Goniometrické funkce Kotangens ostrého úhlu

Prezentace na téma: "Goniometrické funkce Kotangens ostrého úhlu"— Transkript prezentace:

1 Goniometrické funkce Kotangens ostrého úhlu
* Goniometrické funkce Kotangens ostrého úhlu Matematika – 9. ročník *

2 Strany pravoúhlého trojúhelníku
Pravoúhlý trojúhelník Co už víme C odvěsna odvěsna A přepona B Strany pravoúhlého trojúhelníku

3 Pravoúhlý trojúhelník Co už víme
𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 = 𝒄 𝟐 odvěsna odvěsna b a A přepona c B Pythagorova věta

4 Pravoúhlý trojúhelník Co už víme
A S c B Množinou vrcholů všech pravoúhlých trojúhelníků s přeponou AB je kružnice k s průměrem AB mimo bodů A a B. Thaletova věta

5 Strany pravoúhlého trojúhelníku
Pravoúhlý trojúhelník C přilehlá protilehlá odvěsna odvěsna k úhlu a k úhlu a b a a A přepona c B Strany pravoúhlého trojúhelníku

6 Strany pravoúhlého trojúhelníku
Pravoúhlý trojúhelník C protilehlá přilehlá odvěsna odvěsna k úhlu b k úhlu b b a b A přepona c B Strany pravoúhlého trojúhelníku

7 Podobnost trojúhelníků Kotangens ostrého úhlu
𝐶 3 𝐶 2 𝐶 1 𝐶 𝐵 3 𝐵 2 𝐵 1 a 𝐵 ∆𝑨𝑩𝑪~∆𝑨 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 ~∆𝑨 𝑩 𝟐 𝑪 𝟐 ~∆𝐀 𝑩 𝟑 𝑪 𝟑 (𝑝𝑜𝑑𝑙𝑒 𝑣ě𝑡𝑦 𝑢𝑢) 𝐴 platí: 𝐴𝐶 : 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶 1 : 𝐵 1 𝐶 1 = 𝐴 𝐶 2 : 𝐵 2 𝐶 2 = 𝐴 𝐶 3 : 𝐵 3 𝐶 3 Poměr délky odvěsny přilehlé k úhlu a a délky odvěsny protilehlé k úhlu a je ve všech trojúhelnících se stejným ostrým úhlem a stejný. Tento poměr nazýváme kotangens a a zapisujeme 𝐜𝐨𝐭𝐠= 𝐩ř𝐢𝐥𝐞𝐡𝐥á 𝐨𝐝𝐯ě𝐬𝐧𝐚 𝐩𝐫𝐨𝐭𝐢𝐥𝐞𝐡𝐥á 𝐨𝐝𝐯ě𝐬𝐧𝐚 = 𝐛 𝐚

8 Kotangens ostrého úhlu
Pravoúhlý trojúhelník ABC má délky stran: a = 9 cm; b = 12 cm; c = 15 cm. Určete cotg a a cotg b . co𝑡𝑔 = 𝑏 𝑎 𝑐𝑜𝑡𝑔 = 𝑎 𝑏 C protilehlá přilehlá přilehlá protilehlá b 𝑐𝑜𝑡𝑔 = 12 9 𝑐𝑜𝑡𝑔 = 9 12 odvěsna odvěsna k úhlu a k úhlu b k úhlu a k úhlu b 𝑐𝑜𝑡𝑔 = 4 3 𝑐𝑜𝑡𝑔 = 3 4 a b a 𝑐𝑜𝑡𝑔 =1,333 𝑐𝑜𝑡𝑔 =0,75 A přepona c B

9 Funkce y = cotg x Každému ostrému úhlu přísluší právě jedna hodnota kotangens. Kotangens ostrého úhlu je číslo, které je vždy větší než 0 a shora není omezeno. Proč? Protože délky odvěsen jsou libovolná kladná čísla. Předpis, který přiřazuje každému ostrému úhlu jeho hodnotu kotangens se nazývá funkce kotangens a zapisuje se y = cotg x. Definiční obor funkce y = cotg x  D(f) = (0°; 90°), obor hodnot H(f) = (0;+∞) (platí pro ostré úhly) Sestrojte graf funkce y = cotg x

10 Sestrojte graf funkce y = cotg x
cotg a 6 5,5 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 O a 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90°

11 Graf funkce y = cotg x Grafem funkce y = cotg x je kotangentoida.
Pro funkci s definičním oborem D(f) = (0°; 90°) je grafem její část. Pro funkci s definičním oborem D(f) = R – 2k·90°, kde k ∈ Z (sudé násobky) má tvar.

12 Tabulka základních funkčních hodnot funkce y = cotg x
𝟑 𝟑 𝐜𝐨𝐭𝐠 a nedefinováno 𝟑 𝟏 𝟎 Ostatní hodnoty lze určit z grafu funkce, nalézt v tabulkách, určit pomocí kalkulačky či dohledat na Internetu. Například:

13 Kotangens ostrého úhlu
Příklady 1. Urči: a) cotg 62° = 1,881 (výsledky zaokrouhli na tři desetinná místa) b) cotg 52°40´ = 1,311 c) cotg 28°17´ = cotg 28°20´ = 0,539 d) cotg 81,3° = cotg 81°18´ = cotg 81°20´ = 6,561 2. Urči velikost úhlu a, když: a) cotg a = 0,249 3 a = 76° b) cotg a = 1,206 a = 39°40´ c) cotg a = 0,789 8 a = 51°40´ d) cotg a = 12,717 a = 4°30´