CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. 19. PŘEDNÁŠKA.

Prezentace na téma: "CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. 19. PŘEDNÁŠKA."— Transkript prezentace:

1 CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. 19. PŘEDNÁŠKA Březen 2010 Teorie front - HO

2 SYSTÉMY HROMADNÉ OBSLUHY – teorie front březen 2010 ☼☺☼☺ Teorie front - HO ….. další oblastí jsou

3 březen 2010 Zkoumají se systémy, ve kterých dochází k realizaci obsluhy požadavku přicházejících do systému na obslužných zařízeních (linkách, stanicích). Ty mají omezenou kapacitu obsluhy. Požadavky vstupují do systému s různou intenzitou. Teorie front - HO

4 březen 2010 V závislosti na vztahu kapacity obslužných zařízení a intenzity příchodu požadavku muže docházet před obslužnými linkami k hromadění požadavku, k vytváření front. Odtud alternativní název této disciplíny teorie front Teorie front - HO Systém HO

5 březen 2010 Schéma systému hromadné obsluhy Systém HO

6 březen 2010 Systém HO systém hromadné obsluhy – vícefázový - paralelní kanály obsluhy fáze 2 zdroj poža- davků fáze 1 μ0μ0 μ0μ0 λ0λ0

7 březen 2010 Cílem zkoumání systému hromadné obsluhy (HO) je jejich analýza s ohledem na efektivní fungování systému, tj. aby se před obsluž- nými linkami nevytvářely příliš velké fronty čekajících požadavku a na druhé straně, aby nedocházelo k prostojům obslužných linek. Systém HO

8 březen 2010 V některých případech lze prostoje linek, jejich provoz nebo i čekání požadavku nákladově ohodnotit. Pak lze celý systém optimalizovat vzhledem k jeho celkovým nákladům. Systém HO

9 březen 2010 Příklady systému hromadné obsluhy systém obslužné linky požadavky ordinace lékař pacienti banka úředníci klienti hypermarket pokladny zákazníci benzínová pumpa čerpací stojany vozidla telefonní centrála telefonní linky volající výrobní hala výrobní linky výrobky podniková údržba údržbáři stroje Systém HO

10 březen 2010 Prvky charakterizující systémy hromadné obsluhy Zdroj požadavku Příchod požadavku do systému Doba trvání obsluhy Sít obslužných linek Režim fronty Systém HO

11 březen 2010 Zdroj požadavku Např. u lékaře v nemocnici nebo v hyper- marketu je počet pacientu nebo zákazníku sice konečný, ale vzhledem k tomu, že se jedná o stovky nebo dokonce o tisíce, pova- žujeme jej za neohraničený. Naopak, má-li např. nějaká firma 10 strojů, které je třeba udržovat a opravovat, je zdroj požadavku ohraničený. Systém HO

12 březen 2010 Příchod požadavku do systému Příchody lze popsat buď pomocí intenzity příchodu (počet poža- davku, které do systému přijdou za časovou jednotku), nebo pomocí intervalu mezi příchody (čas mezi dvěma po sobe následujícími příchody). Obě veličiny spolu úzce souvisejí. Systém HO

13 březen 2010 Např.: pokud přijde do systému za hodinu prů- měrně 10 požadavků, pak průměrný interval mezi příchody je 1/10 hodiny = 6 minut. Systém HO

14 březen 2010 Veličiny mohou být deterministické – deterministické = intervaly jsou stále stejné, např. u automatické výrobní linky lze fixní intervaly zabezpečit stochastické – stochastické = intervaly jsou proměnlivé, ostatní příklady, kdy fixní časy zabezpečit nelze. Systém HO

15 březen 2010 pravděpodobnostního rozdělení intervalu Určení pravděpodobnostního rozdělení intervalu mezi příchody je nezbytné pro- vádět na základe statistické analýzy em- pirických dat. exponenciální V mnoha praktických aplikacích vyhovuje exponenciální rozdělení charakterizované jediným parametrem. Systém HO

16 březen 2010 Střední hodnota E(X) = 1/ λ např. 6 minut = 1/10 hodiny, střední počet požadavků pak λ = 10 je střední počet požadavků, které přijdou do systému za časovou jednotku. intenzitu příchodu požadavků Střední hodnota E(X) charakterizuje intenzitu příchodu požadavků do systému. Systém HO

