Jana Cibulková Obor Matematické modelování v technice

Prezentace na téma: "Jana Cibulková Obor Matematické modelování v technice"— Transkript prezentace:

1 Použití metody konečných prvků v úlohách elasticity s malou stlačitelností
Jana Cibulková Obor Matematické modelování v technice Školitel: Ing. Jiří Plešek, CSc. Konzultant: RNDr. Marta Čertíková

2 Uzamknutí (locking) a jeho odstranění
Úvodem formulace problému aproximace pomocí MKP Uzamknutí (locking) a jeho odstranění metody vedoucí k odstranění uzamykání metoda podintegrování numerické experimenty Shrnutí

3 Klasická formulace smíšené úlohy pružnosti
Na oblasti s jednou spojitě diferencovatelnou hranicí Γ hledáme složky kde splňující Lamého rovnice pro homogenní a izotropní materiál v Ω, i=1,2: Okrajové podmínky: λ, μ Lamého konstanty τij tenzor napětí: vektor vnějších sil eij tenzor malé deformace zadaný vektor napětí na Γt νi vektor jednotkové vnější normály zadané posunutí na Γu

4 Slabá formulace a její aproximace MKP
Hledáme složky splňující Prostor testovacích funkcí Nechť Vh je konečně rozměrný podprostor V s bází Řešení hledáme ve tvaru Výsledkem je systém rovnic pro neznámý vektor posunutí U v uzlech Zde B je matice derivací testovacích funkcí a E je matice elastických konstant.

5 Uzamknutí (locking) a jeho odstranění
Locking je označení situace, kdy tvarové funkce prvku nepřenesou žádaný deformační mod. Hlavní typy uzamknutí smykové uzamknutí (shear locking) objemové uzamknutí (volumetric locking) Projevy uzamknutí výskyt fiktivních napětí zvýšení tuhosti výrazné změny hodnot napětí na elementu Metody odstranění uzamknutí smíšené a hybridně – smíšené metody podintegrování a stabilizace

6 Podintegrování Under-integration je použití integračního pravidla s nižším než plným řádem. Výhody redukce výpočtového času změkčující vliv (odstranění objemového uzamknutí) Nevýhody výskyt hourglass modů (spourious mody, mody nulové energie, singulární mody, nestabilita nebo mechanismus)

7 Numerické experimenty
známé analytické řešení pole napětí nezávisí na Poissonově čísle Q4 – bilineární isoparametrický element se 4 uzly obdélníková a čtyřúhelníková síť

8 Q4 element Výhody Nevýhody jednoduchá formulace
konvergence numerického řešení k anlytickému se zjemněním sítě snadný výpočet matice tuhosti Nevýhody nevhodný pro hrubé sítě volumteric locking pro materiál s nestlačitelým chováním při rovinné deformaci

9 Konvergence numerického řešení k anlytickému se zjemněním sítě pro Q4
a): 16 elementů b): 64 elementů c): 256 elementů d): 1024 elementů Obr. 1: Regulární zahušťení sítě Obr. 2: Konvergence numerického řešení

10 Obr. 3: Nezávislé mody posunutí elementu Q4
Q4 a podintegrace Plná Gaussova integrace: 2x2 Gaussovy body Redukovaná integrace : 1 Gaussův bod ve středu elementu Mod 1 - 3: pohyb tuhého tělesa Mod 4 - 6: konstatní deformace Mod 7 - 8: ohyb Obr. 3: Nezávislé mody posunutí elementu Q4

11 Referenční příklady 1. příklad – pevná deska Jednoosá napjatost
Okrajové podmínky Analytické řešení Očekáváme mody nulové energie

12 Obr. 4: Vývoj napětí na desce
1. referenční příklad 2x2 integrace Poissonovo číslo ν = ν = 1x1 integrace Obr. 4: Vývoj napětí na desce

13 Chyba numerických výsledků
Obr. 4a): Vývoj chyby v posunutí v uzlu 13 pro hodnoty Poissonova čísla ν =

14 Referenční příklady 2. příklad – pevná deska s dírou Okrajové podmínky
Analytické řešení (s pomocí Airyho funkce napětí) podél osy x Maximální hodnota napětí Očekáváme objemové uzamknutí pro rostoucí Poissonovo číslo

15 2. referenční příklad - 2x2 integrace
Obr. 5: Vývoj napětí na desce pro hodnoty Poissonova čísla ν=0.3 a ν=0.4998

16 2. referenční příklad - 2x2 integrace
Obr. 6: Vývoj napětí podél osy x pro hodnoty Poissonova čísla ν=0.3, ν=0.4998

17 2. referenční příklad - 2x2 integrace
Obr. 6a): Vývoj napětí podél osy x pro hodnoty Poissonova čísla ν=0.3

18 2. referenční příklad - 2x2 integrace
Obr. 6b): Detail vývoje napětí podél osy x pro hodnoty Poissonova čísla ν=0.3

19 2. referenční příklad - 2x2 integrace
Obr. 6c): Vývoj napětí podél osy x pro hodnoty Poissonova čísla ν=0.49 a ν=0.4998

20 2. referenční příklad - Podintegrace
Obr. 7: Vývoj napětí na desce pro hodnoty Poissonova čísla ν=0.3 a ν=0.4998

21 2. referenční příklad - Podintegrace
Obr. 8: Vývoj napětí podél osy x pro hodnotu Poissonova čísla ν=0.3, ν=0.4998

22 Chyba numerických výsledků
Obr. 9: Vývoj chyby pro maximum napětí σy a hodnoty Poissonova čísla ν =

23 Závěr Hlavní výsledky práce Získané poznatky
vývoj vlastního MKP programu pro testování uzamykání a metod pro jeho odstranění, implementace metody podintegrace testovací úlohy pro objemové uzamknutí porovnaní analytického řešení a podintegrace na desce s dírou Získané poznatky demonstrace projevů objemového uzamknutí podintegrace postačuje k zabránění uzamknutí na složitější síti pointegrovaní nestačí pro pravidelnou obdélníkovou síť a vyžaduje stabilizaci v posunutí Práce byla součástí grantového projektu 101/06/0914.

24 Literatura [1] M. Bischoff: Advanced Finite Element Methods, lecture notes for Program on Computational Mechanics, Technical University Munich, summer 2005 [2] R. D. Cook, D. S. Malkus, M. E. Plesha, R. J. Witt: Concepts and Applications of Finite Element Analysis, John Wiley & sons, 4th edition, 2002 [3] U. Hueck, P. Wriggers: A Formulation for the 4-node Quadrilateral Element, International Journal for Numerical Methods In Engineering, vol. 38, , 1995 [4] U. Hueck, H. L. Schreyer, P. Wriggers: On the Incompressible Constraint of the 4-node Quadrilateral Element, International Journal for Numerical Methods In Engineering, vol. 38, , 1995 [5] M. Čertíková: Finite Element Method, lecture notes for Program on Applied Mathematics, Czech Technical University, summer 2005 [6] D. Gabriel: Applied Strength Of Materials, lecture notes for Program on Applied Mathematics, Czech Technical University, winter 2004 [7] K. J. Bathe: Finite Element Procedures, Upper Saddle River : Prentice Hall, 1996 [8] Wikipedia, the free encyclopedia,