FI-10 Kmity a vlnění I. 8. 4. 2006.

Prezentace na téma: "FI-10 Kmity a vlnění I. 8. 4. 2006."— Transkript prezentace:

1 FI-10 Kmity a vlnění I.

2 Hlavní body Úvod do nauky o kmitech a vlnění Druhy kmitů
Obecné, periodické, harmonické, tlumené a netlumené Harmonické kmity Pohybová rovnice a její řešení Časové závislosti výchylky, rychlosti, zrychlení, potenciální, kinetické a celkové energie Příklad kmitajících soustav - kyvadla

3 Úvod do kmitů a vlnění I K pohybům přímočarým a kruhovým, rovnoměrným a rovnoměrně zrychleným je nutné dále přibrat pohyby kmitavé neboli vibrační. Jejich existence vyplývá z elastického charakteru sil, působících mezi částicemi. V přírodě jsou značně rozšířeny. Vibrační energie je důležitým druhem energie.

4 Úvod do kmitů a vlnění II
Kmitem se nejobecněji rozumí pohyb hmotného bodu, který je omezen v prostoru. Vlna je jisté šíření vibračního pohybu prostorem., které nepřenáší hmotu ale přenáší energii. Aby mohl hmotný bod kmitat musí v oblasti, kde se může vyskytovat, existovat: rovnovážná poloha, v níž na bod nepůsobí žádné síly a síly, které se snaží o návrat do rovnovážné polohy. Jedná se tedy o stabilní rovnováhu.

5 Druhy kmitů I Charakter kmitů je určen :
konkrétní závislostí návratových sil na výchylce z rovnovážné polohy. Ty mají často charakter sil konzervativních a vyplývají z příslušného potenciálu. možnou přítomností sil disipativních (ztrátových). Důležitou podskupinou jsou kmity periodické, kde se určitá závislost výchylky pravidelně opakuje. Jejich podmnožinou jsou kmity harmonické, u nichž lze výchylku vyjádřit jako goniometrickou nebo-li harmonickou funkci času.

6 Druhy kmitů II Skutečné periodické a tedy i harmonické kmity mohou existovat pouze nedochází-li při kmitání ke ztrátám mechanické energie. Potom se jedná o kmity netlumené. Jsou-li přítomny ztrátové síly, mechanická energie se spotřebovává na jejich překonávání a pohyb se za čas zastaví. To je typické pro kmitání tlumené.

7 Druhy kmitů III Striktně vzato, každé reálné kmitání je tlumené.
Netlumené kmity ale přesto mají svůj význam protože : tlumení může být zanedbatelně malé nebo energie, o kterou kmitající systém přichází, mu může být vhodným způsobem doplňována.

8 Druhy kmitů IV Zabývat se harmonickými kmity má smysl neboť:
jejich existence vyžaduje sice speciání druh návratových sil. Takové se ovšem často vyskytují. každý periodický pohyb lze vyjádřit jako Fourierovu řadu harmonických kmitů. každý obecný kmit lze vyjádřit jako Fourierův integrál harmonických kmitů. Součet i integrál jsou lineární operace  mnoho vlastností harmonických funkcí platí obecněji.

9 Netlumené harmonické kmity I
Uvažujme pro jednoduchost tuto situaci : hmotný bod se může pohybovat na přímce, kterou ztotožníme například s osou x. počátek zvolíme v rovnovážné poloze Charakter kmitů je dán návratovou silou : návratová síla je přímo úměrná výchylce

10 Netlumené harmonické kmity II
tato síla odpovídá Hookovskému chování. Jedná-li se o sílu způsobenou odezvou materiálu nazývá se konstanta úměrnosti k tuhost pružiny a je úměrná příslušnému Youngovu modulu. podobná síla ale může existovat v libovolném poli, které má potenciál, například gravitačním nebo elektrostatickém.

11 Netlumené harmonické kmity III
Dosadíme-li z 2. Newtonova zákona do vztahu pro sílu dostaneme pohybovou rovnici. Konkrétně diferenciální rovnici 2. řádu, která neobsahuje člen 1. řádu : Vyzkoušíme řešení například ve tvaru :

12 Netlumené harmonické kmity IV
Vypočteme první a druhou derivaci podle času a dosadíme do původní rovnice : Odtud vyjádříme  :

13 Netlumené harmonické kmity V
Časovou závislost výchylky můžeme tedy popsat: Úhlová frekvence  popisuje analogicky jako u kruhového pohybu periodicitu. Kmit lze totiž chápat jako průmět rovnoměrného pohybu po kružnici na určitou přímku. Zavádíme tedy i frekvenci f a periodu T :

14 Netlumené harmonické kmity VI
Protože výchylka vznikla dvojí integrací, obsahuje dvě integrační konstanty : amplitudu x0, která má význam největší možné výchylky a fázi , pomocí níž lze popsat kmity, které měly určitou počáteční výchylku v okamžiku, kdy se začal měřit čas. jejich hodnoty se určují z okrajových podmínek.