17 březen 2010 Pravděpodobnost distribuční funkce exponenciálního rozdělení Pravděpodobnost, že interval mezi příchody bude kratší než t, je hodnota distribuční funkce exponenciálního rozdělení v bodě t: P(X ≤ t) = F(t) = 1 − exp(− λ* t) Systém HO

18 březen 2010 Např.: pravděpodobnost, že interval mezi dvěma příchody bude kratší než 3 minuty = 1/20 hodiny P(X ≤ 1/20) = 1 − exp(−10 * 1/20 ) = 1 − exp(−0,5) = 0,3935 Pravděpodobnost má tedy hodnotu 0,3935. Systém HO

19 březen 2010 Doba trvání obsluhy Je také deterministická nebo stochastická. Nejčastěji se používá exponenciální rozdě- lení s parametrem μ. Střední doba trvání Střední doba trvání obsluhy je 1/μ. intenzita obsluhy μ je intenzita obsluhy = průměrný počet obsloužených požadavku za časovou jed- notku, předpokládáme-li, že linka je plně vytížena. Systém HO

20 březen 2010 Sít obslužných linek Jejich počet a uspořádání podstatně ovlivňuje fungování celého systému. Jedním z cílů při aplikaci modelu HO je opti- malizace počtu obslužných linek, což hraje důležitou roli při hledání kompromisu mezi jejich stupněm vytíženosti a délkou fronty, nebo dobou cekání požadavku. Systém HO

21 březen 2010 Uspořádáni muže být buď paralelní (vedle sebe) nebo sériové (za sebou). Systém HO

22 březen 2010 Paralelní linky poskytují stejnou obsluhu. Buď se před každou linkou vytváří samostat- ná fronta, nebo je pouze jedna fronta, ze které přechází do obsluhy první požadavek po uvolnění libovolné linky. Jde o systémy s jednou frontou nebo systémy s více frontami. Systém HO

23 březen 2010 paralelní (vedle sebe) Systém HO příchod do systému čekající fronta realizace obsluhy obslužné para- lelní kanály systém hromadné obsluhy – dvoukanálový (paralelní kanály) odchod ze systému zdroj požadavků

24 březen 2010 V sériovém uspořádání požadavek postupně prochází všemi linkami. V reálných systémech se běžně vyskytuje kombinace obou typů. Systém HO

25 březen 2010 seriové (za sebou) Systém HO příchod do systému čekající fronta realizace obsluhy 2 obslužné kanály odchod ze systému zdroj požadavků systém hromadné obsluhy – jednokanálový

26 březen 2010 Režim (řád) fronty Určuje způsob přechodu požadavku z fronty do obsluhy. FIFO FIFO (= First In / First Out nebo FCFS = First- Come / First-Served) – nejčastější způsob *** obsluha v tom poradí, v jakém do systému přišly / ze zásobníku se odebírá zdola. Systém HO

27 FIFO - grafické znázornění Systém HO Duben 2010 přicházející prvky prvky ve frontě právě obsluhovaný prvek odcházející prvky postup prvku ve frontě

28 březen 2010 LIFO LIFO (= Last In / First Out nebo LCFS = Last- Come / First-Served) – opačné pořadí obslu- hy *** obsluha v obráceném pořadí, než v jakém požadavky do systému přišly / ze zásobníku se odebírá zdola. SIRO SIRO (Selection In Random Order) – náhod- ný způsob / ze zásobníku se odebírá napřeskáčku. Systém HO

29 Duben 2010 LIFO - grafické znázornění přicházející prvky odcházející prvky čekající prvky postup prvku ve frontě – pokud nepřijde nový prvek do fronty právě obsluhovaný prvek

30 březen 2010 PRI PRI (Priority nebo HVF = Hih Value First) – podle zadaných priorit (důležitosti) / ze zá- sobníku se odebírá k obsloužení požadavek s momentálně nejvyšší prioritou. Systém HO

31 Poissonovské rozdělení počtu vstupujících nebo vystu- pujících (odcházejících) jednotek obvykle dobře vyhovuje pro rozdělení jednotek. Popisuje diskrétní náhodnou proměnnou veličinou vyjadřu- jící počet jednotek za časovou jednotku. Systém HO Duben 2010 varianta SIFO - grafické znázornění 891010 153 6 2 4 7 14131211 přepínač cesty náhodně přicházející prvky odcházející prvky

