FII-02 Elektrické pole a potenciál

Prezentace na téma: "FII-02 Elektrické pole a potenciál"— Transkript prezentace:

1 FII-02 Elektrické pole a potenciál

2 Hlavní body Konzervativní pole. Existence elektrického potenciálu.
Práce vykonaná na náboji v elektrickém poli. Vztah mezi potenciálem a intenzitou. Gradient. Elektrické siločáry a ekvipotenciální plochy. Pohyb nabitých částic v elektrostatickém poli.

3 Konzervativní pole V přírodě existují speciální pole, ve kterých je celková vykonaná práce při přesunu částice po libovolné uzavřené křivce rovna nule. Nazývají se poli konzervativními. Taková pole například jsou : Gravitační – pro hmotné částice Elektrostatické – pro nabité částice

4 Existence elektrického potenciálu
Z definice konzervativního pole, lze ukázat, že práce potřebná pro přesun nabité částice v elektrostatickém poli z bodu A do bodu B, nezávisí na cestě, ale pouze na jisté skalární vlastnosti pole v těchto dvou bodech. Tato vlastnost se nazývá potenciál .

5 Práce vykonaná na částici I
Přesune-li nějaký vnější činitel částici s nábojem q v elektrostatickém poli z jistého bodu A do bodu B, vykoná podle definice práci : W(A->B)  q[(B)-(A)]

6 Práce vykonaná na částici II
Obecně platí : Ep(B)=Ep(A)+W(A->B) Tuto definici srovnáme s předchozím vztahem : W(A->B)=q[(B)-(A)] =Ep(B)-Ep(A) Tedy vykoná-li vnější činitel na částici kladnou práci, zvýší tím její potenciální energii Ep :

7 Práce vykonaná na částici III
Ve většině praktických případů nás zajímá rozdíl potenciálů dvou míst. Hovoříme o něm jako o napětí U : UBA  (B)-(A) Pomocí napětí je vykonaná práce : W(A->B)=q UBA

8 Práce vykonaná na částici IV
Pro práci vykonanou vnějším činitelem na nabité částici tedy platí : W=q[(B)-(A)]=Ep(B)-Ep(A)=qUBA Je důležité si uvědomit principiální rozdíly : Mezi potenciálem, což je vlastnost pole, potenciální energií částice v poli a napětím. Mezi prací vykonanou vnějším činitelem nebo polem

9 Důsledky existence potenciálu
Díky existenci potenciálu je možné přejít od popisu pole pomocí vektorů intenzit k popisu pomocí skalárních potenciálů : Stačí nám jen třetina informací Superpozice vede na prostý aritmetický součet Některé výrazy lépe konvergují

10 Vztah mezi potenciálem a intenzitou I
Tento vztah je stejný jako vztah potenciální energie a síly, který se názorněji vysvětluje. Mějme nabitou částici, na kterou pole působí silou . Když se částice posune o vykoná pole práci dW’ :

11 Vztah mezi potenciálem a intenzitou II
Znaménko práce závisí na vzájemné orientaci projekce vektoru posunu do vektoru síly. Je-li projekce posunu ve směru síly, práci koná pole a tento posun se může uskutečnit bez zásahu vnějších sil. Nejedná se ale o “samovolný” posun. Existuje na úkor poklesu potenciální energie částice : Můžeme tedy bez újmy na obecnosti rovnou hovořit přímo o posunu do nebo proti směru síly.

12 Vztah mezi potenciálem a intenzitou III
Při posunu nabité částice do směru síly tedy práci koná pole. Při posunu proti směru síly musí práci vykonat vnější činitel : dochází při tom ke zvýšení potenciální energie částice. pole principiálně může při jiné příležitosti vynaloženou práci vrátit. Proto se tento typ energie nazývá energie potenciální.

13 Vztah mezi potenciálem a intenzitou IV
Práci uskutečněnou polem pro jistou cestu A->B tedy získáme integrací : Po vydělení nábojem dostáváme hledaný vztah mezi intenzitou a potenciálem :

14 Vztah mezi potenciálem a intenzitou V
Mějme částici nabitou kladným jednotkovým nábojem čili síla je číselně rovna intenzitě a potenciální energie je číselně rovna potenciálu. Je nutné ale mít na paměti, že intenzita a potenciál jsou vlastnosti pole síla a potenciální energie jsou vlastnosti, týkající se částice a jejich rozměr se liší [*C].

