Užití Thaletovy kružnice

Prezentace na téma: "Užití Thaletovy kružnice"— Transkript prezentace:

1 Užití Thaletovy kružnice
Konstrukce pravoúhlého trojúhelníku, je-li zadána jeho přepona a výška k ní příslušná. Autor obrázků © Mgr. Radomír Macháň

2 Pravoúhlý trojúhelník a jeho vlastnosti
Zopakujeme základní vlastnosti, které nám často pomohou při pozdějších konstrukcích. Pravoúhlý trojúhelník je speciální typ trojúhelníku, tzn. rovinného geometrického útvaru sestávajícího ze tří stran, tří vrcholů a tří vnitřních úhlů, z nichž jeden je pravý.

3 Trojúhelník – součet vnitřních úhlů
Zopakujeme základní vlastnosti, které nám často pomohou při pozdějších konstrukcích. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je vždy 180°. 54° 36° 90° ____ 180°

4 Pravoúhlý trojúhelník a jeho vlastnosti
Zopakujeme základní vlastnosti, které nám často pomohou při pozdějších konstrukcích. Všechny vrcholy pravoúhlého trojúhelníku leží na Thaletově kružnici. Thaletova kružnice je taková kružnice, která má střed uprostřed přepony pravoúhlého trojúhelníku a poloměr poloviny přepony.

5 Pravoúhlý trojúhelník a jeho vlastnosti
Zopakujeme základní vlastnosti, které nám často pomohou při pozdějších konstrukcích. Thaletova kružnice sestrojená nad přeponou trojúhelníku je tedy množinou všech bodů, které mohou být vrcholem pravoúhlého trojúhelníku s danou přeponou.

6 Pravoúhlý trojúhelník a jeho vlastnosti
Zopakujeme základní vlastnosti, které nám často pomohou při pozdějších konstrukcích. Thaletova kružnice sestrojená nad přeponou trojúhelníku je tedy množinou všech bodů, které mohou být vrcholem pravoúhlého trojúhelníku s danou přeponou.

7 Výška trojúhelníku - kolmá vzdálenost strany a příslušného vrcholu.
Zopakujeme základní vlastnosti, které nám často pomohou při pozdějších konstrukcích. - kolmá vzdálenost strany a příslušného vrcholu. - úsečka, jejímiž krajními body jsou vrchol trojúhelníku a pata kolmice vedené tímto vrcholem k jeho protější straně. Protože trojúhelník má tři vrcholy a k nim příslušné (protější) tři strany, má i tři výšky.

8 Výška trojúhelníku Bodům Pa, Pb a Pc říkáme pata výšky.
Zopakujeme základní vlastnosti, které nám často pomohou při pozdějších konstrukcích. Bodům Pa, Pb a Pc říkáme pata výšky. Výšky se protínají v jednom bodě V, tzv. ortocentru. Výšky označujeme obvykle malým písmenem v s indexem názvu strany, ke které příslušná výška patří. Slovem výška označujeme v trojúhelníku jak úsečku, tak její délku.

9 Výšky v trojúhelníku ostroúhlém.
Zopakujeme základní vlastnosti, které nám často pomohou při pozdějších konstrukcích. K sestrojení výšky nám z pohledu konstrukčního, jak již bylo řečeno, pomáhá kolmice na stranu procházející příslušným vrcholem.

10 Výšky v trojúhelníku pravoúhlém.
Zopakujeme základní vlastnosti, které nám často pomohou při pozdějších konstrukcích. V případě pravoúhlého trojúhelníku jsou paty dvou výšek shodné s jedním z vrcholů, tedy i dvě výšky jsou shodné se dvěma stranami trojúhelníku!

11 Výšky v trojúhelníku tupoúhlém.
Zopakujeme základní vlastnosti, které nám často pomohou při pozdějších konstrukcích. Pokud je trojúhelník tupoúhlý, nenáleží paty dvěma stranám samotným, ale přímkám, na nichž strany leží. Díky tomu i příslušné dvě výšky leží mimo trojúhelník, stejně jako ortocentrum.