32 březen 2010 Doba trvání fronty Určuje způsob jakým fronty časově řeší prů- chod požadavků obslužným místem: - konstantní náhodná - náhodná Systém HO

33 březen 2010 konstantní konstantní (doba = čas obsluhy je stále stejný – lépe se plánuje průchod frontou, ale může docházet k plýtvání s časem průchodu a tedy k prodloužení času celkové obsluhy, případně k čekání na vyčerpání probíhajícího časového intervalu) náhodná náhodná (doba = čas kolísá – hůře se plánje, ale je obvykle úspornější – rozdělení bývá obvykle exponenciální) Systém HO

34 březen 2010 Disciplína fronty Určuje chování požadavků: - absolutně netrpělivá - bez netrpělivosti - částečně netrpělivá Systém HO

35 březen 2010 absolutně netrpělivá absolutně netrpělivá = požadavek do sys- tému se všemi obsazenými obslužnými body (kanály) nevstoupí a rezignuje na obsluhu – musí být obsloužen jinde nebo jindy – málo- kdy se může obsloužení vzdát úplně (trvale) Systém HO

36 březen 2010 bez netrpělivosti bez netrpělivosti = požadavky na vstupu do systému čekají bez ohledu na to, jak dlouho čekají (na délku trvání tohoto čekání) – spe- ciální případy, protože v praxi by to zřejmě vedlo k plýtvání s časem částečně netrpělivá částečně netrpělivá = požadavky na vstupu do systému čekají, ale jen určitou dobu – pokud do vyčerpání této doby nedojde k zahájení obsluhy, odchází pryč Systém HO

37 březen 2010 K uvedeným charakteristikám je možné do- plnit celou radu dalších. Např.: omezení na kapacitu systému = maximální počet požadavků, který muže být v systému přítomen. Pokud je systém naplněný, potom se nově příchozí požadavek k němu nemůže připojit a odchází. Systém HO

38 Duben 2010 Modelování je dnes „univerzálně“ používaný pro- středek – jeho využití je velice široké a žádoucí – používá se pro přípravu (analýzu, prošetření, návrh postupu a způsobu řešení, …) řešení. V časové dimenzi není v celém řešitelském procesu nikterak omezen = lze jej použít prakticky kdykoliv, ale ne vždy to přinese plný efekt (zisk). Cíle modelování systémů hromadné obsluhy

39 Systém HO Duben 2010 Modelování se používá pro řešení dvou základních typů problémů: - stanovení důležitých pracovních chara- kteristik sytému … většinou jde o náhodné veličiny, k jejichž charakteristice se použí- vají odhady středních hodnot a rozptylů - zjišťuje se: střední využití systému a jeho kanálů, střední délka front, střední čekací doba, střední hodnota netrpělivosti, …

40 Systém HO Duben 2010 - stanovení optimálních parametrů systé- mu …určení vhodného minimalizovaného (a tedy následně i optimalizovatelného) počtu kanálů, který by nezpůsoboval závažnější (zbytečné, dlouhé, …) délky doby čekání ve frontě, vyčerpávání (až přečerpávání) (ne)tr- pělivosti zákazníků ve frontě – optimalizace doby čekání a obsluhy – regulace vstupních toků – minimalizace celkových nákladů na zřízení a provoz systému HO, atd.

41 březen 2010 Speciálním případem systému s omezenou kapacitou jsou systémy bez cekání. Např. telefonní centrála. Pokud jsou všechny linky obsazené, nelze se dovolat. Systém HO

42 březen 2010 Systémy mohou být s omezeným nebo neo- mezeným čekáním. Požadavky cekají bez ohledu na čas, dokud nejsou obslouženy, nebo pravděpodobnost zařazení do fronty závisí na poctu požadavku v ní apod. Systém HO

43 březen 2010 V modelech HO se dále zkoumají otázky ob- sluhy ve skupinách (výtah, městská doprava). Cílem zkoumání je odpověď, zda lze přerušit obsluhu v případě, že do systému vstoupí požadavek s vyšší prioritou (záchranná služba, meziměstské hovory), apod. Systém HO

44 březen 2010 Podle základních charakteristik jsou modely HO jednotným způsobem klasifikovány po- mocí posloupnosti 6 symbolů (vztahový vzo- rec popisující jednoznačně charakteristiku – úspornou formu vypracoval D. G. Kendall): A / B / C / D / E / F každé z těchto písmen jednoznačně charakterizuje určitou vlastnost - hodnotu: ………….… Systém HO