15 Vztah mezi potenciálem a intenzitou VI
Posuňme náš náboj (1C) ve směru intenzity o Platí : Tedy : (B) = (A) - Edl potenciál klesá ve směru intenzity a tedy i siločar. Také: Ep(B) = Ep(A) - W’ = Ep(A) – qEdl

16 Vztah mezi potenciálem a intenzitou VII
Intenzitu můžeme vyjádřit jako změnu potenciálu: Vidíme, že potenciál souvisí s integrálními vlastnostmi intenzity a naopak intenzita s derivací potenciálu.

17 Homogenní pole I Nejjednodušší elektrostatické pole je pole homogenní, v němž všechny vektory intenzity mají stejnou velikost a směr. V něm se také odvozené vlastnosti pole nejsnáze ilustrují. Potenciál se mění jen ve směru intenzity, což je v tomto poli jediný důležitý směr. Siločáry jsou paralelní přímky.

18 Homogenní pole II Nyní platí vše, co bylo uvedeno výše, a to dokonce pro libovolnou vzdálenost d : Intenzitu můžeme tedy chápat jako strmost přímky, která vyjadřuje spád potenciálu.

19 Homogenní pole III Chceme-li zjistit práci potřebnou k přenesení náboje nebo naopak potenciální energii, kterou ztratí a kinetickou energii, kterou získá při určitém posunu, je třeba kromě vlastností pole vzít ještě v úvahu, o jaký náboj jde. Velký náboj cítí spád své potenciální energie strmější než malý. Záporný náboj cítí spád potenciálu pole jako růst své potenciální energie.

20 Jednotky Jednotkou potenciálu  a napětí U is 1 Volt.
[ ] = [Ep/q] => V = J/C [E] = [/d] = V/m [] = [kq/r] = V => [k] = Vm/C => [0] = CV-1m-1

21 Sféricky symetrické pole I
Sféricky symetrické pole, např. pole bodového náboje je další důležitý typ pole, kde může být vztah mezi potenciálem  a intenzitou E snadno ilustrován. Mějme bodový náboj Q v počátku. Již víme, že intenzity jsou radiální a pole má kulovou symetrii :

22 Sféricky symetrické pole II
Velikost intenzity E závisí pouze na poloměru r Přesuňme testovací jednotkový náboj q z nějakého bodu A do jiného bodu B. Změna potenciálu závisí pouze na tom jak se změnil radius tedy vzdálenost od centrálního náboje. Je tomu tak proto, že během posunu při konstantním poloměru se nekoná práce.

23 Sféricky symetrické pole III
Závěr : Potenciál  sféricky symetrického pole závisí pouze na poloměru r a klesá s jeho reciprokou hodnotou 1/r Přesuneme-li v tomto poli náboj q , musíme opět brát v úvahu jeho potenciální energii

24 Obecný vztah Obecný vztah je analogický jako u gravitačního pole:
Gradient skalární funkce f v určitém bodě je vektor : Který směřuje do směru nejrychlejšího růstu funkce f. Jeho velikost je rovna změně hodnoty funkce f, kdybychom se v tomto směru přesunuli o jednotkovou vzdálenost.

25 Vztah v homogenním poli
V homogenním poli se potenciál mění (klesá) pouze podél siločar. Ztotožníme-li tento směr s osou x našeho souřadněho systému, obecné vztahy se zjednodušší na :

26 Vztah v centrosymetrickém poli
V centrosymetrickém poli se obecný vztah zjednodušší na : Tento vztah může být například užit pro ilustraci obecného tvaru potenciální energie a jeho vliv na síly mezi částicemi hmoty.

27 Ekvipotenciální plochy
Ekvipotenciální plochy jsou plochy, na kterých je potenciál konstantní. Pohybuje-li se nabitá částice po ekvipotenciální ploše, je práce vykonaná polem i vnějším činitelem rovna nule. To je možné jen ve směru kolmém k siločarám.