15 Netlumené harmonické kmity VII
Nyní vyšetříme časovou závislost výchylky, rychlosti a zrychlení :

16 Netlumené harmonické kmity VIII
Vidíme důležité vlastnosti : Rychlost se předchází před výchylkou o čtvrtinu periody. Když je výchylka nulová, je rychlost maximální a má odpovídající směr. Zrychlení je úměrné výchylce, ale je s ní v protifázi, neboli se předchází (nebo opožďuje) o polovinu periody To samozřejmě přesně odpovídá charakteru návratové síly, kterou předpokládáme.

17 Netlumené harmonické kmity IX
Vyšetříme časovou závislost energie, která zjevně musí mít dvě složky : kinetickou, protože se hmotný bod pohybuje určitou časově proměnnou rychlostí a potenciální, protože k posunutí hmotného bodu do místa s určitou výchylkou je třeba vykonat práci. Tu lze principu lze získat zpět, protože vzhledem k předpokladům netlumeného kmitu jsou ztráty energie zanedbatelné.

18 Netlumené harmonické kmity X
Najděme tuto práci : protože síla není konstantní, ale závisí na výchylce, musíme integrovat. abychom docílili určité výchylky musíme dodat kladnou práci, a to i v případě záporné výchylky.

19 Netlumené harmonické kmity XI
Tedy : V kinetické energii dosadíme za  :

20 Netlumené harmonické kmity XII
Pro celkovou energii tedy platí : a s využitím známe identity :

21 Netlumené harmonické kmity XIII
Vidíme důležité vlastnosti : Kinetická energie je ve fázi s absolutní hodnotou rychlosti. Tedy nezávisí na jejím směru. Potenciální energie je ve fázi s absolutní hodnotou výchylky. Tedy opět nezávisi na její orientaci. Celková energie nezávisí na čase, ale jen na hmotnosti a čtverci úhlové frekvence a čtverci amplitudy.

22 Netlumené harmonické kmity XIV
Celková energie kmitajícího systému je tedy dána počátečními podmínkami a zachovává se. Na začátku například vychýlíme hmotný bod do určité polohy, což bude maximální výchylka. Tím vykonáme práci a dodáme systému počáteční celkovou energii. Ta se potom v závislosti na čase rozkládá určitým způsobem na potenciální a kinetickou, ale součet zůstává roven energii, kterou jsme dodali na počátku. Podobně můžeme dodat energii kinetickou nebo obě.

23 Příklady – fyzické kyvadlo I
Kyvadla jsou systémy kmitající zpravidla v gravitačním poli (výjimka např. torzní k.). Fyzickým kyvadlem může být jakékoli tuhé těteso, které se může otáčet kolem pevné osy neprocházející těžištěm. Budeme předpokládat vzdálenost osy od těžiště a. Takové kyvadlo je ve stabilní rovnováze, když je těžiště pod osou.

24 Příklady – fyzické kyvadlo II
Vychylme kyvadlo z rovnováhy o malý úhel . V důsledku gravitace se objevuje moment síly, který se snaží vrátit těleso do rovnovážné polohy. Napišme pohybovou rovnici :

25 Příklady – fyzické kyvadlo III
Jejím řešením budou za předpokladu malých úhlů, kdy sin()  , harmonické kmity : Řešení je analogické teoretickému :

26 Příklady – fyzické kyvadlo IV
Úhlová frekvence  tedy je : V čitateli opět vystupují “elastické” vlastnosti, které dávájí systém do pohybu a ve jmenovateli vlastnosti “setrvačné”, které kladou pohybu odpor.

27 Příklady – matematické kyvadlo I
Speciálním případem fyzického kyvadla je kyvadlo matematické, jehož veškerá hmotnost m je soustředěna ve vzdálenosti l od osy otáčení. Buď na nehmotném vlákně nebo tyčce. Můžeme použít vztahy pro fyzické kyvadlo, do nichž dosadíme : a = l, G = mg, J = m l2.

28 Příklady – matematické kyvadlo II
Pro úhlovou frekvenci  tedy dostáváme : a pro periodu T : Kyvadla se používají k odměřování času nebo k měření tíhového zrychlení.