45 březen 2010 A charakterizuje typ pravděpodobnostního rozdě- lení pro intervaly mezi příchody požadavku do systému, přičemž M znamená exponenciální rozdělení, D konstantní intervaly, G nespecifi- kované rozdělení B totéž pro dobu trvání obsluhy C počet paralelně uspořádaných obslužných linek D kapacita systému E kapacita zdroje požadavku F režim fronty. Systém HO

46 březen 2010 Například: M / M / 5 / 20 / 1 / FIFO představuje systém HO, ve kterém intervaly mezi příchody i doba obsluhy mají exponen- ciální rozdělení, 5 paralelních linek, celková kapacita 20 míst (5 v obsluze a maximálně 15 ve frontě), zdroj požadavků je neomezený, obsluhuje se podle pořadí při příchodu. Systém HO

47 březen 2010 Charakteristiky popisující fungování daného systému lze rozdělit do několika skupin. 1. Časové charakteristiky. 2. Charakteristiky počtu požadavků. 3. Pravděpodobnostní charakteristiky. 4. Nákladové charakteristiky. Systém HO

48 březen 2010 1. Časové charakteristiky týkající se „pouze“ časové obsluhy požadavku: T f průměrná doba cekání požadavku ve fron- tě předtím, než začnou být obsluhovány T průměrná doba strávená v celém systému. Systém HO

49 březen 2010 2. Charakteristiky týkající se počtu poža- davků: N f průměrná délka fronty N průměrný počet požadavků v systému. Systém HO

50 březen 2010 3. Pravděpodobnostní charakteristiky Pravděpodobnost …, že: - obslužná linka nepracuje - obslužná linka pracuje - příchozí požadavek bude muset čekat ve frontě. - v systému je určitý počet požadavků - požadavek nebude kvůli naplnění systému obsloužen. Systém HO

51 březen 2010 4. Nákladové charakteristiky Náklady fungování celého systému za časo- vou jednotku. Optimální počet linek v provozu vedoucí k dosažení minimálních nákladu. Systém HO

52 březen 2010 Posuzování uvedených charakteristik je důle- žité při budování nových systémů HO nebo rekonstrukci stávajících systémů HO. Jde o určení počtu linek tak, aby nedocházelo k jejich zbytečným prostojům, ale ani k nad- měrným frontám požadavků vedoucích ke ztrátám zákazníku a tím i zisku. Systém HO

53 březen 2010 Mezi některými charakteristikami existují bezprostřední vazby. T = T f + 1/μ Průměrná doba, kterou stráví požadavek v systému, je součet průměrné doby strávené ve frontě a průměrné doby trvání obsluhy. N = λ · T N f = λ · T f Systém HO

54 březen 2010 Průměrný počet požadavků Průměrný počet požadavků v systému (ve fronte) je součinem průměrného casu, který stráví požadavek v systému (ve frontě), a intenzity příchodu požadavku do systému. Řešení, tzn. určení všech nebo alespoň některých charakteristik, lze dosáhnout dvojím způsobem – analyticky nebo pomocí simulací. Systém HO

55 březen 2010 Analytické řešení Analytické řešení – pro jednotlivé charak- teristiky jsou odvozeny konkrétní vztahy, do kterých se dosadí parametry systému. Toto řešení je k dispozici jen u nejjednoduš- ších modelů. Jedinou cestou u složitějších systémů HO je experimentování s modelem, Systém HO

56 březen 2010 Experimentování s modelem - Experimentování s modelem - pomocí vhodného SW se simuluje (napodobuje) chod reálného systému. Simulace lze provádět ve zrychleném nebo zpomaleném čase. Systém HO

57 březen 2010 Na základě sběru dat v průběhu simulačního běhu lze potom aproximativně odvodit cha- rakteristiky simulovaného systému. Takto lze analyzovat i velmi složité systémy a to už ve fázi jejich navrhování. Systém HO

58 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy Systém s čekáním a neohraničeným zdrojem po- žadavků Exponenciální modely hromadné obsluhy Na základě předchozích informací je potřeba pro- brat, jaké informace jsou dostupné v počtu pravdě- podobnosti řešícím problematiku hromadné obsluhy – problematiku řešení obsluhy fronty. Pro vysvětlení jsou hned úvodem zvoleny dva pří- pady – dané hodnotami charakterizujícího vzorce.

