b a, +) (a, +)
minimum, maximum minimum maximum

10 Množina ohraničená shora
existuje-li takové reálné číslo D (tzv. horní závora), že  x  M: x  D suprémum M D M

11 Množina ohraničená zdola
existuje-li takové reálné číslo d (tzv. dolní závora), že  x  M: x  d infimum M d M

12 Intervaly označení a, b (a, b) a, b) (a, b a, +) (a, +) (–, b
ohraničená shora i zdola ohraničená zdola ohraničená shora

13 Suprémum a infimum označení a, b (a, b) a, b) (a, b a, +)
suprémum, infimum infimum suprémum

14 každý prvek množiny B je prvkem množiny M
Podmnožina B  M každý prvek množiny B je prvkem množiny M M B e b a c d

15 aspoň jeden prvek množiny B není prvkem množiny M
B není podmnožina M B  M aspoň jeden prvek množiny B není prvkem množiny M M B e b a c d

16 Jestliže A  B a B  A, pak A = B
Rovnost množin Jestliže A  B a B  A, pak A = B B A b e a c d

17 Vlastní podmnožina B  M B  M a B  M M B e b a c d

18 Sjednocení množin A a B množina právě těch prvků, které patří aspoň do jedné z množin A a B A  B = {x  xA  xB } A B e b a c d

19 Průnik množin A a B množina právě těch prvků, které patří současně do obou množin A a B A  B = {x  xA  xB } A B e b a c d

20 Rozdíl množin A a B množina právě těch prvků, které patří do množiny A a zároveň nepatří do množiny B A \ B = {x  xA  xB } A B e b a c d

21 Doplněk množiny A v základní množině Z (A  Z)
je množina právě těch prvků základní množiny Z, které nepatří do množiny A. A Z a e c d b

22 Relace, zobrazení

23 Kartézský součin množin A, B (v tomto pořadí)
množinu uspořádaných dvojic A  B = {(x, y)  x  A, y  B} A  B  B  A Příklad: A = {a}, B = {b, c} A  B = {(a, b), (a, c)} B  A = {(c, a), (b, a)}

24 Relace  mezi množinami A, B (v tomto pořadí)
je libovolná podmnožina jejich kartézského součinu A  B

25 Zobrazení f množiny A do množiny B (f: A  B)
je taková relace f mezi množinami A, B, která splňuje vlastnost: ke každému x  A existuje právě jedno y  B tak, že f(x) = y.

26 A B a b c d 2 3 1

27 Zobrazení f množiny A = {a, b, c, d} do množiny B = {1, 2, 3}
Je uvedená relace zobrazení f množiny A do množiny B? {(a, 2), (b, 2), (c, 2), (d, 2)} {(a, 1), (a, 3), (b, 1), (c, 2), (d, 3)} {(a, 1), (d, 3), (c, 2)} {(a, 1), (b, 1), (c, 2), (d, 3)}

28 Zobrazení f množiny A do množiny B (f: A  B)
Množinu A nazýváme definiční obor zobrazení f a množinu B nazýváme obor hodnot zobrazení f. Prvek y nazveme obraz prvku x a prvek x nazveme vzor prvku y.

29 A B a b c d 2 3 1

30 Zobrazení f množiny A = {a, b, c, d} do množiny B = {1, 2, 3}
Je dáno zobrazení f množiny A do množiny B: {(a, 1), (b, 1), (c, 2), (d, 3)}. Určete definiční obor Určete obor hodnot Jaký je obraz prvku c? Jaký je vzor prvku 1? Jaký je vzor prvku 3?

31 zadání zobrazení je nutné zadat
předpis f, který prvku x přiřadí prvek y definiční obor A a obor hodnot B Příklad: A = Z, B = Z, f(x) = x pro  x  Z je zobrazení A = Z, B = N, f(x) = x pro  x  Z není zobrazení

32 zobrazení A do B A B a b c d 2 3 1 A B a b c d 2 3 1 zobrazení A na B

33 A B a b c d 2 3 1 A B a b c d 2 3 1 zobrazení z A do B
zobrazení z A na B

34 Zobrazení množiny A na B
jestliže každý prvek z množiny B má alespoň jeden vzor A B a 1 b c 2 d 3

35 Zobrazení f množiny A = {a, b, c, d} do množiny B = {1, 2, 3, 4}
Jedná se o zobrazení f množiny A na množinu B? f = {(a, 1), (b, 2), (c, 1), (d, 2)} f = {(a, 1), (b, 2), (c, 4), (d, 3)} f = {(a, 1), (b, 2), (c, 4), (a, 3), (d, 2)}

36 Prosté zobrazení jestliže každý prvek z množiny B má nejvýše jeden vzor A B a b c 4 2 3 1

37 Zobrazení f množiny A = {a, b, c, d} do množiny B = {1, 2, 3, 4, 5}
Je zobrazení f množiny A do množiny B prosté? f = {(a, 1), (b, 2), (c, 1), (d, 2)} f = {(a, 1), (b, 2), (c, 5), (d, 3)} f = {(a, 1), (b, 2), (c, 4), (d, 3), (a, 5)}

38 Zobrazení prosté a na jestliže každý prvek z množiny B má právě jeden vzor A B a b c 2 3 1

39 Zobrazení f množiny A = {a, b, c, d} do množiny B = {1, 2, 3, 4}
Je zobrazení f množiny A do množiny B vzájemně jednoznačné? f = {(a, 1), (b, 2), (c, 1), (d, 2)} f = {(a, 1), (b, 2), (c, 4), (d, 3)} f = {(a, 1), (b, 2), (c, 4)}

40 vzájemně jednoznačné zobrazení f: A  B
1 b c 2 3 A B a b c 2 3 1 inverzní zobrazení f-1: B  A

41 vzájemně jednoznačné zobrazení
c 2 3 1 A B a b c 2 3 1 d A B a b c 2 3 1 4 zobrazení prosté zobrazení na