28 Ekvipotenciální křivky a siločáry
Každé elektrické pole můžeme zviditelnit soustavou ekvipotenciálních křivek, což jsou průsečíky ekvipotenciálních ploch s nákresnou, a siločar. V homogenním poli jsou ekvipotenciální křivky přímky kolmé k siločárám. V centrosymetrickém poli jsou ekvipotenciální křivky kružnice se středem v náboji a siločáry jsou radiály. Reálná a imaginární část analytických komplexních funkcí má vztah stejný.

29 Pohyb nabitých částic v elektrostatickém poli I
Volné nabité částice se snaží pohybovat podél siločar ve směru poklesu své potenciální energie. Z druhého Newtonova zákona : V nerelativistickém případě :

30 Pohyb nabitých částic v elektrostatickém poli II
Poměr q/m, nazývaný specifický náboj je důležitou vlastností částice. elektron, positron |q/m| = C/kg proton, antiproton |q/m| = C/kg (1836 x) -částice (He jádro) |q/m| = C/kg (2 x) Další ionty … Akcelerace elementárních částic může být obrovská! Snadno lze dosáhnout relativistických rychlostí

31 Pohyb nabitých částic v elektrostatickém poli III
Problémy lze řešit buď přes síly nebo energie. Postup přes energie je obvykle pohodlěnjší. Využívá zákon zachování energie a faktu, že v elektrostatickém poli existuje potenciální energie.

32 Pohyb ... IV energetický přístup
Je-li volná nabitá částice v určitý okamžik v bodě A elektrostatického pole a za nějakou dobu v libovolném bodě B, musí mít v obou bodech stejnou celkovou energii bez ohledu na čas, dráhu a složitost pole :

33 Pohyb ... V energetický přístup
Změna potenciální energie tedy musí být kompenzována změnami energie kinetické Ve fyzice vysokých energií se často používá jako jednotka energie 1 eV . 1eV = J.

34 Potenciál centrosymetrického pole A->B
Dosadíme za E(r) a integrujeme : Vidíme, že  se chová jako 1/r ! ^

35 Gradient I Je vektor sestrojený z diferenciálů funkce f ve směrech jednotlivých souřadných os . Je používán k odhadu změny funkce f provedeme-li elementární posun .

36 Gradient II Změna je druhý člen. Je to skalární součin. K největší změně dochází, je-li elementární posun paralelní ke směru gradientu. Jinými slovy má gradient směr největší změny funkce f ! ^

37 Zrychlení elektronu Jaké je zrychlení elektronu v elektrickém poli E = V/m ? a = E q/m = = ms-2 [J/Cm C/kg = N/kg = m/s2] Pro srovnání: Ferrari Maranello za cca 0.5 MEur dosáhne 100 km/h za 3.6 s , tedy a = 7.5 ms-2 ^

38 Relativistické efekty při urychlování elektronu
Relativistické efekty se začínají výrazněji projevovat, dosáhne-li rychlost c/10= ms-2. Jaké urychlovací napětí je potřebné k dosažení této rychlosti ? Ze zachování energie : mv2/2 = q U U=mv2/2e=9 1014/4 1011= 2.5 kV ! ^

39 Relativistický přístup
Při relativistických rychlostech musíme použít slavnou Einsteinovu rovnici : E je celková a EK kinetická energie, m je relativistická a m0 klidová hmotnost ^

40 Analytické funkce komplexní proměnné Riemann Cauchyho podmínky I
Komplexní funkci f(z), kde z = x + jy, můžeme chápat jako dvojici funkcí dvou proměnných: f(z) = P(x, y) + jQ(x,y) Její derivace je vlastně derivací složené funkce: Je-li tato funkce analytická, má vlastnosti potenciálu. Její přírustek tedy nezávisí směru

41 Analytické funkce RC podmínky II
Pravá strana předchozí rovnice je poměr dvou lineárních závislostí. Má-li být konstantní, musí být směrnice v čitateli i jmenovateli stejné: Rovnost v oboru komplexních čísel znamená ale rovnost reálné i imaginární složky.

42 Analytické funkce RC podmínky III
Funkce P a Q tedy splňují Riemann-Cauchyho podmínky: Ty znamenají, že funkce jsou na sebe kolmé a navíc z nich vyplývá, že každá Laplaceovu rovnici, stejně jako potenciál: ^