59 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy Příklad – 1: Službu v bance u bankovní přepážky v sobotu zabez- pečuje jen jeden pracovník (je otevřena jen jedna přepážka) ** od 8 do 20 hodin přicházejí klienti v prů- měru každých 8 minut – předpoklad = exponenciální rozdělení intervalů mezi příchody ** průměrná doba strávená u přepážky 6 minut – předpoklad = náhodná veličina s exponenciálním rozdělením. Klienti přistupují k přepážce v pořadí jak přišli.

60 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy Zadání představuje jednoduchý exponenciální model HO typu: M / M / 1 /  /  / FIFO – v systému je pouze jedna obslužná linka – intervaly mezi příchody požadavků mají exponen- ciální rozdělení s parametrem λ – doba trvání obsluhy má exponenciální rozdělení s parametrem μ – neomezená kapacita systému, neomezený zdroj požadavků a režim fronty FIFO.

61 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy Charakteristiky systému: 1. Pravděpodobnost, že v systému není žádný poža- davek, tj. pravděpodobnost, že linka není využita p 0 = 1 − λ / μ Odtud plyne pravděpodobnost, že v systému je ale- spoň jeden požadavek (a linka je využita), je λ / μ. Tento podíl označujeme ρ - popisuje intenzitu provo- zu systému. Hodnota současně udává pravděpodob- nost, že požadavek, který přijde do systému, bude muset čekat na obsluhu ve frontě.

62 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy 2. Pravděpodobnost, že v systému je právě n poža- davků, jeden je obsluhován a n − 1 čeká ve frontě p n = p 0 · p n = (1 − ρ) ρ n 3. Průměrný čas, který požadavek tráví v systému T = 1 / (μ − λ ) a ve frontě T f = T − 1 / μ = / μ * (μ − λ )

63 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy 4. Průměrný počet požadavků v systému N = λ * T = λ / (μ − λ) a ve frontě N f = λ * T f = λ 2 / (μ (μ − λ )) Podmínka stabilizace systému M / M / 1 : intenzita provozu < 1 narůstala tj. intenzita příchodu ρ < 1 nižší než intenzita ob- sluhy μ. Jinak by došlo k zahlcení systému a fronta by bez omezení narůstala.

64 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy Příklad – 1 * pokračování: Do banky přicházejí klienti v průměru každých 8 mi- nut – intenzita příchodů λ = 60 / 8 = 7,5 klientů za hodinu. Při průměrné době 6 minut u přepážky je intenzita μ = 60 / 6 = 10 klientů za hodinu. Intenzita provozu přepážky (tedy její vytížení) ρ = λ / μ = 7,5 / 10 = 0,75. Pracovník přepážky tedy bude využit na 75%.

65 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy Se stejnou hodnotou pravděpodobností bude klient čekat na vyřízení své záležitosti u přepážky. Naopak s pravděpodobností p 0 = 1 − ρ = 0,25 u přepážky nikdo nebude a přepážka bude volná = pracovník bude čekat na klienta. Se stejnou hodnotou pravděpodobností klient, který přijde do banky, nebude muset čekat.

66 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy V tabulce - pokud u přepážky bude n klientů (pro n = 0, 1,..., 10 ) - jsou uvedeny hodnoty pravdě- podobnosti p n a kumulované pravděpodobnosti P (X < n) udávající, že u přepážky bude maximálně n klientů: n0123456 pnpn 0,25000,18750,14060,10550,07910,05930,0455 P (X < n)0,25000,43750,57810,68360,76270,82200,8665 n78910 pnpn 0,03340,02500,01870,0141 P (X < n)0,89990,92490,94360,9577

67 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy Můžeme také např. určit pravděpodobnost, že u pře- pážky bude víc než 10 klientů: p n = 1 − 0,9577 = 0,0423 … více než ve 4%. Pro časové charakteristiky a charakteristiky počtu požadavků platí: T = 1 / (μ − λ) = 1 / (10 − 7,5) = 0,4 hod = 24 min T f = T − 1 / μ = 0,4 − 0,1 = 0,3 hod = 18 min N = λ * T = 7,5 * 0,4 = 3 klienti N f = λ * T f = 7,5 * 0,3 = 2,25 klienta ……….