12 Výška trojúhelníku a konstrukce
Zopakujeme základní vlastnosti, které nám často pomohou při pozdějších konstrukcích. Je-li při konstrukci trojúhelníku zadána výška, použijeme ji k sestrojení rovnoběžky s příslušnou stranou ve vzdálenosti dané velikostí výšky. C C C C C C C C p Přímka p je množinou všech bodů, které mají od dané strany c vzdálenost danou výškou vc. vc vc vc vc vc vc vc vc

13 A nyní již přikročíme ke konstrukci.
Sestrojte pravoúhlý trojúhelník ABC, ve kterém přepona c = 8 cm a výška vc = 3 cm. Náčrt: Pravý úhel, tj. úhel o velikosti 90° leží vždy proti přeponě, tzn. nejdelší straně pravoúhlého trojúhelníku. Abychom mohli sestrojit trojúhelník, potřebujeme mít zadány tři údaje. Zdálo by se tedy, že nám jeden chybí. Ale není tomu tak. Je ukrytý ve slůvku pravoúhlý. =90° vc . c

14 Náčrt a rozbor: 1) Začneme jako vždy stranou, v tomto případě přeponou c, proti které leží pravý úhel. 2) Následuje použití pravého úhlu, lépe řečeno toho, že při vrcholu C bude pravý úhel – sestrojíme tedy množinu všech bodů, z nichž je přepona C vidět pod úhlem 90° - sestrojíme Thaletovu kružnici. 3) Jako poslední využijeme ze zadání výšku vc – sestrojíme přímku q rovnoběžnou se stranou AB, tzn. množinu všech bodů, které mají od strany c vzdálenost rovnající se velikosti výšky vc, na které leží i vrchol C. o Sestrojíme střed přepony c, tj. střed Thaletovy kružnice. Poloměr je dán vzdáleností středu přepony od jejích krajních bodů, tj. AS = SB. k C C1 q a1 b b1 a c p S

15 Zápis a konstrukce: 1. AB; AB = c = 8 cm
4. q; qp, p;q = vc = 3 cm 2. S; S je střed AB 5. C, C1; C, C1  k  q 3. k; k(S; ½ AB = AS) 6. Trojúhelník ABC, ABC1 o k C C1 q b b1 a a1 c A S B p

16 Výsledný trojúhelník Úloha má dvě řešení. (v polorovině určené úsečkou AB a bodem C) Konstrukci proměříme, zda odpovídá zadání a trojúhelník vytáhneme silněji. A takto vypadá celá konstrukce.

17 Pár příkladů k procvičení
1) Sestrojte pravoúhlý trojúhelník ABC, jestliže: přepona c = 6 cm, výška vc = 3 cm. Klikni pro ukázku řešení.

18 Pár příkladů k procvičení
1) Sestrojte pravoúhlý trojúhelník ABC, jestliže: přepona c = 6 cm, výška vc = 3 cm. Úloha má jedno řešení, jestliže je výška rovna polovině příslušné strany.

19 Pár příkladů k procvičení
2) Sestrojte pravoúhlý trojúhelník ABC, jestliže: přepona b = 75 mm, výška vb = 2 cm. Klikni pro ukázku řešení.

20 Pár příkladů k procvičení
2) Sestrojte pravoúhlý trojúhelník ABC, jestliže: přepona b = 75 mm, výška vb = 2 cm. Úloha má dvě řešení, jestliže je výška menší než polovina příslušné strany.

21 Pár příkladů k procvičení
3) Sestrojte pravoúhlý trojúhelník ABC, jestliže: přepona a = 55 mm, výška va = 4 cm. Klikni pro ukázku řešení.

22 Pár příkladů k procvičení
3) Sestrojte pravoúhlý trojúhelník ABC, jestliže: přepona a = 55 mm, výška va = 4 cm. Úloha nemá řešení, jestliže je výška větší než polovina příslušné strany.

23 Přeji vám mnoho přesnosti při rýsování!