Rovnoběžné promítání. Nevlastní útvary. Osová afinita v rovině.

Prezentace na téma: "Rovnoběžné promítání. Nevlastní útvary. Osová afinita v rovině."— Transkript prezentace:

1 Rovnoběžné promítání. Nevlastní útvary. Osová afinita v rovině.
1.přednáška Rovnoběžné promítání. Nevlastní útvary. Osová afinita v rovině.

2 Literatura: Černý, J. - Kočandrlová, M.:
Konstruktivní geometrie. Skriptum ČVUT, Praha 1995. Dudková, K. – Hamříková, R.: Kuželosečky, kolineace. Skriptum VŠB-TU, Ostrava 2005 Piska, R. - Medek, V.: Deskriptivní geometrie I., Praha, SNTL 1967. Urban, A.: Deskriptivní geometrie I. Praha, SNTL 1965.

3 Pojmy: rovnoběžné promítání průmětna směr promítání průmět
promítací přímka promítací rovina stopník stopa kolmé promítání souřadnice nevlastní bod nevlastní přímka nevlastní rovina rozšířený euklidovský prostor afinita osa afinity samodružný bod

4 Co to je promítání? Promítání je zobrazení trojrozměrného prostoru E3 do roviny E2. Rovnoběžné promítání je dáno průmětnou π a směrem s – (π, s). Středové promítání je dáno průmětnou π a středem promítání S – (π, S).

5 Základní vlastnosti rovnoběžného promítání
Průmětem libovolného bodu je bod. Průmětem přímky  je bod, resp. přímka . Promítání zachovává incidenci. Průsečík přímky s průmětnou je stopník této přímky. Průmětem dvou různých rovnoběžných přímek jsou buď dva různé body ( a // b // s ) nebo jedna přímka nebo dvě rovnoběžné přímky (neboli: rovnoběžné promítání zachovává rovnoběžnost přímek). Průmětem roviny je buď přímka nebo celá průmětna. Průsečnice roviny s průmětnou se nazývá stopou této roviny . Promítání zachovává střed úsečky (obecně dělicí poměr).

6 ad 2) Průmětem přímky a je bod a‘ , resp. přímka a‘ :

7 ad 5) Průmětem dvou různých rovnoběžných přímek mohou být dva různé body ( a // b // s ):

8 ad 5) Průmětem dvou různých rovnoběžných přímek může být jedna přímka:

9 ad 5) Průmětem dvou různých rovnoběžných přímek mohou být dvě různé rovnoběžné přímky:

10 ad 8) Promítání zachovává střed úsečky.

11 Kolmé (pravoúhlé) promítání
- je rovnoběžné promítání, jehož směr je kolmý na průmětnu.

12 Vlastnosti kolmého promítání:
Nechť průmětem úsečky AB, neležící na promítací přímce, je úsečka A‘B‘, pak: v pravoúhlém promítání platí: |A‘B‘| = |AB| cos  , kde  je odchylka přímky AB od průmětny. Kolmý průmět úsečky je tedy vždy kratší nebo roven délce původní úsečky.

13 Kolmý průmět pravého úhlu:
Předpokládejme, že žádné z ramen pravého úhlu není kolmé k průmětně. Kolmým průmětem pravého úhlu je pravý úhel právě tehdy, když aspoň jedno rameno úhlu je rovnoběžné s průmětnou. ( úhel ACB = úhel A‘C‘B‘= R)

14 Rozšířený euklidovský prostor
Nevlastním bodem (neboli směrem) označujeme společný bod soustavy navzájem rovnoběžných vlastních přímek. Euklidovskou přímku doplněnou o její nevlastní bod nazveme rozšířenou euklidovskou přímkou.

15 Rozšířený euklidovský prostor
Nevlastní přímkou (neboli zaměřením) označujeme společnou přímku soustavy navzájem rovnoběžných vlastních rovin. Euklidovskou rovinu doplněnou o její nevlastní přímku nazveme rozšířenou euklidovskou rovinou.

16 Rozšířený euklidovský prostor
Nevlastní rovinou nazýváme množinu nevlastních bodů všech přímek prostoru. Euklidovský prostor E3 doplněný o nevlastní rovinu nazveme rozšířený euklidovský prostor.

17 Příklad Určete rovinu ρ procházející přímkou p a nevlastním bodem B.
Neboli: Sestrojte rovinu, která prochází přímkou p a je rovnoběžná se směrem B.

18 Rovina ρ je rovnoběžná s přímkou B

19 Souřadnice bodu v rovině a v prostoru:
Pravoúhlý souřadnicový systém : kladný a záporný v rovině, pravo- a levotočivý v prostoru.

20 Rovnoběžný průmět tělesa
U - těleso, k - skutečný obrys tělesa, k‘ - zdánlivý obrys tělesa (průmět skutečného obrysu), U‘ - průmět tělesa,  - promítací plocha tělesa je tvořena všemi promítacími přímkami skutečného obrysu

21 Osová afinita v rovině:
Odvození základní pojmy a vlastnosti: osová afinita v rovině je nejčastěji dána osou o a jednou dvojicí odpovídajících si bodů A,A‘. je-li směr s kolmý k ose o, nazývá se taková afinita pravoúhlá. osová afinita zachovává incidenci. odpovídající si body leží na přímkách, které jsou rovnoběžné se směrem s afinity , odpovídající si přímky se protínají na ose o afinity v tzv. samodružných bodech. afinita zachovává rovnoběžnost přímek a dělicí poměr na odpovídajících si úsečkách (tzn. např. střed úsečky).

22 Příklad: V osové afinitě určené dvojicí sdružených přímek a a a1 a dvojicí sdružených bodů O a O1 sestrojte k pravidelnému šestiúhelníku, vepsanému do kružnice se středem v bodě O a se stranou na přímce a, šestiúhelník afinně sdružený .

23 Proužková konstrukce elipsy (využívá kolmé afinity mezi elipsou a kružnicí):
Použijeme pro vyhledání délky vedlejší poloosy b, pokud známe hlavní vrcholy A,B a jeden libovolný bod M elipsy.