68 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy ……. slovní vyjádření: U přepážky budou průměrně 3 klienti. Před přepážkou čeká průměrně 9/4 = 2,25 klienta. Průměrná doba, kterou klient stráví čekáním na vy- řízení svého případu, je 18 minut. Celkově stráví klient u přepážky 24 minut.

69 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy Příklad – 2: V pobočce banky jsou 3 přepážky - klienti se řadí do jedné fronty a po uvolnění libovolné z přepážek mo- hou být obsluhováni. Klienti přicházejí s průměrnou intenzitou 68 lidí za hod. Intervaly mezi jejich příchody mají exponen- ciální rozdělení. Doba odbavení klienta má exponenciální rozdělení se střední hodnotou 2,4 min = tj. za hodinu každá přepážka odbaví průměrně 60 / 2,4 = 25 klientů.

70 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy Zadání představuje variantu modelu HO typu: M / M / c /  /  / FIFO – v systému je c identických paralelně uspořádaných obslužných linek – intervaly mezi příchody požadavků mají exponen- ciální rozdělení s parametrem λ – doba trvání obsluhy má exponenciální rozdělení s parametrem μ – neomezená kapacita systému, neomezený zdroj požadavku a režim fronty FIFO.

71 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy Protože intenzita obsluhy na každé z linek je μ, bude intenzita obsluhy celého systému rovna c * μ. Podíl λ /c * μ = ρ znamená intenzitu provozu celého systému = představuje i průměrné využití obslužných linek, poměr pracovního času k celkovému provoz- nímu času systému. Aby fronta neomezeně nevzrůstala a systém zvládal obsluhu příchozích požadavků musí být intenzita obsluhy celého systému vyšší než intenzita příchodu požadavků.

72 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy Podmínka stabilizace systému: M / M / c v poměru k intenzitě provozu ρ musí být < 1.

73 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy Charakteristiky systému: 1. Pravděpodobnost, že v systému není žádný požadavek, tj. pravděpodobnost, že žádná z linek nepracuje p 0 = [( Σ (od: k=0 do: k=c−1) r k / k!) + ((c * r c ) / ((c − r) * c! )) ] −1 kde r = λ / μ.

74 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy 2. Pravděpodobnost, že v systému je n požadavku a fronta je prázdná p n = [ r n / n! ] * p 0 pro n ≤ c 3. Pravděpodobnost, že v systému je n požadavků, c obsluhováno a zbývajících n − c čeká ve frontě p n = [ r n / (c! * c n−c )] * p 0 pro n > c

75 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy 4. Průměrný čas, který požadavek tráví v systému T f = [( r c * μ ) / ((c − 1)! * (c * μ − λ ) 2 )] *p 0 a v systému T = T f + ( 1 / μ )

76 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy 5. Průměrný počet požadavků v systému N = λ * T a ve frontě N f = λ * T f 6. Pravděpodobnost, že příchozí požadavek bude čekat ve frontě, což vlastně znamená pravděpodob- nost, že v systému je c a více požadavku p f = [( c * r c ) / ((c − r) c! )] * p 0.

77 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy Příklad – 2 * pokračování: Konkrétní hodnoty sledovaného stavu v bance: c = 3, λ = 68, μ = 25, r = λ / μ = 68/25 = 2,72, ρ = / (c * μ) = 68/3 * 25 = 0,9067 < 1 … a je stabilizace splněna. …………….

78 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy V tabulce - pokud u přepážky bude n klientů (pro n = 0, 1,..., 10 ) - kromě pravděpodobností p n je i pravděpodobnost, že v bance je n a méně klientů, a pravděpodobnosti, že je tam více než n klientů. n0123456 pnpn 0,02310,06270,08530,07740,07010,06360,0577 P (X ≤ n)0,02310,08580,17110,24850,31860,38220,4399 P (X > n)0,97690,91420,82890,75150,68140,61780,5601 n789101112 pnpn 0,05230,04740,04300,03900,03530,0320 P (X ≤ n)0,49220,53960,58260,62160,65690,6889 P (X > n)0,50780,46040,41740,37840,34310,3111

79 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy Hodnota pravděpodobnosti: p 0 = [ (2,72 0 / 0!) + (2,72 1 / 1!) + (2,72 2 / 2!) + ((3 * 2,72 3 ) / ((3 − 2,72) · 3!)) ] −1 = = 1 / (1 + 2,72 + 3,699 + 35,935) = 0,0231 Pravděpodobnost, že v bance nebude žádný klient je asi 2,31%.

80 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy Pravděpodobnost, že příchozí bude muset čekat, je 0,8289, což je pravděpodobnost, že v bance jsou více než dva klienti. Pravděpodobnost, že je tam více než 12 klientů (3 u přepážky a 9 ve fronte) je poměrně velká 31,11%.

81 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy Časové charakteristiky: Průměrná doba čekání ve frontě T f = [ ((2,72 3 * 25) / ((3 − 1)! * (75 − 68) 2 ) ] * p 0 = = 0,1184 hodiny = 7,1 minuty. Průměrná doba strávená v bance T = T f + ( 1 / μ ) = 0, 1118 + ( 1 / 25 ) = = 0,1584 hodiny = 9,5 minuty.

82 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy Charakteristiky poctu požadavků: Průměrný počet klientů v bance N = λ * T = 68 * 0,1584 = 10,77 klienta. Průměrný počet klientů ve frontě N f = λ * T f = 68 * 0,1184 = 8,05 klienta.

83 březen 2010 Optimalizace v modelech hromadné obsluhy Optimalizace v modelech HO minimalizace Při modelování systému hromadné obsluhy je potře- ba zjistit, kolik paralelně řazených obslužných linek je efektivní provozovat, aby byla dosažena a zacho- vána minimalizace nákladů souvisejících s tímto provozem. optimalizaci Tím je dán prostor pro optimalizaci.

84 březen 2010 Optimalizace v modelech hromadné obsluhy Optimalizace v modelech HO Realizace optimalizačních propočtů předpokládá – je odvislá - od toho, že se dají (musí to být reálně možné) ohodnotit náklady provozu obslužných linek a náklady související s pobytem požadavků v systému.

85 březen 2010 Optimalizace v modelech HO nákladovou funkci Definice nákladovou funkci N F(c) = k 1 * N + k 2 * c kde k 1 jsou náklady pobytu jednoho požadavku v systému za jednotku času k 2 jsou náklady provozu jedné linky za jednotku času N je průměrný počet požadavků v systému c je počet linek

86 březen 2010 Optimalizace v modelech HO Výsledná hodnota nákladové funkce Výsledná hodnota nákladové funkce se skládá ze dvou částí. První část k 1 * N je celkovým ohodnocením nákladů pobytu požadavku v systému za jednotku času. Druhá část k2 * c představuje celkové náklady na provoz všech linek za jednotku času.

87 březen 2010 Optimalizace v modelech HO Při zvýšení počtu linek dojde ke zvýšení hodnoty k 2 * c a současně se sníží průměrný počet poža- davků v systému čímž se sníží hodnota k 1 * N. opačná Při snížení počtu linek je nákladová změna u obou položek opačná.

88 březen 2010 Optimalizace v modelech HO Příklad – 3: Předpoklad - náklady pobytu klienta v bance jsou fixní = 200 Kč za hodinu - náklady na provoz jedné přepážky = 500 Kč za hodinu. Při třech přepážkách vyjde průměrný počet klientů v bance 10,77. (mezi 10 a 11 jedinci). Po dosazení do nákladové funkce vychází N F(3) = 200 * 10,77 + 500 * 3 = 3654 tj. hodinový provoz v bance je ohodnocen 3 654 Kč.

89 březen 2010 Optimalizace v modelech HO Tabulka ukazuje, jak by se částka měnila v závislosti na počtu přepážek. ck 1 * Nk 2 *ck 1 * N + k 2 * c 2  1000  3215415003654 4714,420002714 558625003086 655630003556

90 březen 2010 Optimalizace v modelech HO Pro 2 přepážky není systém stabilizovaný. Obsluha nestíhá a fronta a tím i náklady na pobyt klientu neomezeně rostou. Z tabulky plyne, že vzhledem k předpokládaným nákladovým položkám je optimální provozovat „jen“ 4 přepážky.

91 březen 2010 Optimalizace v modelech HO Pro 4 přepážky bude průměrný počet klientů N F(c) = k 1 * N + k 2 * c N = 3,57. Tato hodnota, stejně jako hodnoty N pro ostatní položky, se vypočítají dosazením do uvedeného vztahu.

