KOMBINATORIKA Permutace Variace Kombinace

Prezentace na téma: "KOMBINATORIKA Permutace Variace Kombinace"— Transkript prezentace:

1 KOMBINATORIKA Permutace Variace Kombinace
PERMUTACE n PRVKŮ BEZ OPAKOVÁNÍ,n ϵ N Nechť M je množina tvořená n různými prvky. Libovolnou uspořádanou n-tici,utvořenou prvky této množiny,nazýváme n-prvkovou permutací (popř. permutací n prvků) bez opakování.

2 KOMBINATORIKA Počet existujících permutací n různých prvků je: P(n)=n∙(n-1)∙(n-2)∙...2∙1 tento součin označujeme n! (čteme n-faktoriál) n-faktoriál Lze definovat vztahy: 0!=1 (n+1)!=n!∙(n+1) pro každé nϵN

3 KOMBINATORIKA Příklad:
6 lidí máme postavit „do fronty“, t.j. přiřadit jim pořadí. Kolika způsoby to lze provést? Řešení: Každá taková šestice je jednou permutací prvků Dané šestiprvkové množiny. Jejich počet je: P(6) = 6! = 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 720

4 KOMBINATORIKA PERMUTACE S OPAKOVÁNÍM
Máme 10 hraček rozdat 10 různým dětem.Kolika způsoby to lze provést, jestliže mezi 10 hračkami jsou 3 stejná autíčka? Jejich vzájemné výměny neznamenají nové permutace. Celkově bude tedy permutací tolikrát méně, kolik existuje pořadí (permutací) opakujících se prvků.

5 KOMBINATORIKA Obecně Nechť mezi n prvky uvažované množiny je
k1 stejných 1. druhu k2 stejných 2. druhu . kr stejných r-tého druhu (kde k1+ k2+….+ kr=n)

6 KOMBINATORIKA Různých permutací prvků této množiny pak je:
V našem případě:

7 KOMBINATORIKA VARIACE k-té TŘÍDY Z n PRVKŮ BEZ OPAKOVÁNÍ jsou uspořádané k-tice tvořené z prvků dané n-prvkové množiny, přičemž se žádný prvek v k-tici neopakuje.(na pořadí záleží!) Počet takových variací je

8 KOMBINATORIKA Příklad:
Hokejového turnaje se účastní 8 družstev. Kolika způsoby mohou být obsazena první tři místa? Řešení: