FIFEI-06 Gravitační a elektrostatické působení II

Prezentace na téma: "FIFEI-06 Gravitační a elektrostatické působení II"— Transkript prezentace:

1 FIFEI-06 Gravitační a elektrostatické působení II
Doc. Miloš Steinhart, UPCE , ext. 6029

2 Hlavní body Obecné analogie gravitačního a elektrického pole
Souvislost potenciální energie a síly a potenciálu a intenzity Gradient Ukázky řešení typických problémů Gravitační a tíhová zrychlení, tíha Pohyb hmotných těles v gravitačním poli Použití potenciální energie

3 Konzervativní pole Řada vlastností gravitačního a elektrostatického pole je analogická, ale gravitační pole se nedá odstínit. Gravitační pole pro hmotné částice, podobně jako elektrostatické pole pro částice nabité, jsou příkladem konzervativních polí. Jsou definovány tak, že je nich celková vykonaná práce při přesunu částice po libovolné uzavřené křivce rovna nule.

4 Existence potenciální energie
Z definice konzervativního pole, lze ukázat, že práce potřebná pro přesun nabité částice v elektrostatickém poli (nebo hmotné částice v poli gravitačním) z bodu A do bodu B, nezávisí na cestě, ale pouze na jisté skalární vlastnosti částice v těchto dvou bodech. Tato vlastnost se nazývá potenciální energie Ep.

5 Existence potenciálu Potenciální energii lze dále napsat jako součin vlastnosti částice, náboje nebo hmotnosti a jisté skalární vlastnosti pole v těchto dvou bodech. Tato vlastnost se nazývá elektrický potenciál e nebo gravitační potenciál g.

6 Práce v gravitačním poli
Přesune-li například nějaký vnější činitel částici s hmotností m v gravitačním poli z jistého bodu A do bodu B, vykoná podle definice potenciálu práci :

7 Práce v elektrickém poli
Přesune-li například nějaký vnější činitel částici s nábojem q v elektrostatickém poli z jistého bodu A do bodu B, vykoná podle definice potenciálu práci :

8 Potenciál shrnutí I Pro potenciální energii částice obecně platí :
Vykoná-li vnější činitel na částici kladnou práci, zvýší tím její potenciální energii Ep definovanou podle druhu pole :

9 Potenciál shrnutí II UAB  (B)-(A) W(A->B)=q UAB
Ve většině praktických případů nás zajímá rozdíl potenciálů dvou míst. U elektrického pole o něm hovoříme jako o napětí U : UAB  (B)-(A) Pomocí napětí je vykonaná práce : W(A->B)=q UAB

10 W=q[(B)-(A)]=Ep(B)-Ep(A)=qUAB
Potenciál shrnutí III Pro práci vykonanou vnějším činitelem na nabité částici tedy platí : W=q[(B)-(A)]=Ep(B)-Ep(A)=qUAB Je důležité si uvědomit principiální rozdíly : Mezi potenciálem, což je vlastnost pole, potenciální energií částice v poli a napětím. Mezi prací vykonanou vnějším činitelem nebo polem

11 Důsledky existence potenciálu
Díky existenci potenciálu je možné přejít od popisu příslušného pole pomocí vektorů intenzit k popisu pomocí skalárních potenciálů Stačí nám jen třetina informací Superpozice vede na prostý aritmetický součet Některé výrazy lépe konvergují

12 Elektrické jednotky Jednotkou potenciálu  i napětí U je 1 Volt.
[ ] = [Ep/q] => V = J/C [E] = [/d] = V/m [] = [k q/r] = V => [k] = Vm/C => [0] = CV-1m-1

13 Obecný vztah Obecný vztah je analogický u elektrického i gravitačního pole: Gradient skalární funkce f v určitém bodě je vektor : Který směřuje do směru nejrychlejšího růstu funkce f. Jeho velikost je rovna změně hodnoty funkce f, kdybychom se v tomto směru přesunuli o jednotkovou vzdálenost.

14 Gravitační pole v blízkosti Země I
Gravitační pole v těsné blízkosti Země lze pro zjednodušení charakterizovat intenzitou. Její velikost nazýváme gravitačním zrychlením : Po korekcích gravitačního zrychlení ag = 9.83 ms-2 na rotaci Země, dostáváme měřitelné tíhové zrychlení. Jeho střední hodnota je g = 9.81 ms-2. Na nízkých drahách družic ~100 km je g podobné.

15 Gravitační pole v blízkosti Země II
Ve vztahu vystupuje součin M. Gravitační konstanta  se musí určit z nezávislého měření v laboratoři. Dostatečně jednoduše a citlivě měřit lze například na torzních vahách. Díky tomu se v laboratoři ‘váží‘ nebeská tělesa. Tíhové zrychlení vykazuje drobné odchylky hlavně v důsledku lokálních nehomogenit hmotnosti povrchu Země. Toho se využívá při geologickém průzkumu.

16 Gravitační pole v blízkosti Země III
Je-li  již známá lze vesmírná tělesa vážit z pohybu jejich oběžnic. Zemi tedy z z pohybu Měsíce, ale též z gravitačního zrychlení. Příklad : Určete M a M z  a g.

17 Potenciál I Potenciál v jistém bodě centrosymetrického gravitačního pole získáme rozdělením potenciální energie na vlastnost pole a vlastnost částice : Potenciál v kalibraci C = 0 :

18 Potenciál II Obecně je pohodlnější popisovat gravitační pole pomocí potenciálu, ale na jeho základě je nutné umět vypočítat intenzitu a sílu : V centrosymetrickém případě tedy :

19 Zákon zachování energie I
Práce dodaná do systému se rovná přírůstku jeho celkové energie, který je roven součtu přírůstku kinetické a přírůstku potenciální energie. Jak se přírůstky konkrétně rozdělí závisí na dalších podmínkách problému. Je-li práce kladná může se kinetická energie i snížit, ale její pokles musí být vykompenzován odpovídajícím vzrůstem energie potenciální

20 Zákon zachování energie II
Je-li práce dodaná do systému nulová zachovává se celková energie, tedy součet energie kinetické a potenciální. (Zatím uvažujeme jen tyto dva druhy energie). Jeden druh energie se ale může měnit v druhý. V těsné blízkosti Země :

21 Pohyb satelitů I Obecně se tělesa otáčejí kolem společného těžiště.
Je-li satelit podstatně lehčí než centrální těleso lze společné těžiště ztotožnit s těžištěm centrálního tělesa. Uvažujme pro jednoduchost kruhovou dráhu. V prvním přiblížení je dostředivá síla realizována silou gravitační a platí :

22 Pohyb satelitů II Můžeme například vyjádřit rychlost oběhu :
Nyní chápeme 3. Keplerův zákon pro satelity obíhající stejné centrální těleso:

23 Pohyb satelitů III Jsou-li hmotnosti obíhajícího a obíhaného tělesa srovnatelné, musí se uvažovat pohyb kolem jejich společného těžiště. Čili dochází i k pohybu ‘centrálního’ tělesa. Takto lze vysvětlit příliv a odliv nebo odhalit exoplanety u vzdálených hvězd. Používá se přímého pozorování a moderněji spektroskopických metod (1780, 818 letos!).

24 1. Kosmická rychlost 1. Kosmická rychlost je rychlost oběhu po kruhové dráze těsně u povrchu vesmírného tělesa. Tedy zakřivení dráhy vodorovného vrhu akorát kopíruje povrch tělesa. Takový pohyb je možný pouze, když těleso nemá atmosféru, třeba u Měsíce. V případě Země se jedná o hodnotu fiktivní, těleso by bylo atmosférou zbržděno a shořelo by:

25 2. Kosmická rychlost 2. Kosmická neboli úniková rychlost je taková, při které má těleso kinetickou energii dostatečnou k tomu, aby se dostalo z dosahu Země do nekonečna Opět nesmí dojít ke ztrátám průletem atmosférou Rozdíl od rychlosti potřebné k dosažení např. Měsíce je ale nepatrný.

26 3. Kosmická rychlost 3. Kosmická neboli úniková rychlost je taková, při které má těleso kinetickou energii dostatečnou k tomu, aby se dostalo ze Země z dosahu Slunce do nekonečna Úniková rychlost z oběžné dráhy Země je Ms je hmotnost Slunce, rsz je poloměr dráhy Země. Při vypuštění sondy ve směru obíhání Země lze ale odečíst obvodovou rychlost Země, tedy cca 30 km/s.

27 Proč shořela Columbie I
Celková energie satelitu : Kde jsme použili dříve odvozený vztah pro rychlost satelitu:

28 Proč shořela Columbie II
Podle předchozího se celková energie satelitu musí zvětšit dodáme-li práci. Přitom : se zvětší její vzdálenost od Země její rychlost se zmenší (!) Když naopak satelit vstupuje do atmosféry a je bržděn atmosférou nebo svými motory, klesá jeho výška, ale roste rychlost. Musí tedy (v určité fázi letu, například než může letět jako letadlo nebo být bržděno padáky) vydržet obrovské teploty.

29 Moderní teorie gravitace
Albert Einstein se zabýval ekvivalencí gravitační a setrvačné hmotnosti na ní a na předpokladu, že fyzikální zákony musí v každé (i neinerciální) soustavě být stejné vybudoval obecnou teorii relativity. Podle ní hmotnost zakřivuje časoprostor ve svém okolí. Experimentálními potvrzeními této teorie jsou například ohyb elektromagnetických vln v blízkosti velkých těles (Slunce, Jupiter) a stáčení roviny oběhu Merkura.

30 Skalární součin Ať Definice I (ve složkách) Definice II
Skalární součin je součin velikosti jednoho vektoru krát průmět velikosti vektoru druhého do jeho směru. ^

31 Příklad - potenciál I Spočítejme práci, kterou musíme (jako vnější činitel) dodat pro přemístění hmotnosti m z rA do rB v centrálním poli jisté hmotnosti M. Závisí jen na vzdálenostech od tělesa a práci musíme dodávat jen při zvětšování r, protože působíme proti přitažlivé síle.

32 Příklad - potenciál II Tuto práci chápeme jako přírůstek potenciální energie srovnáním

33 Příklad - potenciál III
Práce dodaná tělesu vnějším činitelem zvýší jeho potenciální energii. Tu obecně definujeme včetně integrační konstanty C, dané kalibrací: Často předpokládáme, že potenciální energie v nekonečnu je nulová, což odpovídá C=0 : ^

34 Gradient I Je vektor sestrojený z diferenciálů funkce f ve směrech jednotlivých souřadných os . Je používán k odhadu změny funkce f provedeme-li elementární posun .

35 Gradient II Změna je druhý člen. Je to skalární součin. K největší změně dochází, je-li elementární posun paralelní ke směru gradientu. Jinými slovy má gradient směr největší změny funkce f ! ^

36 První kosmická rychlost pro Měsíc
Takové rychlosti může dosáhnout speciální střela a rozhodně také molekuly plynu, který by tvořil atmosféru Měsíce. Proto Měsíc atmosféru nemá a ani by se ji tam nepodařilo vytvořit. ^

37 Relativistické efekty při urychlování elektronu
Relativistické efekty se začínají výrazněji projevovat, dosáhne-li rychlost c/10= ms-2. Jaké urychlovací napětí je potřebné k dosažení této rychlosti ? Ze zachování energie : mv2/2 = q U U=mv2/2e=9 1014/4 1011= 2.5 kV ! ^

38 Dvě 1 g Fe kuličky, 1 m od sebe se přitahují silou 10 N
Dvě 1 g Fe kuličky, 1 m od sebe se přitahují silou 10 N. Jaký je jejich přebytečný náboj? Přebytečný náboj : Celkový a přebytečný /celkový náboj : ^

39 Korekce g na rotaci Země I
Srovnejme tíhu tělesa na pólu a na rovníku : ^

40 Korekce g na rotaci Země II
Přesný výpočet vyžaduje vzít v úvahu zploštění Země, na rovníku cca 21 km. V zeměpisných šířkách mezi rovníkem a pólem je nutno vzít v úvahu i fakt, že odstředivé zrychlení působí kolmo k ose otáčení, takže výsledné tíhové zrychlení nesměřuje přesně do středu Země. ^

41 Gravitační zrychlení ve výšce 200 km
Poměr gravitačního zrychlení ve výšce 200 km, kde již létají některé družice je : (Rz/(Rz+200))2 = 94 % Je tedy téměř stejné jako na Zemi, takže například raketa, která vynáší družici na nízkou oběžnou dráhu se ze zemského gravitačního pole nijak výrazně nevymaní. ^