92 březen 2010 Optimalizace v modelech HO Zajímavá je otázka, nakolik by se musely snížit ná- klady na pobyt klientů v bance, aby byl optimální původně uvažovaný model se 3 přepážkami. NF(3) < NF(4) 10,77 * k 1 + 3 * 500 < 3,57 * k 1 + 4 * 500, odtud k 1 < 69,44. Optimální systém se třemi přepážkami musí mít pobyt klientů ohodnocen částkou nižší než 69,44 Kč za hodinu.

93 březen 2010 Systém bez čekání se ztrátamiobsluhy Systém bez čekání se ztrátami obsluhy Systém bez čekání v modelech HO Obsluhující soustavaobsluhy Obsluhující soustava sestává z n stanic obsluhy. Přijetí požadavků vstupujících k obsluze je podmí- něno tím, že některá z obsluhujících stanic je volná. odmítnut Jsou-li všechny stanice obsazeny, požadavek neče- ká, ale je odmítnut a odchází neobsloužen.

94 březen 2010 Systém bez čekání v modelech HO Každá stanice může obsloužit zároveň pouze jeden požadavek.

95 březen 2010 Systém s čekáním a ohraničeným zdrojem požadavků Systém s čekáním v modelech HO Jedná se o systém, který se skládá z n stanic obslu- hy, každá muže obsluhovat pouze jeden požadavek. Předpoklad - doba obsluhy je náhodná veličina s exponenciálním zákonem rozdělení s parametrem μ.

96 březen 2010 Systém s čekáním v modelech HO Ze zdroje požadavků obsahujícího ohraničený počet m požadavků přicházejí do systému požadavky na obsluhu s proměnou intenzitou závislou na počtu požadavku ve zdroji. Doba do výskytu poruchy jednotlivého požadavku je náhodná veličina, o níž předpokládáme, že má ex- ponenciální rozdělení s parametrem, který je roven převrácené hodnotě střední doby do poruchy.

97 březen 2010 Systém s čekáním v modelech HO Jestliže je některá ze stanic volná, pak vstupující požadavek je obsloužen a po skončení obsluhy se opět vrací do zdroje požadavků. Jsou-li všechny stanice obsazené, vstupující požada- vek je zaražen do fronty a čeká na uvolnění některé stanice.

98 březen 2010 Systém s čekáním v modelech HO Schéma činnosti tohoto systému.

99 březen 2010 Systém s čekáním v modelech HO Příklady takových systémů: – skupina kombajnů při žních, k jejichž opravě je určen pojízdný opravářský vůz – stroje v továrně, k jejichž údržbě je určena četa opravářů.

100 březen 2010 Systém simulační analýzy v systému hromadné obsluhy Systém simulační analýzy v modelech HO V reálných systémech hromadné obsluhy nelze zpra- vidla odvodit základní charakteristiky systému ana- lytickým způsobem. Analytické řešení je k dispozici pouze u nejjedno- dušších modelu, které jsou v reálných podmínkách aplikovatelné bez dodatečných omezení jen zřídka.

101 březen 2010 Systém simulační analýzy v modelech HO Jedinou cestou pro získání hledaných charakteristik je vytvoření simulačního modelu daného systému. Na základe vhodné realizace experimentu s tímto modelem lze potom odvodit odhady požadovaných charakteristik. Simulace se definuje jako experimentování s mode- lem reálného systému na počítači.

102 březen 2010 Systém simulační analýzy v modelech HO Experimentováním se rozumí napodobování chodu sledovaného systému. Aby byly odhady hledaných charakteristik dostatečně přesné, je třeba provázet tyto experimenty dosta- tečne dlouho. Se zvyšováním poctu experimentu lze očekávat zpřesňování odhadu hledaných charakteristik.

103 březen 2010 Systém simulační analýzy v modelech HO Při simulační analýze systému stačí sledovat v dis- krétních časových okamžicích změny a provádět v nich potřebný sběr dat. Po skončení simulace jsou na základě údajů získa- ných v průběhu simulace odvozeny odhady jedno- tlivých charakteristik. K základním problémům, které je třeba řešit v průbě- hu simulace systému hromadné obsluhy, patří gene- rování výskytu událostí, které ovlivňují stav systému.

104 březen 2010 HO …………… CW05 - 19