Předmět: Počítačová grafika 1 (PGRF1) Přednáška č

Prezentace na téma: "Předmět: Počítačová grafika 1 (PGRF1) Přednáška č"— Transkript prezentace:

1 Předmět: Počítačová grafika 1 (PGRF1) Přednáška č
Předmět: Počítačová grafika 1 (PGRF1) Přednáška č. 2: Rovinné transformace Fakulta Informatiky a Managementu UHK 2003

2 Posunutí (Translation)

3 Posunutí (Translation)

4 Nákres k posunutí bodu v rovině (Translation)

5 Rovnice posunutí bodu v rovině o vektor (m,n)

6 Nákres posunutí souřadného systému

7 Rovnice transformace souřadného systému
Rovnice transformace souřadného systému. (Nový systém má počátek v bodě (m,n))

8 Inverzní transformace k posunutí bodu v rovině o vektor (m,n)
Inverzní transformace k posunutí bodu v rovině o vektor (m,n). Jde o posunutí o vektor (-m,-n)

9 Otočení (rotation)

10 Otočení (rotation)

11 Nákres otočení bodu v rovině okolo počátku souřadného systému v kladném smyslu o úhel α (Counterclockwise rotation)

12 Otočení bodu v rovině okolo počátku souřadného systému v kladném smyslu o úhel α - odvození

13 Rovnice otočení bodu v rovině o úhel α

14 Rovnice otočení souřadného systému o úhel - α

15 Rovnice otočení souřadného systému o úhel α

16 Změna měřítka (Scaling)

17 Změna měřítka (Scaling)

18 Rovnice změny měřítka (bodové afinity) - Scaling

19 Inverzní transformace k transformaci změny měřítka

20 Osová souměrnost (Osou souměrnosti je osa x a osa y).

21 Osová souměrnost (Osou souměrnosti je osa x a osa y).

22 Rovnice osové souměrnosti (osou souměrnosti je nejdříve osa x a potom osa y). Transformace jsou inverzní samy k sobě

23 Identita a středová souměrnost

24 Identita a středová souměrnost

25 Rovnice identity (nahoře) a středové souměrnosti (dole)
Rovnice identity (nahoře) a středové souměrnosti (dole). Transformace jsou opět inverzní samy k sobě

26 Zkosení (Shearing)

27 Zkosení vodorovné 300

28 Zkosení vodorovné 300

29 Zkosení svislé 300

30 Zkosení svislé 300

31 Rovnice zkosení

32 Rovnice inverzní transformace k těmto zkosením

33 Rovnice inverzní transformace k posunutí bodu v rovině v homogenních souřadnicích

34 Rovnice inverzní transformace k posunutí bodu v rovině v homogenních souřadnicích

35 Rovnice otočení bodu v rovině v homogenních souřadnicích

36 Rovnice inverzní transformace k otočení bodu v rovině v homogenních souřadnicích

37 Změna měřítka (bodová afinita) v homogenních souřadnicích

38 Rovnice inverzní transformace ke změně měřítka (bodové afinitě) v homogenních souřadnicích

39 Matice osové souměrnosti: (osami souměrnosti jsou postupně osa x (vlevo) a osa y (vpravo)

40 Matice identity ( vlevo) a středové souměrnosti (vpravo)

41 Matice zkosení

42 Skládání dvou posunutí

43 Skládání dvou otočení

44 Skládání afinit

45 Systém rovinných transformací
Všechny afinní transformace v rovině jsou popsány jednotným způsobem pomocí matic Matice trasformací jsou regulární (Věcně neztrácí se dimenze, „nesešlapává se útvar“…) Existují inverzní matice i transformace. (Věcně návrat do výchozí polohy) Skládání transformací odpovídá násobení matic (Věcně jde o postupnou aplikaci transformací) Záleží na pořadí transformací Algebraicky jde o nekomutativní grupu

46 Podgrupa shodností Vzdálenost libovolné dvojice odpovídajících si bodů je shodná před transformací a po ní. Z probraných transformací jsou shodnostmi posunutí a otočení, osová a středová souměrnost Afinita je shodností ve speciálním případě, kdy koeficienty jsou +1 nebo - 1

47 Příklad skládání transformací: Rotace v rovině kolem bodu o souřadnicích (m,n) o úhel α
Je to složenina (postupná aplikace tří transformací) v tomto pořadí: Posunutí počátku souřadného systému do bodu (m,n) Rotace bodu okolo počátku souřadného systému o úhel α Posunutí počátku souřadného systému o vektor (-m,-n) Tomu odpovídá násobení patřičných matic transformací

48 Příklad: Souměrnost podle přímky: y=x+1
Složíme ji těchto 5 transformací: (posun o –1, otočení o 450 v záporném smyslu, souměrnost podle osy x, zpětná rotace a zpětná translace). Označme: Pak pro výslednou transformaci T platí:

49 Příklad: Souměrnost podle přímky: y = a.x+b
Označíme –li: a=tg(α), pak pro výslednou transformaci T platí:

50 Homogenní souřadnice Bod (x,y) je rozšířen na trojici (x,y,1)
Transformace bodu (x,y) do homogenních souřadnic se děje přidáním třetí souřadnice 1 Transformace trojice (a,b,c) v homogenních souřadnicích zpět do dvojice (x,y) se děje vydělením rovnice třetí komponenou

51 Bod (x,y) má nekonečně reprezentací v homogenních souřadnicích
Bod (x,y) má nekonečně reprezentací v homogenních souřadnicích. Každá reprezentace (a.x,a.y,a) pro a různé od nuly je dobrou reprezentací. Uvažujeme-li bod (a.x,a.y,a) jako trojici v třírozměrném prostoru, pak mění-li se a od 0 do nekonečna, pohybuje se tento bod po polopřímce od počátku do nekonečna. Směr paprsku je určen souřadnicemi x a y, a souřadnice a určuje vzdálenost od počátku. Tedy bod v dvojrozměrném prostoru odpovídá paprsku v třírozměrném prostoru. Často se nachází bod (x,y,1) ležící v rovině z=1